3.2.2双曲线的几何性质-高二数学精讲与精练高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页3.2.2双曲线的几何性质【考点梳理】考点一：双曲线的性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)考点二：等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).考点三:直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．考点四：弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【题型归纳】题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）1．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知双曲线，则当实数变化时，这些双曲线有（

）A．相同的焦点 B．相同的实轴长 C．相同的离心率 D．相同的渐近线【答案】D【分析】分别求与时双曲线的的值，由此判断各选项的对错.【详解】当时，方程可化为，∴，，，焦点坐标在x轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，当时，方程可化为，∴，，，焦点坐标在y轴，实轴长为，离心率为，渐近线为，所以这些双曲线有相同的渐近线.故选：D.2．（2023·高二课时练习）双曲线：与双曲线：的（

）A．实轴长相等 B．焦点坐标相同C．焦距相等 D．离心率相等【答案】C【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定.【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为.由双曲线的方程可得：,.双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误；因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误；因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确；因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.故选：C.3．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）关于双曲线（，），有下列四个结论：①虚轴长为4：

②离心率为2；③焦距为8；

④渐近线方程为．若其中有且只有一个错误结论，则该错误结论的序号是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】任取双曲线的四个结论中的两个求解.【详解】当①虚轴长为4，②离心率为2时，则，所以故③④错误，不符合题意；当①虚轴长为4，③焦距为8时，则，所以，故，故②错④正确，符合题意；当①虚轴长为4，④渐近线方程为时，则，所以，故②错③正确，符合题意；当③焦距为8，④渐近线方程为时，则，所以，故②错①正确，符合题意；故选：B题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）4．（2021秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由和可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解【详解】由题意，由双曲线定义可知，又又又故双曲线的实轴长为故选：B5．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）设双曲线的实轴长为8，则该双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据题意可判断出，；根据双曲线的实轴长为8可求出的值，从而可求出双曲线的离心率.【详解】由题意，知，，因为双曲线的实轴长为8，所以，即，所以，所以(舍)，所以，即，所以该双曲线的离心率为.故选：C.6．（2022秋·江苏南通·高二阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知，进而结合题意设，再结合，计算即可得答案.【详解】解：由题知，因为圆与双曲线交于两点，所以，根据对称性可设，所以，，所以，因为，即，所以故选：B题型三：等轴双曲线7．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）已知等轴双曲线C的中心为O，焦点为、，若双曲线C上一点P满足：，，则＝.【答案】【分析】根据双曲线的定义求出a、b、c，求出、，设P为(x，y)，根据，解出P点坐标，根据两点间距离公式即可求﹒【详解】，∴，，，，设P(x，y)，则①，②，由①②解得，，.故答案为：.8．（2021秋·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为．【答案】【详解】设等轴双曲线方程为，由题意可得抛物线的准线为，由，得，所以不妨设点，因为点在等轴双曲线上，所以，所以等轴双曲线的方程为，即，从而实轴长,故答案为4.考点：双曲线、抛物线的有关概念和基本性质.9．（2022·江苏·高二专题练习）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的虚轴长为【答案】【分析】由抛物线求出准线方程，根据，得到的坐标，设出等轴双曲线C的方程，代入的坐标，结合虚轴的定义可求出结果.【详解】由得，所以抛物线的准线为，因为，所以，，设等轴双曲线C的方程为，则，所以，，所以C的虚轴长为.故答案为：.题型四：双曲线的渐近线问题10．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出双曲线与双曲线的渐近线，从而得到，再结合双曲线的方程即可求得其离心率.【详解】对于双曲线，其渐近线为，即，对于双曲线，其渐近线为，即，因为双曲线与双曲线的渐近线相同，所以，即双曲线，设双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，半焦距为，则，，，即，，所以双曲线的离心率为.故选：A.11．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】设双曲线的方程为,根据已知条件列方程,确定双曲线的方程,在利用计算即可.【详解】设双曲线的方程为,根据已知条件得:,解得:,双曲线的方程为,则,.故选:C.12．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；由圆的方程知：圆心为，半径；与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取，即，则圆心到直线距离，弦长为，解得：，双曲线离心率.故选：C.题型五：双曲线的的离心率问题13．（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示：连接、，设，由对称性可知，为的中点，，因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，故为的中点，又因为，且、互相垂直且平分，所以，四边形为正方形，则，所以，，所以，该双曲线的离心率为.故选：A.14．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】联立解得A、B纵坐标，再由对称关系得AB长，后余弦定理计算即可.【详解】联立圆O与双曲线C方程得，又由圆与双曲线的对称性可得，设圆的半径为，则，因为圆心为，则，在中，由余弦定理得，因为双曲线斜率大于1，所有化简得，故选：D15．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知点F为双曲线的右焦点，A，B两点在双曲线上，且关于原点对称，M、N分别为的中点，当时，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】记双曲线的左焦点为，由此可得四边形为平行四边形，由条件证明四边形为矩形，由此可得四边形为矩形，再求，结合双曲线定义求离心率.【详解】记双曲线的左焦点为，因为，，所以四边形为平行四边形，因为M、N分别为的中点，点为线段的中点，所以，又，所以四边形为矩形，故，所以四边形为矩形，故为直角三角形，斜边为，所以，因为直线AB的斜率为，所以，所以，，由双曲线定义可得，所以曲线的离心率.故选：C.

题型六：双曲线的弦长、焦点弦问题16．（2023·高二课时练习）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】设，分别求出和，即可求出.【详解】设.过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.由双曲线可得渐近线为.由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，所以.因为，所以，解得：.故选：B17．（2022·江苏·高二专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，则双曲线方程为，，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，因为的周长为36，所以，所以，得，所以双曲线方程为，故选：C18．（2023秋·高二课时练习）设是双曲线C：的右支上的两点，轴，且经过双曲线的焦点，若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知弦是双曲线的通径，由双曲线的性质并结合题意可知，由此即可求出，进而求出结果.【详解】因为轴，且经过双曲线的焦点，所以弦是双曲线的通径，故，又弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.题型七：双曲线中的定值、定点问题19．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.(1)求双曲线的方程；(2)求证：直线、的斜率之和为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程，可得出关于的方程，结合可求得的值，由此可得出双曲线的方程；（2）设直线的方程为，设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式可求得的值.【详解】（1）解：将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，所以，双曲线的方程为.（2）证明：由题意，设直线的方程为，设、，

联立可得，，解得或，由韦达定理可得，，所以，.可得直线、的斜率之和为.20．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点．设是椭圆的右顶点，记直线，的斜率分别为，，直线，与双曲线的另一个交点分别为，，．(1)求的值；(2)求证：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设直线方程，联立方程组，结合韦达定理与斜率公式化简求值；（2）设直线方程，联立方程组，结合第一问结论可得直线过定点.【详解】（1）由已知得，设直线方程为，，，由，得，，则

，，；（2）设直线，，由，得，，，由（1）：，化简得：，即，得或直线或直线过定点或（舍）.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．（2022·江苏·高二期中）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【答案】(1)(2)在定直线方程上【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.【详解】（1）设直线的方程为，联立，得，又，，代入上式得，即，∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立得，∴，，∴直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，两边平方得，又，满足，∴，∴，∴，或，（舍去）综上，在定直线上，且定直线方程为．【双基达标】一、单选题22．（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校）双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知可得出，.然后根据的关系解出的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，，且，所以.又，所以，，所以，.故选：C.23．（2023秋·高二课前预习）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.24．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，设，则，且，而，，，所以.故选：A25．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）已知两点A，M在双曲的右支上，点A与点B关于原点对称，交y轴于点N，若，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设为AB的中点，设，，，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得a，b的关系，从而可求双曲线离心率.【详解】如图，不妨设A在第一象限，取BM的中点，连接OQ，因为为AB的中点，故，，，，，B，M在双曲线上，则，两式相减可得，，即，而，，故，即，又因为，则，即，所以，即，所以，又，则,即，故，所以，而，故,故，则双曲线的离心率为，根据双曲线的对称性可知，当A在第四象限时，同理可求得，当A在双曲线的顶点时，由于，此时AM与双曲线相切，不合题意，故双曲线的离心率为，故选：D.26．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于两点，若，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线关系可求得，由此可得双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得的值.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为，焦点到渐近线的距离，又离心率，，解得：，双曲线的方程为：.（2）由得：，则，解得：且，设，则，，，即，解得：或，均满足且，或.27．（2023秋·高二课前预习）已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为．(1)求双曲线的标准方程；(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设双曲线的方程为（，），（），根据条件得到椭圆焦点为，椭圆的离心率为，从而得到双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆有公共焦点，求出双曲线的，最后写出双曲线的标准方程；（2）根据（1）结合双曲线和椭圆的定义求出,，，再利用余弦定理，即可求.【详解】（1）由题意设双曲线的方程为（，），（），由椭圆得到焦点为，椭圆的离心率为.因为双曲线与椭圆有公共焦点，则，因为双曲线与椭圆的离心率之和为，所以双曲线的离心率为，则，即，所以，故双曲线的方程是.（2）由（1）结合双曲线和椭圆的定义得：，，解得：或，又，所以在由余弦定理得：，故的值为.【高分突破】一、单选题28．（2023·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，由题可知.则由题有：.又因为点A，P在双曲线上，则，两式相减整理后可得答案.【详解】设，，根据对称性，知，所以．因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以，所以，所以．故选：D29．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）已知分别为椭圆的左､右顶点，点在直线上，直线与的另外一个交点为为坐标原点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题，设，可得直线PA方程为：，将其与椭圆方程联立，后利用韦达定理可表示出Q坐标，后利用可得答案.【详解】由题，设，因A，则直线PA方程为：.将其与椭圆方程联立：，消去y并化简得：，由韦达定理有：.又，则.代入，可得，则.又，则.则.故选：C30．（2023秋·江苏宿迁·高二统考开学考试）体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构．如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线的标准方程为，因为该双曲线的渐近线方程为，则，又因为该双曲线的上焦点坐标为，则，所以，，，因此，该双曲线的方程为.故选：B.31．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．3 D．7【答案】A【分析】根据题意得，，，，由余弦定理解决即可.【详解】由双曲线定义知，，因为，所以，，因为，，所以在中，由余弦定理得，即，化简得，所以，故选：A32．（2022秋·江苏泰州·高二统考期中）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为：，即，到渐近线的距离为，，则直角三角形的内切圆的半径，如图，设三角形的内切圆与切于，则，，可得，，即，则，所以，由，，，.故选：A.33．（2022秋·江苏扬州·高二扬州市第一中学校考期中）已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】方法1：连接，由已知可得△为直角三角形，可用c的代数式表示三边，再代入即可得结果.方法2：过P作PE⊥x轴于点E，由已知可得点P的坐标，因为点P在双曲线上，所以点P的坐标适合双曲线的方程，代入可得关于a、c的齐次式方程，即可求得结果.【详解】方法1：连接，因为P在双曲线的右支上，则∵双曲线的左焦点，∵△为等腰三角形，∴，∴又∵，∴△为等边三角形，即：，∴∴在直角△中，，

则∴即：解得：方法2：过P作PE⊥x轴于点E，∵双曲线的左焦点，∵△为等腰三角形，∴，∴∴在直角△中，，则∵点P在双曲线上，∴即：∴即：∴令即：解得：即：∵∴故选：A.二、多选题34．（2023秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考阶段练习）已知曲线.有（

）A．若，则是焦点在轴上的椭圆B．若，则是半径为的圆C．若，则是双曲线，且渐近线的方程为D．若，则是两条直线【答案】AD【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，曲线的方程可化为，则，所以是焦点在轴上的椭圆，A选项正确.B选项，若，曲线的方程可化为，则是半径为的圆，所以B选项错误.C选项，若，曲线的方程可化为，表示双曲线，由得，所以C选项错误.D选项，若，曲线的方程可化为，表示两条直线，所以D选项正确.故选：AD35．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）下列关于双曲线说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点【答案】ABD【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.故选：ABD36．（2023秋·江苏·高二统考期末）已知双曲线经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线为C．若双曲线的顶点为，则D．直线与有两个公共点【答案】AC【分析】根据题意解得双曲线方程为，即可判断ABC，联立方程，消去得，由即可判断D.【详解】由题知，双曲线，焦点在轴上，所以渐近线方程为，即，因为圆，所以圆心为，半径为，因为双曲线经过点，并且它的一条渐近线记为被圆所截得的弦长为，所以圆心到的距离为，所以，解得，即，所以，所以，解得，所以，即双曲线方程为，所以双曲线的离心率为，双曲线的渐近线为，故A正确，B错误；因为双曲线的顶点为，所以，故C正确；联立方程，消去得，因为，所以直线与有1个公共点，故D错误；故选：AC37．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（

）A． B．的离心率等于C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆半径是【答案】ACD【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r的表达式与c有关，可判断D项正确.【详解】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；B选项中，直角中，，，，所以，得：，故B不正确；C选项中，由，即，即，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故D正确故选：ACD.38．（2022秋·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线，C的两条渐近线分别为，，点为C右支上任意一点，它到，的距离分别为，，到右焦点的距离为，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】CD【分析】首先由点到直线的距离，以及两点间距离，分别表示，并设右焦点到渐近线距离为，根据双曲线的性质判断A；根据的式子，结合二次函数值域，可求的范围，判断B；结合基本不等式判断C；利用数形结合判断D.【详解】由题可知，，，，设，右焦点到渐近线距离为，渐近线方程为：，，不妨设所对应的直线分别为，，，，，，故B错误；，当且仅当时等号成立，故C正确；由图可知，，故D正确；由双曲线性质，双曲线无限接近渐近线，所以的最小值无限接近于0，所以无最小值，故A错误；由双曲线对称性，，，所对应的直线分别为，时仍成立．故选：CD三、填空题39．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）双曲线：（，）的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为.【答案】【分析】先根据点到直线的距离公式求出点到渐近线的距离，结合已知即可得出，进而得出答案.【详解】由已知可得双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，则点到渐近线，即的距离.又因为，所以，所以，双曲线的渐近线方程为.故答案为：.40．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线的斜率为，则双曲线的离心率为.【答案】【分析】由距离公式得出，，进而由等面积法得出，由，结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得，双曲线的一条渐近线方程为，则，记为坐标原点，则，所以，过点作轴的垂线，垂足为，因为因为直线的斜率为，所以则，即，，则整理得，则离心率为.

故答案为：41．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．【答案】/【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，，从而解出、，利用勾股定理可解.【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P则四边形、都为正方形，设内切圆半径为，由圆的切线性质，则，则，①又因为，②且双曲线定义得，，③由①、②、③得，所以，从而，由勾股定理，，所以，解得．故答案为：42．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）已知F1，F2，分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为．【答案】【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.【详解】易知MN关于x轴对称，令，，∴，，∴，∴．，，，∴，∴．故答案为:.43．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，∠MOF＝60°，则双曲线C的离心率为．【答案】/【分析】根据向量加法运算及中位线性质得，再结合∠MOF＝60°得到，，利用双曲线定义即可建立a，c关系，即可求解离心率.【详解】设为双曲线的左焦点，连接，取的中点，如图，则，因为，所以，即.因为是的中位线，所以，所以.又∠MOF＝60°，，所以为等边三角形，所以，∠OFM＝60°，在中，，由双曲线的定义知，，所以.故答案为：.四、解答题44．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线、经过且互相垂直（斜率都存在），与双曲线分别交于点和，、分别为、的中点.(1)求双曲线的方程；(2)证明：（一）直线过定点；（二）与的面积之比为定值．【答案】(1)(2)（一）证明见解析；（二）证明见解析【分析】（1）先由题给条件求得的值，进而得到双曲线的方程；（2）先利用设而不求的方法分别求得两点的坐标，求得直线的方程，进而得到直线过定点；分别表示出与的面积，进而得到与的面积之比为定值．【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，所以，左焦点到渐近线的距离为，所以，又，联立得，解之得,所以双曲线的方程为.（2）设直线的方程为，令联立，整理得，，所以，所以，则，设直线的方程为，令联立，整理得，所以，所以，则，当，即时，直