2023年浙江省六校联盟高三压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（x）=sin（，M+。）的部分图象如图所示，则/（x）的单调递增区间为（）

A.-----\~k兀,-----\-krc、keZB.-----t2k冗,----卜2k/reZ

4444

C.卜k、------卜keZD.卜2k,-----F2k,k邑Z

4444

2.已知直线/：岳+y+2=0与圆。：f+y2=4交于A,B两点,与/平行的直线4与圆。交于M,N两点，

且/ZM6与的面积相等，给出下列直线4：①6x+y-2百=0,②辰+y-2=0,③x-百y+2=0,

④氐+y+26=0.其中满足条件的所有直线《的编号有（）

A.①②B.①④C.②③D.①②④

3.已知x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则"的值是（）

x>a

321

A.4B.-C.—D.一

4114

4.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几

何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数，〃后的余数为〃，则记为N=〃（modm）,例如

H=2（mod3）.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的〃等于（）.

A.21B.22C.23D.24

5.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.

A.432B.576C.696D.960

6.函数〃x）=cos2x+下二的图象大致是（）

2—1

7.某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一•一班40名同学的数学竞赛成绩:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如图的算法框图中输入的q为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出机，〃的值，则机-〃=（）

莘

/输当肛〃/

「结束一］

C.10D.12

8.函数/(%)=sinx（一乃万且XHO）的图象是（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.若复数［满足2z-彳=3+⑵，其中i为虚数单位，5是z的共匏复数，则复数忖=（）

A.375B.2A/5C.4D.5

X)

11.已知集合乂=3Iy=2,x>0},N={x|y=lg(2x-^)},则MClN为()

A.(1,+oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+oo)

12.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是（）

3283216

---\--nD.-----1--71

333333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，

13.过抛物线C：：/=2px(p>0)的焦点尸且倾斜角为锐角的直线/与C交于A,3两点，过线段A3的中点N

且垂直于/的直线与C的准线交于点若=则/的斜率为.

14.若［6—的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是.

15.已知变量看,%<0,m)(心0),且不<々，若X/■”恒成立，则，”的最大值______.

16.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩J服从正态分布N(100,er2),已知

P(80<(^<100)=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)max卜7?,〃}表示加，〃中的最大值，如max{3,^/iU}=^/i6,己知函数，(x)=max{x2-1,21nx},

g(x)=max-x+lnx,—%2+|tz2——|x+2a2+4〃

(1)设力。)=/。)一31一；卜x-l)2,求函数/z(x)在(0,1］上的零点个数；

3

(2)试探讨是否存在实数ae(—2,+»),使得g(x)</X+4。对xe(a+2,+8)恒成立？若存在，求。的取值范围；

若不存在，说明理由.

18.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改

善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全

体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.

（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；

（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下

表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？

（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，

在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

19.（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如

图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败.

（1）求图中”的值;

(2)根据已知条件完成下面2x2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X,求X

的分布列与数学期望石(X).

(参考公式：k2=-------——------------,其中=)

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)

00.400.250.150.100.050.025

k。0.7801.3232.0722.7063.8415.024

cosBcosC2#sirU

----+----=-------

20.(12分)已知在/4B。中，角48,C的对边分别为a,b,c,且bc3sme.

(1)求万的值；

(2)若cosB+psinB=2,求a+c的取值范围.

[,6t

x=l+——t

21.(12分)已知直线/的参数方程为｛2a为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标

1

y=­t

[2

系，曲线C的极坐标方程为。=4cos8.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点尸(1,0),直线/与曲线C交于A,B两点,求IAPI+IPBI的值.

22.(10分)已知在平面直角坐标系X0V中，直线C的参数方程为:一。a为参数)，以坐标原点为极点，X轴

-[y=2+r

的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=cos。(夕cos8+2).

(1)求曲线G与直线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线G与直线G交于A,3两点，求的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由图象可以求出周期，得到切，根据图象过点(3,-1)可求9,根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.

4

【详解】

由图象知_T=巳5_1:=1,

244

2万

所以7=2,s=—=兀，

2

3

又图象过点(1—1),

所以-1=sin(3二7r+0),

4

371

故。可取一，

4

3万

所以fM=sin(%x4--)

4

Ac,兀，3乃,c,TC.r

令2k兀<7ixH---W2k兀H—,%£Z,

242

解得2k—<xW2k—,kGZ

44

所以函数的单调递增区间为一3+2攵，一!+2%,keZ

44

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.

2.D

【解析】

求出圆心。到直线/的距离为：d=\=^r,得出2408=120。，根据条件得出0到直线乙的距离d'=1或百时满足

条件，即可得出答案.

【详解】

解：由已知可得：圆。：/+丁=4的圆心为(0,0),半径为2,

则圆心。到直线/的距离为：d=\=-r,

2

：.ZAOB=nO°,

而"4，AM?与AOMN的面积相等，

...NM0V=12O。或60°,

即。到直线4的距离d=1或也时满足条件，

根据点到直线距离可知，①②④满足条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.

3.D

【解析】

y=xx=a

试题分析：先画出可行域如图：由晨冲2,得趾0，由得室⑷’当直线z=2、+），过点时'

目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线2=21+丁过点。（4,。）时，目标函数z=2x+y取得最小值,

最小值为3a；由条件得3=4x3a,所以故选D.

考点：线性规划.

4.C

【解析】

从21开始，输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.

5.B

【解析】

先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二

者之一相邻.

【详解】

首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有A；种不同排列方式，甲、丁排在一起共有A；种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有A：种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；

根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为用&(A：+C；A：)=576种.

故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.

6.C

【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.

【详解】

\2cos2x2V+1

------=-----xcos2x»

•f(vx)7=cos2x+2'-l2，-1

f(-x)=xcos(-2x)=-+xcos2x=-/(x),

，函数/(x)为奇函数，

...排除选项A,B；

又•.•当时，〃x)>(),

故选：C.

【点睛】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.

7.D

【解析】

根据程序框图判断出〃，机的意义，由此求得加，〃的值，进而求得〃L”的值.

【详解】

由题意可得〃的取值为成绩大于等于90的人数，旭的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故〃?=24,〃=12,

所以m—n=24-12=12.

故选：D

【点睛】

本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.

8.B

【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.

【详解】

由题可知/(x)定义域为[-肛0)口(0,司，

/(t)=Jx--sin(-x)=fx-sinx=/(x),

/(x)是偶函数，关于>轴对称,

二排除C,D.

9]siT=4<0,/⑶=佰-2"心力—2>0,

兀)612乃\2)<27t)22万

・•.“X)在(0,左)必有零点，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.

9.B

【解析】

根据诱导公式化简sin[+y)=cos)，再分析即可.

【详解】

\jr।IT57r\冗

因为cosX=sin不+y=cos>,所以q成立可以推出p成立，但p成立得不到q成立，例如cos—=cos^--,W-

所以P是q的必要而不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.

10.D

【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.

【详解】

解：复数z=a+8i,。、bdR；

V2z-z=3+12z,

.♦.2Ca+bi')-(a-bi)=3+12z,

2a—a-3

即<,

[2b+h^l2

解得a=3,b=4,

.♦.z=3+4i,

|z|=J32+4?=5,

故选O.

【点睛】

本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题.

11.B

【解析】

M={y\y=2x,x>0}=帅>/},

N={x|v=lg(2x-x-/}={x\2x-x~>0]

={x|x--2x<0}={x|0<x<2},

:.MCN=(1,2).

故选B.

12.B

【解析】

该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4,

底面半径为2,则其体积为V=Lx4x4x2+Lx』x乃x4x4,

223

8

=1ir6d■—7t.

3

故选B

点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正

视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.G

【解析】

分别过A,8,N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为4,B',N',根据抛物线定义和|MN|=g|AB|求得NMNN',

从而求得直线/的倾斜角.

【详解】

分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A,B',N',由抛物线的定义知|4目=|/刈，忸耳=忸0，

|AW,|=^(|A4,|+|BB,|)=||AB|,因为眼叫=，所叫MV'|=当阳M，所以4WV"=3()。，即直线MV

的倾斜角为15()。，又直线MN与直线/垂直且直线/的倾斜角为锐角，所以直线/的倾斜角为60。，kAB=^.

故答案为：G

【点睛】

此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.

14.1

【解析】

由题意得出展开式中共有11项，〃=10；再令x=l求得展开式中各项的系数和.

【详解】

由回昌、

的展开式中只有第六项的二项式系数最大,

7

所以展开式中共有11项，所以〃=10；

令x=l,可求得展开式中各项的系数和是:

故答案为：1.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.

15.e

【解析】

InX

在不等式两边同时取对数，然后构造函数/（X）,求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.

x

【详解】

不等式两边同时取对数得In<]n々％

即X2加又X],£€(°,〃?)

Inx.Inx,

即一L<--成立,

InX

设/(x)=----，(0,m)9

X

VX1<X2,/(XI)<f(X2),则函数/(x)在(0,上为增函数,

1_]

—»皿，./.A.C=J,w*x-inx

函数的导数f⑴-X1—Inx,

X2

由/(x)>0得1-/"x>0得/”xVL

得OVxVe,

即函数/（x）的最大增区间为（0,e）,

则机的最大值为e

故答案为：e

【点睛】

本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键

16.10

【解析】

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得.

【详解】

解：P«>120)=；口一2P(80<<<100)］=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=1()份.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查正态分布曲线，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)2个；(1)存在，(里」,2］.

4

【解析】

试题分析：(1)设F(x)=x2-l-2kix.对其求导，及最小值，从而得到f(x)的解析式，进一步求值域即可；(1)

分别对aW0和a>0两种情况进行讨论，得到g8的解析式，进一步构造h(Z，通过求导得到最值，得到满足条件

的a的范围.

试题解析：（1）设/力二一一1一21nx,F（X）=2X-2=_?I^__1）（、+1）...........1分

令尸'（x）>0,得x>l,*x）递增；令尸（x）<0,得0<x<l,尸（x）递减,.................1分

*22

..F（x）min=F（l）=0,.-,F（x）>0,即x-lN21nx，•••f（x）=x-l...........3分

设G(x)=3(x-；/龙-1)二结合/(力与G(x)在(0,1］上图象可知，这两个函数的图象在(0,1］上有两个交点，即

〃(x)在(05上零点的个数为1.........................5分

(或由方程/(x)=G(x)在(0,1］上有两根可得)

<1)假设存在实数ae(-2,+oo),使得g(x)<,x+4a对xe(a+2,-K»)恒成立，

,3,

x+lnx<—X+4Q

则｛/1x3，对XW(〃+2,4W)恒成立，

—x~+1ci~—x+2。~+4。<—x+4。

I2J2

,14

inx——x<4a

即｛2,对尤£(a+2,+x>)恒成立.................................6分

(尤+2乂%-叫>0

①设H(x)=In尤-gx,W(x)=-=2-x

2x

令”[x)>(),得0<x<2,”(x)递增；令〃(x)<(),得x>2,〃(x)递减,

AH(x)nm=〃(2)=ln2-1,

当0<a+2<2即—2<a<0时，4a>ln2-l,'：a<0,/.4«e5-,0

故当ae'n：L。)时,lnx-；x<4a对xe(a+2,+oo)恒成立,.......................8分

当a+222即aNO时，”(x)在(。+2,故)上递减，〃(x)<〃(a+2)=ln(a+2)—ga—1.

••,(ln(a+2)一口-1=-^-1<0»/.H(iz+2)<H(0)=ln2-l<0,

故当时，lnx-gx<4a对xw(a+2,+oo)恒成立..............................10分

②若(x+2乂x-/)>0对xw(a+2,+oo)恒成立，则。+22a?,.•.〃«—1,2].........11分

由①及②得，[七一，2.

3

故存在实数ae(-2,+oo),使得g(x)<]X+4a对xw(a+2,+»)恒成立，

1r\।­

(七」,2.............................................11分

考点：导数应用.

【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题.本题考查函数

导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定

极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的

值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理.也

可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

18.(1)144(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析

【解析】

(1)由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级

视力在5.0以上的的人数；

(2)由题中数据计算二的值，对照临界值表可得答案;

(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得

X可取0,1,2,分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.

【详解】

解：(1)由图可知，第一组有3人,第二组7人,第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有100-(3+7+27)=63

(人)

所以后三组频数依次为24,21,18,

所以视力在5.0以上的频率为0.18,

故全年级视力在5.0以上的的人数约为800x0.18=144人

⑵*100x(44x18-32x6)、当“895>7.879,

50x50x76x2419

因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.

Q1

(3)调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为上=上，这8人中不做眼保健操和坚持做眼

243

保健操的分别有2人和6人，

X可取0,1,2,

「21

P(x=0)=胪之,P(X=1)

C；

X的分布列

X的数学期望E(X)=0x』+l\噂+2x^|=L5.

ZoZoZo

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数

据的能力，属于中档题.

19.(1)。=0.005；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，4X)=3

【解析】

(1)由频率和为1,列出方程求”的值；

(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，

填写2x2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，

知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.

【详解】

解：(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,

可知(2。+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a-0.005；

(2)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为().2()+().05=().25,

所以晋级成功的人数为100x0.25=25(人)，

填表如下：

晋级成功晋级失败合计

男163450

女94150

合计2575100

假设“晋级成功”与性别无关，

根据上表数据代入公式可得K2=10丝(16』41-34><9)工2.613>2.072，

25x75x50x50

所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75,

将频率视为概率，

则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75,

所以X可视为服从二项分布，即X〜,4；1

P(X=k)=C：J*伏=o,1,2,3,4),

故P-oY即*短，

P（X=2）=c：

p（X=3）=C：

P（X=4）=C：

所以X的分布列为:

X01234

1125410881

P（X=k）

256256256256256

数学期望为E（X）=4x3=3.或（E（X）=J-XO+卫xl+区x2+吧x3+^x4=3）.

4256256256256256

【点睛】

本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题.若离散型随机变量

X~B（n,p）,则E（X）=np,D（x）=np（l-p）.

20.⑴”9⑵…/扬

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos及cosC

sinAa

分别用边表示，再根据正弦定理可以将菽转化为A于是可以求出b的值；（2）首先根据$»18+58$3=2求出角8的

值，根据第⑴问得到的殖，可以运用正弦定理求出LC外接圆半径R,于是可以将“+c转化为2Rsnvl+2RsmC,

又因为角8的值已经得到，所以将2Rsni4+2RsmC转化为关于，的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本

问也可以在求出角3的值后，应用余弦定理及重要不等式J+』22农，求出。+c的最大值，当然，此时还要注意到三

角形两边之和大于第三边这一条件.

cosBcosC2#sin4

试题解析：（1）由b1c~3sinC,

应用余弦定理，可得

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ac-b~Q-+6"-c