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文档简介
2023年高考数学模拟试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数/(x)=sin(,M+。)的部分图象如图所示,则/(x)的单调递增区间为()
A.-----\~k兀,-----\-krc、keZB.-----t2k冗,----卜2k/reZ
4444
C.卜k、------卜keZD.卜2k,-----F2k,k邑Z
4444
2.已知直线/:岳+y+2=0与圆。:f+y2=4交于A,B两点,与/平行的直线4与圆。交于M,N两点,
且/ZM6与的面积相等,给出下列直线4:①6x+y-2百=0,②辰+y-2=0,③x-百y+2=0,
④氐+y+26=0.其中满足条件的所有直线《的编号有()
A.①②B.①④C.②③D.①②④
3.已知x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则"的值是()
x>a
321
A.4B.-C.—D.一
4114
4.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几
何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N除以正整数,〃后的余数为〃,则记为N=〃(modm),例如
H=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的〃等于().
A.21B.22C.23D.24
5.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻,则满足要求的排队方法数为().
A.432B.576C.696D.960
6.函数〃x)=cos2x+下二的图象大致是()
2—1
7.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分),下表为高一•一班40名同学的数学竞赛成绩:
55575961686462598088
98956073887486777994
971009997898180607960
82959093908580779968
如图的算法框图中输入的q为上表中的学生的数学竞赛成绩,运行相应的程序,输出机,〃的值,则机-〃=()
莘
/输当肛〃/
「结束一]
C.10D.12
8.函数/(%)=sinx(一乃万且XHO)的图象是()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
10.若复数[满足2z-彳=3+⑵,其中i为虚数单位,5是z的共匏复数,则复数忖=()
A.375B.2A/5C.4D.5
X)
11.已知集合乂=3Iy=2,x>0},N={x|y=lg(2x-^)},则MClN为()
A.(1,+oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+oo)
12.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是()
3283216
---\--nD.-----1--71
333333
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,
13.过抛物线C::/=2px(p>0)的焦点尸且倾斜角为锐角的直线/与C交于A,3两点,过线段A3的中点N
且垂直于/的直线与C的准线交于点若=则/的斜率为.
14.若[6—的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中各项的系数和是.
15.已知变量看,%<0,m)(心0),且不<々,若X/■”恒成立,则,”的最大值______.
16.某市高三理科学生有15000名,在一次调研测试中,数学成绩J服从正态分布N(100,er2),已知
P(80<(^<100)=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析,则应从120分以上的试卷中抽取的份数为
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)max卜7?,〃}表示加,〃中的最大值,如max{3,^/iU}=^/i6,己知函数,(x)=max{x2-1,21nx},
g(x)=max-x+lnx,—%2+|tz2——|x+2a2+4〃
(1)设力。)=/。)一31一;卜x-l)2,求函数/z(x)在(0,1]上的零点个数;
3
(2)试探讨是否存在实数ae(—2,+»),使得g(x)</X+4。对xe(a+2,+8)恒成立?若存在,求。的取值范围;
若不存在,说明理由.
18.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改
善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全
体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;
(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下
表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?
(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,
在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
19.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如
图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.
(1)求图中”的值;
(2)根据已知条件完成下面2x2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(3)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X
的分布列与数学期望石(X).
(参考公式:k2=-------——------------,其中=)
(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k)
00.400.250.150.100.050.025
k。0.7801.3232.0722.7063.8415.024
cosBcosC2#sirU
----+----=-------
20.(12分)已知在/4B。中,角48,C的对边分别为a,b,c,且bc3sme.
(1)求万的值;
(2)若cosB+psinB=2,求a+c的取值范围.
[,6t
x=l+——t
21.(12分)已知直线/的参数方程为{2a为参数),以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标
1
y=t
[2
系,曲线C的极坐标方程为。=4cos8.
(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点尸(1,0),直线/与曲线C交于A,B两点,求IAPI+IPBI的值.
22.(10分)已知在平面直角坐标系X0V中,直线C的参数方程为:一。a为参数),以坐标原点为极点,X轴
-[y=2+r
的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为夕=cos。(夕cos8+2).
(1)求曲线G与直线C2的直角坐标方程;
(2)若曲线G与直线G交于A,3两点,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
由图象可以求出周期,得到切,根据图象过点(3,-1)可求9,根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.
4
【详解】
由图象知_T=巳5_1:=1,
244
2万
所以7=2,s=—=兀,
2
3
又图象过点(1—1),
所以-1=sin(3二7r+0),
4
371
故。可取一,
4
3万
所以fM=sin(%x4--)
4
Ac,兀,3乃,c,TC.r
令2k兀<7ixH---W2k兀H—,%£Z,
242
解得2k—<xW2k—,kGZ
44
所以函数的单调递增区间为一3+2攵,一!+2%,keZ
44
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质,利用“五点法”求函数解析式,属于中档题.
2.D
【解析】
求出圆心。到直线/的距离为:d=\=^r,得出2408=120。,根据条件得出0到直线乙的距离d'=1或百时满足
条件,即可得出答案.
【详解】
解:由已知可得:圆。:/+丁=4的圆心为(0,0),半径为2,
则圆心。到直线/的距离为:d=\=-r,
2
:.ZAOB=nO°,
而"4,AM?与AOMN的面积相等,
...NM0V=12O。或60°,
即。到直线4的距离d=1或也时满足条件,
根据点到直线距离可知,①②④满足条件.
故选:D.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.
3.D
【解析】
y=xx=a
试题分析:先画出可行域如图:由晨冲2,得趾0,由得室⑷’当直线z=2、+),过点时'
目标函数z=2x+y取得最大值,最大值为3;当直线2=21+丁过点。(4,。)时,目标函数z=2x+y取得最小值,
最小值为3a;由条件得3=4x3a,所以故选D.
考点:线性规划.
4.C
【解析】
从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.
5.B
【解析】
先把没有要求的3人排好,再分如下两种情况讨论:1.甲、丁两者一起,与乙、丙都不相邻,2.甲、丁一起与乙、丙二
者之一相邻.
【详解】
首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有A;种不同排列方式,甲、丁排在一起共有A;种不同方式;
若甲、丁一起与乙、丙都不相邻,插入余下三人产生的空档中,共有A:种不同方式;
若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻,插入余下三人产生的空档中,共有种不同方式;
根据分类加法、分步乘法原理,得满足要求的排队方法数为用&(A:+C;A:)=576种.
故选:B.
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用,在分类时,要注意不重不漏的原则,本题是一道中档题.
6.C
【解析】
根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.
【详解】
\2cos2x2V+1
------=-----xcos2x»
•f(vx)7=cos2x+2'-l2,-1
f(-x)=xcos(-2x)=-+xcos2x=-/(x),
,函数/(x)为奇函数,
...排除选项A,B;
又•.•当时,〃x)>(),
故选:C.
【点睛】
本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.
7.D
【解析】
根据程序框图判断出〃,机的意义,由此求得加,〃的值,进而求得〃L”的值.
【详解】
由题意可得〃的取值为成绩大于等于90的人数,旭的取值为成绩大于等于60且小于90的人数,故〃?=24,〃=12,
所以m—n=24-12=12.
故选:D
【点睛】
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力和数学应用意识.
8.B
【解析】
先判断函数的奇偶性,再取特殊值,利用零点存在性定理判断函数零点分布情况,即可得解.
【详解】
由题可知/(x)定义域为[-肛0)口(0,司,
/(t)=Jx--sin(-x)=fx-sinx=/(x),
/(x)是偶函数,关于>轴对称,
二排除C,D.
9]siT=4<0,/⑶=佰-2"心力—2>0,
兀)612乃\2)<27t)22万
・•.“X)在(0,左)必有零点,排除A.
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数图象的判断,考查了函数的性质,属于中档题.
9.B
【解析】
根据诱导公式化简sin[+y)=cos),再分析即可.
【详解】
\jr।IT57r\冗
因为cosX=sin不+y=cos>,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如cos—=cos^--,W-
所以P是q的必要而不充分条件.
故选:B
【点睛】
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
10.D
【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.
【详解】
解:复数z=a+8i,。、bdR;
V2z-z=3+12z,
.♦.2Ca+bi')-(a-bi)=3+12z,
2a—a-3
即<,
[2b+h^l2
解得a=3,b=4,
.♦.z=3+4i,
|z|=J32+4?=5,
故选O.
【点睛】
本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题.
11.B
【解析】
M={y\y=2x,x>0}=帅>/},
N={x|v=lg(2x-x-/}={x\2x-x~>0]
={x|x--2x<0}={x|0<x<2},
:.MCN=(1,2).
故选B.
12.B
【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,
底面半径为2,则其体积为V=Lx4x4x2+Lx』x乃x4x4,
223
8
=1ir6d■—7t.
3
故选B
点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正
视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.G
【解析】
分别过A,8,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为4,B',N',根据抛物线定义和|MN|=g|AB|求得NMNN',
从而求得直线/的倾斜角.
【详解】
分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为A,B',N',由抛物线的定义知|4目=|/刈,忸耳=忸0,
|AW,|=^(|A4,|+|BB,|)=||AB|,因为眼叫=,所叫MV'|=当阳M,所以4WV"=3()。,即直线MV
的倾斜角为15()。,又直线MN与直线/垂直且直线/的倾斜角为锐角,所以直线/的倾斜角为60。,kAB=^.
故答案为:G
【点睛】
此题考查抛物线的定义,根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解,属于较易题目.
14.1
【解析】
由题意得出展开式中共有11项,〃=10;再令x=l求得展开式中各项的系数和.
【详解】
由回昌、
的展开式中只有第六项的二项式系数最大,
7
所以展开式中共有11项,所以〃=10;
令x=l,可求得展开式中各项的系数和是:
故答案为:1.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,考查二项式展开式各项系数和的求法,属于基础题.
15.e
【解析】
InX
在不等式两边同时取对数,然后构造函数/(X),求函数的导数,研究函数的单调性即可得到结论.
x
【详解】
不等式两边同时取对数得In<]n々%
即X2加又X],£€(°,〃?)
Inx.Inx,
即一L<--成立,
InX
设/(x)=----,(0,m)9
X
VX1<X2,/(XI)<f(X2),则函数/(x)在(0,上为增函数,
1_]
—»皿,./.A.C=J,w*x-inx
函数的导数f⑴-X1—Inx,
X2
由/(x)>0得1-/"x>0得/”xVL
得OVxVe,
即函数/(x)的最大增区间为(0,e),
则机的最大值为e
故答案为:e
【点睛】
本题考查函数单调性与导数之间的应用,根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数,是解决本题的关键
16.10
【解析】
由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率,乘以100可得.
【详解】
解:P«>120)=;口一2P(80<<<100)]=0.10,
所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=1()份.
故答案为:10.
【点睛】
本题考查正态分布曲线,属于基础题.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1)2个;(1)存在,(里」,2].
4
【解析】
试题分析:(1)设F(x)=x2-l-2kix.对其求导,及最小值,从而得到f(x)的解析式,进一步求值域即可;(1)
分别对aW0和a>0两种情况进行讨论,得到g8的解析式,进一步构造h(Z,通过求导得到最值,得到满足条件
的a的范围.
试题解析:(1)设/力二一一1一21nx,F(X)=2X-2=_?I^__1)(、+1)...........1分
令尸'(x)>0,得x>l,*x)递增;令尸(x)<0,得0<x<l,尸(x)递减,.................1分
*22
..F(x)min=F(l)=0,.-,F(x)>0,即x-lN21nx,•••f(x)=x-l...........3分
设G(x)=3(x-;/龙-1)二结合/(力与G(x)在(0,1]上图象可知,这两个函数的图象在(0,1]上有两个交点,即
〃(x)在(05上零点的个数为1.........................5分
(或由方程/(x)=G(x)在(0,1]上有两根可得)
<1)假设存在实数ae(-2,+oo),使得g(x)<,x+4a对xe(a+2,-K»)恒成立,
,3,
x+lnx<—X+4Q
则{/1x3,对XW(〃+2,4W)恒成立,
—x~+1ci~—x+2。~+4。<—x+4。
I2J2
,14
inx——x<4a
即{2,对尤£(a+2,+x>)恒成立.................................6分
(尤+2乂%-叫>0
①设H(x)=In尤-gx,W(x)=-=2-x
2x
令”[x)>(),得0<x<2,”(x)递增;令〃(x)<(),得x>2,〃(x)递减,
AH(x)nm=〃(2)=ln2-1,
当0<a+2<2即—2<a<0时,4a>ln2-l,':a<0,/.4«e5-,0
故当ae'n:L。)时,lnx-;x<4a对xe(a+2,+oo)恒成立,.......................8分
当a+222即aNO时,”(x)在(。+2,故)上递减,〃(x)<〃(a+2)=ln(a+2)—ga—1.
••,(ln(a+2)一口-1=-^-1<0»/.H(iz+2)<H(0)=ln2-l<0,
故当时,lnx-gx<4a对xw(a+2,+oo)恒成立..............................10分
②若(x+2乂x-/)>0对xw(a+2,+oo)恒成立,则。+22a?,.•.〃«—1,2].........11分
由①及②得,[七一,2.
3
故存在实数ae(-2,+oo),使得g(x)<]X+4a对xw(a+2,+»)恒成立,
1r\।
(七」,2.............................................11分
考点:导数应用.
【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题;利用导数来判断函数的单调性,进一步求最值;属于难题.本题考查函数
导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定
极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的
值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也
可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
18.(1)144(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析
【解析】
(1)由题意可计算后三组的频数的总数,由其成等差数列可得后三组频数,可得视力在5.0以上的频率,可得全年级
视力在5.0以上的的人数;
(2)由题中数据计算二的值,对照临界值表可得答案;
(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,可得
X可取0,1,2,分别计算出其概率,列出分布列,可得其数学期望.
【详解】
解:(1)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列,共有100-(3+7+27)=63
(人)
所以后三组频数依次为24,21,18,
所以视力在5.0以上的频率为0.18,
故全年级视力在5.0以上的的人数约为800x0.18=144人
⑵*100x(44x18-32x6)、当“895>7.879,
50x50x76x2419
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.
Q1
(3)调查的100名学生中不近视的共有24人,从中抽取8人,抽样比为上=上,这8人中不做眼保健操和坚持做眼
243
保健操的分别有2人和6人,
X可取0,1,2,
「21
P(x=0)=胪之,P(X=1)
C;
X的分布列
X的数学期望E(X)=0x』+l\噂+2x^|=L5.
ZoZoZo
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图,独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识,考查学生分析数据与处理数
据的能力,属于中档题.
19.(1)。=0.005;(2)列联表见解析,有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)分布列见解析,4X)=3
【解析】
(1)由频率和为1,列出方程求”的值;
(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率,计算晋级成功的人数,
填写2x2列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;
(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率,
知随机变量X服从二项分布,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望.
【详解】
解:(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,
可知(2。+0.020+0.030+0.040)x10=1,
解得a-0.005;
(2)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为().2()+().05=().25,
所以晋级成功的人数为100x0.25=25(人),
填表如下:
晋级成功晋级失败合计
男163450
女94150
合计2575100
假设“晋级成功”与性别无关,
根据上表数据代入公式可得K2=10丝(16』41-34><9)工2.613>2.072,
25x75x50x50
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关;
(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75,
将频率视为概率,
则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为0.75,
所以X可视为服从二项分布,即X〜,4;1
P(X=k)=C:J*伏=o,1,2,3,4),
故P-oY即*短,
P(X=2)=c:
p(X=3)=C:
P(X=4)=C:
所以X的分布列为:
X01234
1125410881
P(X=k)
256256256256256
数学期望为E(X)=4x3=3.或(E(X)=J-XO+卫xl+区x2+吧x3+^x4=3).
4256256256256256
【点睛】
本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题,属于中档题.若离散型随机变量
X~B(n,p),则E(X)=np,D(x)=np(l-p).
20.⑴”9⑵…/扬
【解析】试题分析:(1)本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值,所以可以考虑到根据余弦定理将cos及cosC
sinAa
分别用边表示,再根据正弦定理可以将菽转化为A于是可以求出b的值;(2)首先根据$»18+58$3=2求出角8的
值,根据第⑴问得到的殖,可以运用正弦定理求出LC外接圆半径R,于是可以将“+c转化为2Rsnvl+2RsmC,
又因为角8的值已经得到,所以将2Rsni4+2RsmC转化为关于,的正弦型函数表达式,这样就可求出取值范围;另外本
问也可以在求出角3的值后,应用余弦定理及重要不等式J+』22农,求出。+c的最大值,当然,此时还要注意到三
角形两边之和大于第三边这一条件.
cosBcosC2#sin4
试题解析:(1)由b1c~3sinC,
应用余弦定理,可得
2222221~
ac-b~Q-+6"-c
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