江西省山江湖协作体2024年数学高一下期末监测模拟试题含解析

江西省山江湖协作体2024年数学高一下期末监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若变量，且满足约束条件，则的最大值为（）A．15 B．12 C．3 D．2．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年3．等差数列an的公差d<0，且a12=a212，则数列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和124．已知空间中两点和的距离为6，则实数的值为（）A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或95．已知在中，，那么的值为（）A． B． C． D．6．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝07．同时抛掷两枚骰子，朝上的点数之和为奇数的概率是（）A． B． C． D．8．如果直线a平行于平面，则（）A．平面内有且只有一直线与a平行B．平面内有无数条直线与a平行C．平面内不存在与a平行的直线D．平面内的任意直线与直线a都平行9．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．10．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，函数的最小值为__________．12．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为．13．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．14．函数，的值域为________15．函数的最大值是__________．16．在等比数列中，，，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点，圆.（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.18．已知点，，曲线任意一点满足.(1)求曲线的方程；(2)设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，无论直线如何运动，轴都平分，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.19．已知函数的最小正周期是.(1)求的值及函数的单调递减区间；(2)当时，求函数的取值范围.20．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）证明：.21．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形.（1）求证：平面；（2）若为的中点，，求证：平面平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

作出可行域，采用平移直线法判断何处取到最大值.【详解】画出可行域如图阴影部分，由得，目标函数图象可看作一条动直线，由图形可得当动直线过点时，．故选A．【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数最值的计算，难度较易.求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法是最常规的.2、C【解析】

天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，即可得到结果．【详解】由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C．【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用等差数列的定义，以及等差数列的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、C【解析】

利用等差数列性质得到a11=0，再判断S10【详解】等差数列an的公差d<0，且a根据正负关系：S10或S故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，Sn的最大值，将Sn的最大值转化为4、C【解析】

利用空间两点间距离公式求出值即可。【详解】由两点之间距离公式，得：，化为：，解得：或9，选C。【点睛】空间两点间距离公式：。代入数据即可，属于基础题目。5、A【解析】

，不妨设，,则，选A.6、C【解析】试题分析：两点关于直线对称，则,点与的中点在直线上，,那么直线的斜率等于，中点坐标为，即中点坐标为，,整理得：,故选C.考点：求直线方程7、A【解析】

分别求出基本事件的总数和点数之和为奇数的事件总数,再由古典概型的概率计算公式求解.【详解】同时抛掷两枚骰子,总共有种情况,朝上的点数之和为奇数的情况有种,则所求概率为.故选:A.【点睛】本题考查古典概型概率的求法,属于基础题.8、B【解析】

根据线面平行的性质解答本题．【详解】根据线面平行的性质定理，已知直线平面.

对于A，根据线面平行的性质定理，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故A错误；

对于B，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故B正确；

对于C，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，所以C错误；

对于D，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，则在平面内与直线相交的直线与a不平行，所以D错误；

故选：B．【点睛】本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．9、B【解析】

设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设正方形的边长为，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积，则阴影部分的面积之和为，正方形的面积为，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】

取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF,因为则为二面角的平面角，即又设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面，由在四边形中，设，外接球半径为，则则三棱锥的外接球的表面积为故选D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解析】

变形后利用基本不等式可得最小值．【详解】∵，∴4x-5>0,∴当且仅当时，取等号，即时，有最小值5【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，凑出可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”的法则．12、【解析】

如图

分别作于A,于C,于B,于D,

连CQ,BD则,,

又

当且仅当,即点A与点P重合时取最小值.

故答案选C.【点睛】13、【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．14、【解析】

先求的值域,再求的值域即可.【详解】因为,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦函数的值域与反三角函数的值域等,属于基础题型.15、【解析】分析：利用两角和正弦公式简化为y=，从而得到函数的最大值.详解：y=sinx+cosx==．∴函数的最大值是故答案为点睛：本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.16、8【解析】

可先计算出公比，从而利用求得结果.【详解】因为，所以，所以，则.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）.【解析】

（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心，半径.当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，由题意得：，解得，∴方程为，即.故过点且与圆相切的直线方程为或.（2）∵弦长为，半径为2.圆心到直线的距离，∴，解得.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．18、(1)；(2)【解析】

(1)设,再根据化简求解方程即可.(2)设过定点的直线方程为,根据轴平分可得.再联立直线与圆的方程,化简利用韦达定理求解中参数的关系,进而求得定点即可.【详解】(1)设,因为,故,即,整理可得.(2)当直线与轴垂直,且在圆内时,易得关于轴对称,故必有轴平分.当直线斜率存在时,设过定点的直线方程为.设.联立,.因为无论直线如何运动,轴都平分,故,即,所以,.所以代入韦达定理有,化简得.故,恒过定点.即.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解方法以及联立直线与圆的方程,利用韦达定理代入题中所给的关系式,化简求直线中参数的关系求得定点的问题.属于难题.19、(1)，减区间为；(2)【解析】

（1）利用倍角公式将函数化成的形式，再利用周期公式求出的值，并将代入区间，求出即可；（2）由求得，利用单位圆中的三角函数线，即可得答案.【详解】(1)，，；，，的单调递减区间为.(2)由得，利用单位圆中的三角函数线可得：，∴.【点睛】本题考查三角恒等变换中倍角公式的应用、周期公式、值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度范围的限制.20、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.【解析】

（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.【详解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．证明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，从而当时，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因为当时，，所以.于是.【点睛】本题主要考查等比数列性质的证明和通项的求法，考查等比数列求和和放缩法证明不等式，意在