2022-2023学年新疆和田地区皮山某中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆和田地区皮山高级中学高二(下)期末数学

试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知Fi,尸2为平面内两个定点，P为动点，若|PQ|-|PB|=a为大于零的常数)，则

动点P的轨迹为()

A.双曲线B.射线

C.线段D.双曲线的一支或射线

22

2.若椭圆匕一Q—=1上一点P到其焦点n的距离为6,则P到另一焦点Fi的距离为()

10036

A.4B.194C.94D.14

3.下列问题是排列问题的是()

A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相写信一次，共写了多少封信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

4.已知函数y=/(x)的图象在点P(5,/(5))处的切线方程是产-x+8,则f⑸+f

⑸=()

A.2B.3C.4D.5

5.已知3Aq=4A;1，则x等于()

A.6B.13C.6或13D.12

6.若xi、及、…、X2021的方差为3,则3(xi-2)、3(及-2)、…、3(X2021-2)的方差

为()

A.3B.9C.18D.27

7.抛物线俨=2px(p>0)的焦点为凡其准线与双曲线y2-/=i相交于人，B两点，若

△ABF为等边三角形，则〃=()

A.272B.2^3C.2D.3

8.已知函数y=/(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数>=/，(x)的图象如图所

示，则该函数的图象是()

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

22

（多选）9.若方程-所表示的曲线为C,则下面四个说法中错误的是（）

3~tt~l

A.若则C为椭圆

B.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<f<3

C.曲线C可能是圆

D.若C为双曲线，则/<1

（多选）10.下列求导错误的是（）

2

A.Ce3x）'=3e，B.(—―)'

k2x+l'

C.（2sinx-3）'=2cosxD.(xcosx)'=cosx-xsinr

（多选）已知子）11的展开式的二项式系数和为则下列说法正确的是（

11.（x128,)

A.n—1

B.展开式中各项系数的和为-1

C.展开式中只有第4项的二项式系数最大

D.展开式中含/项的系数为84

（多选）12.已知函数/CO=/仪xeR.下列结论正确的是（）

A.函数/(x)不存在最大值，也不存在最小值

B.函数/(x)存在极大值和极小值

C.函数有且只有1个零点

D.函数f(x)的极小值就是/(x)的最小值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是.

14.曲线)，=cosx-^|■在点(0,1)处的切线方程为.

15.从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出不再放回，第1次摸

到红球的概率为方，那么第2次摸到红球的概率为.

22

16.设双曲线C：%-%=1(。>0,6>0)的一条渐近线为则C的离心率

aZJ

为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.求满足下列条件的椭圆的标准方程，焦点在y轴上，焦距是4,且经过点M(3,2).

18.已知函数/(X)=2x-Inx,求函数的极值.

19.习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战，确保到2020年在我国现行

标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困是全部摘帽.某县在实施脱贫工作中因地制宜，着

力发展枣树种核项目.该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣

由经销商统一收购.为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100

千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.如表是红枣的分

级标准，其中一级品、二级品统称为优质品.

等级四级品三级品二级品一级品

红枣纵径加[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]

经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4

个均为优质品，则该箱红枣定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取

出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则

该箱红枣定为C类；其它情况均定为B类.已知每箱红枣重量为10千克，A类、B类、

C类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元.现有两种装箱方案：

方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱;

方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.

以频率代替概率解决下面的问题.

(I)如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A类的概率；

(2)根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由.

20.两位老师甲、乙和四位学生站成一排.(适当说明过程，列出式子并计算结果，结果用

数字表示)

(1)两位老师不能相邻，共有多少种排法？

(2)甲在乙左边，共有多少种排法？

(3)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？

(4)两位老师在中间，两端各两位学生，假如学生身高不等，要求学生由中间到两端从

高到矮排，共有多少种排法？

21.已知直线x+2y-2=0过抛物线C：x2—2py(p>0)的焦点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M,N

两点，当△AMV的面积是近^时，求点A的坐标.

2

22.已知函数/(x)=x2+x-Inx-\.

(1)求函数f(x)的极值点；

2x

(2)若g(x)=f(x)-nA—在口，+8)上单调递减，求实数机的取值范围.

x

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知危为平面内两个定点，尸为动点，若|PFi|-|尸尸2|="（a为大于零的常数），则

动点P的轨迹为（）

A.双曲线B.射线

C.线段D.双曲线的一支或射线

【分析】根据双曲线的定义，对动点P的轨迹进行判断，由此确定正确选项.

解：两个定点的距离为IQBI，

当时，P点的轨迹为双曲线的一支，

当1PBi-时，P点的轨迹为射线，

不存在尸尸心尸尸2|>/声2］的情况，

综上所述，P的轨迹为双曲线的一支或射线.

故选：D.

【点评】本小题主要考查双曲线定义的辨析，属于基础题.

22

2.若椭圆上一点尸到其焦点F,的距离为6,则P到另一焦点Fi的距离为（）

10036

A.4B.194C.94D.14

【分析】根据椭圆的定义|PFi|+|PF2|=2a,利用|PFi|=6,可求|PB|

解：由椭圆的定义知|尸加+|尸尸2|=2〃=20,

；|PQ|=6,

；.|PF2|=14.

故选：D.

【点评】本题给出椭圆上一点到一个焦点的距离，求它到另一个焦点的距离.着重考查

了椭圆的定义、标准方程与简单儿何性质等知识，属于基础题.

3.下列问题是排列问题的是（）

A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相写信一次，共写了多少封信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

【分析】排列问题是与顺序有关的问题，只有B选项涉及到顺序问题，由此可得结果.

解：对于48名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；

对于5,10个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，3正确；

对于C,5个点中任取2个点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；

对于4个数字中任取2个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，。错

误.

故选：B.

【点评】本题考查排列的概念，注意区分是否与顺序有关，属基础题.

4.已知函数y=/(x)的图象在点P(5,/(5))处的切线方程是y=-x+8,则

⑸=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】由己知分别求得，(5)与f(5)的值，作和得答案.

解：由函数y=/(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是丫=-x+8,

得f(5)--1,且/(5)=-5+8=3,

则/(5)4/(5)=3-1=2.

故选：A.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的概念及其儿何

意义，是基础题.

5.已知3AB=4A：T，则x等于（）

A.6B.13C.6或13D.12

【分析】根据排列数的公式，进行化简即可求解.

解：因为3AB=4AgT，

所以3X8!=4*9!

（8-x）!（10-x）!

化简得12-19x+78=0,

由题意得xW8,

解得x=6.

故选：A,

【点评】本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题目.

6.若xi、X2、…、X2021的方差为3,则3Cxi-2）、3（%2-2）、…、3（X2021-2）的方差

为（）

A.3B.9C.18D.27

【分析】根据题意，由方差的性质分析可得答案.

解：根据题意，若XI、X2、…、X2021的方差为3,

则3（XI-2）、3（X2-2）、…、3（X202I-2）的方差为32X3=27.

故选：D.

【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，注意方差的性质，属于基础题.

7.抛物线V=2px（p>0）的焦点为F,其准线与双曲线y2-/=i相交于人，B两点,若

△ABF为等边三角形，则°=（）

A.2&B.2>/3C.2D.3

【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐

标，利用三角形是等边三角形求出p即可.

解：抛物线的焦点坐标为（与0）,准线方程为：*=-2，

准线方程与双曲线V3=1联立可得：产（一5）2=1,

解得y=±J14^，

因为AABF为等边三角形，所以-2+p2=2|y|,即p2=3y2,

2-

即//=3（1+£-）,解得p=2百.

4

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能

力以及计算能力.

8.已知函数y=/（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数），=/（x）的图象如图所

示，则该函数的图象是（）

【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项.

解：由导数的图象可得，导函数(x)的值在［-1,0］上的逐渐增大，

故函数/(x)在［-1,0］上增长速度逐渐变大，故函数/(x)的图象是下凹型的.

导函数r(X)的值在［0,1］上的逐渐减小，

故函数/(x)在［0,1］上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，

故选：B.

【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2()分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

22

(多选)9.若方程屋4^=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中错误的是()

3~tt-l

A.若l<f<3,则C为椭圆

B.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<f<3

C.曲线C可能是圆

D.若C为双曲线，则

【分析】利用桶圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程，依次进行判断即

可.

解：对于4当r=2时;曲线表示圆，故选项A错误;

对于8,当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则Ll>3-f>0,解得2<f<3,故选项8

正确；

对于C,当f=2时，曲线C表示圆的方程，故选项C正确:

对于£>,当曲线C为双曲线时，则（3-f）（r-1）<0,解得或03,故选项。错

误.

故选：AO.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程、圆的标准方程以及双曲线的标准方程的理解与应

用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

（多选）10.下列求导错误的是（）

2

A.I*）'=3elB♦号一*

C.（2sinx-3）'=2cosxD.(xcosx)'=cosx-xsinx

【分析】根据导数的公式即可得到结论.

解：；那*）'=3e3x,.•.A错误，

_2X(2X+1)-2X2_2X2+2X

)'错误,

2x+l(2x+l)2(2x+l)2

*/(2sinx-3)'=2cosx,正确,

*/(xcosx)'=cos%-xsiar,工。正确,

故选：AB.

【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题.

（多选）11.已知仁斗）11的展开式的二项式系数和为128,则下列说法正确的是（）

Vx

A.〃=7

B.展开式中各项系数的和为-1

C.展开式中只有第4项的二项式系数最大

D.展开式中含/项的系数为84

【分析】4根据二项式系数和公式建立方程求出n的值，由此即可判断；B：令x=l

求出展开式的各项系数和，由此即可判断；C根据〃的值以及二项式系数的性质即可判

断；D：求出展开式的通项公式，然后令x的指数为4,进而可以判断.

解：A：由题意二项式系数和为2"=128,解得〃=7,故A正确，

B：令x=l,则展开式的各项系数和为（1-2）7=-1,故B正确，

C：因为〃=7,所以二项式系数最大项分别为第4项和第5项，故C错误,

D：展开式的通项公式为(-旨)r=Cr.J2)，?丁，片①I7,

令7-等=4,解得r=2,所以展开式中含/项的系数为C,,(-2产=84,故。正确，

故选：ABD.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到二项式系数的性质以及通项公式的求解,

属于基础题.

(多选)12.已知函数/(X)=/*,x6R.下列结论正确的是()

A.函数/(x)不存在最大值，也不存在最小值

B.函数/(x)存在极大值和极小值

C.函数/(x)有且只有1个零点

D.函数f(x)的极小值就是/(x)的最小值

【分析】利用导数研究函数/(X)的单调性，作出图像，求出函数的最小值，结合函数

零点，极值的概念依次判断选项即可.

解：*.*/(x)=x1ex,xGR,

:(x)=x(x+2)e',

令/(x)>0,解得x>0或xV-2,

令/(x)<0,解得-2Vx<0,

故/(x)在(-8,-2)递增，在-2,0)递减，在(0,+8)递增,

且/(0)=0,f(x)=/产，0,

如图示：

，/

L

-2()X

故/(x)min=f(0)=0,

函数在x=-2处取得极大值，在x=0处取得极小值，

极小值f(0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0,

故A错误，BCQ正确，

故选：BCD.

【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思

想，是基础题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是10.

【分析】本题根据组合的定义可列出组合式，计算可得结果.

解：由题意，

根据组合的定义，可知一共有蝇二晨晨；=10种.

故答案为：10.

【点评】本题主要考查组合的应用.考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力.本

题属基础题.

14.曲线尸cosx-/点(0,1)处的切线方程为x+2y-2=0.

【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x=0代入导数方程得出在点(0,1)处

的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程.

解：由题意，可知：

y,=_sinx---1,

2

•••)/|.v=o=-sinO

22

曲线尸co*-"I"在点(0,1)处的切线方程：y-1=--^x,

整理，得：x+2y-2=0.

故答案为：x+2y-2=0.

【点评】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点

斜式直线代入即可得到切线方程.本题属基础题.

15.从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出不再放回，第1次摸

到红球的概率为《，那么第2次摸到红球的概率为4.

2~2~

【分析】用4表示第1次摸到红球，A2表示第2次摸到红球，B表示第1次摸到黑球，

历表示第2次摸到黑球，由全概率公式求出第2次摸到红球的概率.

解：从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，

用4表示第1次摸到红球，上表示第2次摸到红球，田表示第1次摸到黑球，&表示第

2次摸到黑球.

由全概率公式得第2次摸到红球的概率为：

P(A2)=P(A1A2UB1A2)=P(A1A2)+P(B1A2)=P(Al)P(42区1)+P(Bl)P(A2IB1)

10X9110X10_1

10+1010+910+1010+92'

故答案为：-j-.

【点评】本题考查了古典概型概率和条件概率的计算问题，是基础题.

22_

16.设双曲线C卷■-J=1(a>0,ft>0)的一条渐近线为、=&》，则C的离心率为

【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a,h的关系，再由离心率的

公式及4,b,C之间的关系求出双曲线的离心率.

解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y=±2x,

a

由题意可得电=J5，所以离心率e———.1+—V3>

aaVa2

故答案为：V3.

【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.求满足下列条件的椭圆的标准方程，焦点在y轴上，焦距是4,且经过点M(3,2).

【分析】根据椭圆的性质，定义可得桶圆标准方程.

22

解：设椭圆的标准方程为Jf=1(。>6>0),

abz

由焦距是4,可得c=2.且焦点坐标为(0,-2),(0,2).

由椭圆的定义知，22m2+(2+2)2+732+(2-2)2=8，

所以a=4,所以82=〃2­02=]6-4=12,

22

所以椭圆的标准方程为匚上=1.

1612

【点评】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.

18.已知函数/(x)=2x-Inx,求函数的极值.

【分析】利用导数研究函数的单调性，即可求解.

解：*.'/(JC)—2x-lux,(x>0),

19v-1

'.f(x)—2-----:,(x>0),

XX

...当xe(0,—)时，f(x)<0；当xe(―,+8)时，f(x)>0,

22

'.f(x)在(0,上单调递减，在弓，+8)上单调递增，

•V(X)仅有极小值为=1+/,2

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属基础题.

19.习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战，确保到2020年在我国现行

标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困是全部摘帽.某县在实施脱贫工作中因地制宜，着

力发展枣树种核项目.该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣

由经销商统一收购.为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100

千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.如表是红枣的分

级标准，其中一级品、二级品统称为优质品.

等级四级品三级品二级品一级品

红枣纵径/〃2/W[30,35)[35,40)[40,45)[45,50J

经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4

个均为优质品，则该箱红枣定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取

出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则

该箱红枣定为C类；其它情况均定为B类.已知每箱红枣重量为10千克，A类、B类、

C类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元.现有两种装箱方案：

方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；

方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.

以频率代替概率解决下面的问题.

（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A类的概率；

（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由.

时彳

【分析】（1）计算从红枣中任意取出一个为优质品的概率值，求出采用方案一装箱时一

箱红枣被定为4类的概率值；

（2）计算该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望和采用方案二装箱，每箱红

枣收入的数学期望值，比较即可.

解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是

记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A类”为事件A,

则吗）口：（»（"）X/*

（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为8类”为事件8,

“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C类”为事件C,

则P（C）=（T）4+c：x，T）3*，

P（B）=1-P（A）-P（C）V，

所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：

215

200X-r^+160X^-+120X4^=155（元）；

16216

由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，

则一箱红枣被定为A类的概率为《，被定为C类的概率也为《，

所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为：

11/一、

200Xy+120Xy-l=159（兀）；

所以该农户采用方案二装箱更合适.

【点评】本题考查了概率与统计的应用问题，也考查了数学期望计算问题，是中档题.

20.两位老师甲、乙和四位学生站成一排.（适当说明过程，列出式子并计算结果，结果用

数字表示）

（1）两位老师不能相邻，共有多少种排法？

（2）甲在乙左边，共有多少种排法？

（3）最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？

（4）两位老师在中间，两端各两位学生，假如学生身高不等，要求学生由中间到两端从

高到矮排，共有多少种排法？

【分析】（1）根据题意，先将4位学生全排列，再将两位老师插入到把四位学生排列后

所成的空中，由分步计数原理计算可得答案：

（2）根据题意，将6人全排列，而甲在乙左边与甲在乙右边的情况数目相同，分析可得

答案；

（3）根据题意，分2种情况讨论：①最左端排甲，其余任意排，②最左端排乙，最右端

从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，由加法原理计算可得答案.

解：（1）根据题意，先将4位学生全排列，再将两位老师插入到把四位学生排列后所成

的空中，

故有A；A系480种排法；

（2）根据题意，将6人排成一排，有A3=720种排法，

甲在乙左边与甲在乙右边的情况数目相同，则甲在乙左边的排法有，720=36讲巾，

（3）根据题意，分2种情况讨论：

①最左端排甲，其余任意排，有山种，

□

③最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，有种，

故有"+A：A：=216种排法.

（4）两位老师排列有两种方法，由于两端学生按身高排列，相当于顺序固定，故四位学

生分两组共有6种，所以共有2X6=12种.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

21.已知直线x+2y-2=0过抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M,N

两点，当的面积是近■时，求点A的坐标.

2

【分析】（1）求出焦点坐标为（0,1）,从而得到P=2,求出抛物线方程；

（2）设出4（m,-1）,过点A的抛物线的切线方程设为y=-1+1（x-m）,与抛物

线方程联立，根据△=0得到16炉-I6mk-16=0,设过点A的抛物线的两条切线方程的

斜率分别为ki,ki,求出k\+ki=m,%%2=-1,表达出|MN|=M-X2|=|42-h|,

2

SAAHN-17m+4-列出方程和百i斗，求出，〃=±1,得到点A的坐标.

解：（1）x+2y-2=0中，令x=0得：y=l,

故焦点坐标为（0,1）,

故步1，

解得：p=2,

故抛物线方程为N=4y；

（2）抛物线准线方程为：y=-1,

设A（九-1）,过点4的抛物线的切线方程设为y=-l+Z（x-加），

联立龙2=4），得：xr-4而+4切?+4=0,

由△=16R-16〃次-16=0,设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为心，42,

故ki+k2=m,