湖南省益阳市沅江市两校联考2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

数学注意事项∶1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示∶4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科实行闭卷考试，共两道大题，考试时量60分钟，满分100分．一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)1.已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，那么（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：根据数轴上点的位置可得，则A.，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．2.下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：左视图为从左往右看得到的视图，A.球的左视图是圆，B.圆柱的左视图是长方形，C.圆锥的左视图是等腰三角形，D.圆台的左视图是等腰梯形，故符合题意的选项是A.3.如图，是小明连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息不正确的是（）A.这两周体温的众数为 B.第一周平均体温高于第二周平均体温C.第一周体温的中位数为 D.第二周的体温比第一周的体温更加平稳答案：C解析：详解：解：这两周体温出现了5次，次数最多，众数为，A选项正确，不符合题意；第一周的平均体温为：，第二周的平均体温为：，故B选项正确，不符合题意；对第一周的体温数据进行从小到大排序，处在中间位置的数为，故中位数为，C选项错误，符合题意；根据折线统计图可得：第二周体温比第一周的体温更加平稳，D选项正确，不符合题意；故选：C4.若是关于的方程的解，则的值为（）A. B. C.3 D.答案：A解析：详解：解：把代入方程得：，解得：，故选：A．5.与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是A. B. C. D.答案：A解析：详解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，∴，∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是：12．故选A．6.如图，两条平行直线，，从点光射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：解：如图，∵从点光射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，∴，∵，∴，∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．故选：A．7.若反比例函数的图象经过点，则当时，函数值y的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：∵反比例函数的图象经过点，∴，解得，∴反比例函数的解析式为，∴当时，，∴由反比例函数的图象与性质可知，当时，函数值y的取值范围为．故选：D．8.对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：根据题中的新定义化简得：，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．故选：B．9.如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：详解：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正确；∵点是上一动点，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，∴∠BCD=90°，∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正确；如图，延长DA至点E，使AE=DC，∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正确；∴正确的有3个．故选：C．10.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：详解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴，∴，所以①正确；∵，∴，∵，∴，所以②错误；∵，，∴，把代入得，∴，所以③正确；∵，对称轴为直线，∴，∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；综上正确的有3个，故选C二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)11.分解因式：____．答案：解析：详解：解：．故答案为：12.一只蚂蚁由数轴上表示的点先向右爬3个单位长度，再向左爬5个单位长度，则此蚂蚁所在的位置表示的数是________．答案：-4解析：详解：解：蚂蚁所在的位置为：-2+3-5=-4．故答案为：-4．13.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个.答案：20解析：详解：∵摸到黄球的频率稳定在30%，∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个，∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），故答案为20．14.如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是______．答案：解析：详解：解：∵3x-a≤-1，∴3x≤a-1，则x≤，由数轴知x≤-1，∴=-1，解得a=-2，故答案为：-2．15.在等腰三角形中，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为________．答案：或解析：详解：解：如图所示，∵，∴，设，则，∵是的垂直平分线，∴，∴，则，∵是的外角，且，∴，即，解得，，∴；如图所示，∵是的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形，且，∴，∵，∴，∵，∴．综上所述，的度数为或，故答案为：或．16.在如图所示的正方形网格中，的三个顶点都在格点处，则的值等于___________．答案：解析：详解：如图，过点A作于点D.，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可知，，，设，，在中，，在中，，即，解得，，，故答案为.17.如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若＝2，则+＝___．答案：2解析：详解：解：∵点A，B是双曲线y上的点，∴+＝+＝3，∴+＝6﹣2＝6﹣4＝2．故答案为：2．18.如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．答案：解析：详解：解：的周长为32，．为DE的中点，．，，，，．四边形是正方形，，O为BD的中点，是的中位线，．故答案为：．三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.先化简，再求值：，其中答案：，解析：详解：解：原式====,将代入，则原式=．20.空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．答案：600（1+3）米解析：详解：解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．在直角△ABF中，∠A＝30°，∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），∴EG＝BF＝600（米）．由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），在直角△DAE中，∠CBE＝45°，∴CE＝CE＝×3600＝1800（米），∴CG＝CE+EG＝＝600（1+3）米，则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．21.某校七年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，七年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.（1）将上面的条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少度？（3）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有多少名？答案：（1）条形统计图如图所示，见解析；（2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是144°；（3）估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名.解析：详解：解：（1）本次调查共抽取的学生有（名）选择“友善”的人数有（名）∴条形统计图如图所示：（2）∵选择“爱国”主题所对应的百分比为，∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是；（3）该校七年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题七年级学生有名.故答案为（1）条形统计图如图所示，见解析；（2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是144°；（3）估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名.22.如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当的边满足______时，四边形为矩形．答案：（1）证明见解析；（2）AB=AC．解析：小问1详解：证明∶∵△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，∴ED//BC且ED=BC，MN//BC且MN=BC，∴EDMN且ED=MN，∴四边形MNDE是平行四边形．小问2详解：解：当AB=AC时，四边形为矩形，理由如下：∵△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，∴AD=AC，AE=AB，ON=NC，OM=MC，∵AB=AC，∴AD=AE，在△ADB和△AEC中，，∴，∴BD=CE，∵四边形EDNM是平行四边形，∴OE=ON，OD=OM，∵BD=CE,ON=NC，OM=MB，∴EN=2ON=2OM=MD，∴是矩形．23.重庆位于中国内陆西南部、长江上游地区，地貌以丘陵、山地为主，故有“山城”之称．重庆有很多白旅游景区，游客满意度综合排名居全国第一．据统计重庆某级景区在年共接待游客达万人次，在年接待游客达万人次．（1）若该级景区年到年接待游客人数的年平均增长率都相同，求这两年的年平均增率．（2）某旅行社专门定制了一条来重庆的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过人，人均旅游费为元；如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元．如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了元的费用，求这个旅行团的人数．答案：（1）（2）人解析：小问1详解：解：设这两年的年平均增率为，

根据题意得：，

解得：，（不符合题意，舍去），

答：这两年的年平均增率为；小问2详解：设这个旅行团共人，

∵，，

∴，

根据题意得：，解得：，，

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，舍去．

答：这个旅行团共人．24.设，，…，容易知道，，，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以，，都能被8整除．（1）试探究是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，…这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，为完全平方数．答案：（1）能被8整除；（2）n为一个完全平方数两倍时，是完全平方数．解析：详解：由题意得：，能被8整除．（2）由（1）知，当时，，是完全平方数；当时，，是完全平方数；当时，，是完全平方数；当时，，是完全平方数．这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．由、、、四个完全平方数可知，所以n为一个完全平方数两倍时，是完全平方数．25.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点P的坐标；答案：（1）抛物线的解析式；（2）点P的坐标为．解析：小问1详解：解：∵抛物线与轴交于、两点，∴，解得，∴抛物线的解析式；小问2详解：解：令，则，∴，设点M的坐标为，则有，，．根据题意，，∵，∴当时，有最大值，此时，，，∵，，∴．∴，∴点P的坐标为．26.（1）如图，是的直径，与交于点F，点E