2月大数据模拟卷04（广东专用）（解析版）高中数学

2月大数据精选模拟卷04(广东专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.设集合/={中>一1},集合N={x卜2c<1},则Mp|N=()

A.(-2,-1)B.(-1/)C.(-1,+co)D.(-2,+oo)

【答案】B

【详解】

已知集合”={%1>一1},集合N={x|-2<x<l},则=

故选：B.

.、2021

2.当复数二Bn时，实数。的值可以为()

U+aiJ

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【详解】

/j・、2O21

当。=o时，J*=1。"所以〃=0不满足，故A不正确.

(1+山)

1,-I•/1•\2021

当。=1时，---；=-~~；=T'，所以(———=(-z)2°21故B不正确.

1+51+i(1+出,

]•"1I•，[•x2021

当。=一1时，Y=K=i,；上丝=产m=3满足，故C正确.

1+ciiI—，\l+ai)

由上可知，选项。不正确.

故选：c

3.若实数。，b,c满足苏=5,b=log25,5。=3,则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【详解】

i

3

因为a=5,所以1<a=\[5<=2»b=log25>log24=2,

因为5。=3,所以，=啕3<1密5=1,

所以c<a<Z?,

故选：D

4.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中

选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法

有（）

A.48种B.36种C.24种D.12种

【答案】B

【详解】

解：由题意可知，分三步完成：

第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；

第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；

第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，

根据分步计数原理，共有2x3x6=36不同的选取方法，

故选：B

5.琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、垠、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中

国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器''知识讲座，共连续

安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种

乐器互不相邻的概率为（）

111

A.-----B.-C.—D.—

36061515

【答案】B

【详解】

从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为43从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种

全排列，有用种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有大

种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为用用.

万⑷1

所以所求的概率p==-

Ao6

2

故选：B.

3H.prxc0v-

6.函数〃x)=Jc°S4的部分图象大致是()

【答案】D

【详解】

解：函数的定义域为k|xw。｝,故排除A,

3凶•cos2x

=—“X)，故函数为奇函数,

-x

由于时，cos2x>0,故时，/(x)=-COS>0>故排除BC；

所以D选项为正确答案.

故选：D.

7.克罗狄斯・托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸

四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，

完成下题：如图，半圆。的直径为2,A为直径延长线上的一点，。4=2,B为半圆上一点，以为一

边作等边三角形A8C,则当线段0C的长取最大值时，ZAOC=()

3

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【详解】

因为OBAC+OABCNOCAB，且△A5C为等边三角形，08=1,04=2,

所以OB+Q42OC，所以OCW3,所以OC的最大值为3,取等号时NO8C+NQ4C=180°，

所以cosNO8C+cosNQ4C=0，不妨设A3=x,

r2+1-9X2+4-9r-

所以+=0,所以解得》=屿，

2x4x

9+4-71

所以cosNAOC=----------=一，所以Z4OC=60°,

2x2x32

故选：C.

8.若/-"Nlnx+a对一切正实数》恒成立，则实数4的取值范围是()

A.(一002B.(-00,1]C.(-00,2]D.(-00,e]

【答案】B

【详解】

设/(x)=e*-"-Inx-a,(x>()),则/(%)=产"一Inx-a2。恒成立，

由_f(x)=ei-J令〃(x)="-〃—：，则〃'(力=01+5>0恒成立，

所以〃(x)=e』—L(x>0)为增函数，令，-"一,=0得兀=毛,(％>0),

XX

当0＜%＜/时，〃（同＜0,当天）＜工时，力（%）＞0；

所以“X）在（0,/）递减，在（毛,”）递增，故〃力在x=%处取得最小值,

4

故最小值/（不））=6"-"一仙为一420，因为e*i='-，则x（）-a=TnXo

工0

所以一。一。20恒成立，得2。4」-+/,乂因为2S」-+X0（当且仅当题=1时等号成立）；所以

玉）xo*0

2aW2即aVl.

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中人、A3、A,是道路网中位于

一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选

择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止.则下列说法正确的是（）

A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过&到达N处的方法有9种

O1

C.甲、乙两人在A,处相遇的概率为——

-400

41

D.甲、乙两人相遇的概率为诉

1\A/

【答案】BCD

【详解】

A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，

则甲从M到达N处的方法有=20种，A选项错误；

B选项，甲经过4到达N处，可分为两步：

第•步，甲从M经过4需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为C；种;

第二步，甲从4到N需要走3步，其中1步向卜一走，2步向右走，方法数为C；种.

，甲经过4到达N的方法数为C；•C；=9种，B选项正确；

5

C选项，甲经过A2的方法数为G-C；=9和I,乙经过A2的方法数也为G-G=9种,

••・甲、乙两人在4处相遇的方法数为C；•C；•C；•=81,

8181

甲、乙两人在人处相遇的概率为=碗，C选项正确;

D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在4、&、&、4处相遇，

若甲、乙两人在4处相遇，甲经过4处，则甲的前三步必须向上走，乙经过A处，则乙的前三步必须向左

走，两人在4处相遇的走法种数为1种;

若甲、乙两人在4处相遇，由c选项可知，走法种数为81种;

若甲、乙两人在4处相遇，甲到4处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走,

乙到4处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走,

所以,两人在4处相遇的走法种数为=81种:

若甲、乙两人在处相遇，甲经过A4处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向

下走,两人在A处相遇的走法种数为1种;

乙两人相遇的概率=史_,口选项正确.

故甲、*81+81+1

400100

函数/(x)=Asin(69%+^)[A>0,(y〉0,网<y

10.的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（）

24

A.直线》=一彳是函数/（X）图像的一条对称轴

6

(jrk才\

B.函数/(x)的图像关于点-^+5一,。ZeZ对称

jr

C.函数/(x)的单调递增区间为一记+k兀，记+k兀kwz

D.将函数〃x)的图像向右平移看个单位得到函数g(x)=sin(2x+?)的图像

【答案】BC

【详解】

由图知：/(x)1Tli门=-1，所以A=l，

L、「T1冗冗兀E口H2万"

因为一二-------——,T=冗、即---=71»69=2o

41234s

所以/(x)=sin(2%+0).

又因为/(?)=sin等+°]=0，

22

所以1乃+9=%"，0=一§乃+左"，keZ.

又因为MIc',所以8=?,所以/(x)=sin(2x+?)

对选项A,/(-葛)=411(一4+?)=0力±1,故A错误.

对选项B,令2%+2=人左，解得》=-乙+包，keZ.

362

1k兀A

[--+—,0I,keZ,故B正确.

77'JI'H

对.选项C,----F2k兀W2,xH—<—F2k兀,Z€Z,

232

TT

解得—‘+女乃<%<t+左乃，

1212

57rTC

所以函数/(x)的增区间为一泊+k兀，记+k7T,k&z,故C正确.

对选项D,g(x)=si32(x-夺+/=sin[2x+^],故D错误.

故选：BC

7

11.已知四边形ABC。是等腰梯形（如图1）,AB=3,DC=\,NB4O=45°,DE工AB.将A4）E沿

OE折起，使得AELEB（如图2）,连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（)

C.〃平面ACOD.四面体ABCE的外接球表面积为57

【答案】BD

【详解】

因为DELAB，ZBAD^45°,

所以AADE为等腰直角三角形，过C做CFLAB，交A8于凡如图所示:

所以△AnEgABb，即AE=BF,又A8=3,。。=1,

所以AE=EF=FB=DE=CF=1,则AO=8C=及，

对于A：因为4£_L£B，AE1DE-3E,OEu平面BCDE,

所以AE_1_平面BCDE,BCU平面BCDE,

所以AEL5C,

若BC_LA£>,且AE,A0u平面

则BC±平面ADE,

所以8C_LQE

与已知矛盾，所以BC与AO不垂直，故A错误；

对于B；连接MC,如图所示，

8

在RtzM)EC中，DE=DC=l,所以EC=a，又8C=0，EB=2,

所以+=q2,所以ECLBC,

又因为AE_L3C,AE,ECu平面AEC,

所以3C_L平面AEC,ACu平面AEC,

所以BC_LAC，即AA5c为直角三角形，

在中，AE=l,EC=y/i,所以AC=出，

因为M是AB的中点，

所以AAMC的面枳为RMABC面枳的一半，所以S=1X-!-XV3XV2=—.

“'we224

因为。ELAE,DELEB,

所以。E即为两平行线CO、EB间的距离，

V

因为腺一AA/c=c-AEM)设点E到平面AMC的距离为h,

则TxSJMKxDE=—xSJMC即;x；xlxlxl=；xxh,

JJD乙JiT

所以/z=，5,所以点E到平面AMC的距离为亚，故B正确；

33

对于C：因为EBHDC,£B(Z平面ADC,DCu平面ADC,

所以EBH平面ADC,

若EMU平面ACD,且EBcEM=E,EB,EMu平面AEB,

所以平面ACO〃平面AEB,与已知矛盾，故C错误.

对于D：因为EC1BC,所以ABCE的外接圆圆心为EB的中点，

又因为AE_LEB，所以△ABE的外接圆圆心为A8的中点M,

根据球的几何性质可得：四面体43CE的外接球心为M,

9

又E为球上一点，在/SBE中，EM=-AB=—

22

所以外接球半径R=ME=Z

2

所以四面体ABCE的外接球表面积S=4pR2=4p?［5p,故D正确.

12.若/(X)在区间［。,可上有恒成立，则称M为了(X)在区间［a,目上的下界，且下界M的

最大值称为/(x)在区间［区可上的下确界，简记为例小句.己知/(力是R上的奇函数，且

/(x+8)=/(-x),当xe［(),4］时，有f(x)=T.若%>(),2>0,不等式叫。用44/《2妇恒成立，

下列结论中正确的是()

A.直线x=8是函数y=/(x)图象的一条对称轴

B.若左=7,则2的最大值为4

C.当xe［100/16］时，/(x)=4-|x-108|

D.若/I=§,则&45,9］是不等式叫OHW/IM⑻恒成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【详解】

因为/(力是R上的奇函数，所以〃f)=—“X),

当xe［0,4］时，有〃x)=—x,所以x«-4,0］时，有/(X)=—/(—X)=T,

因为/(x+8)=f{-x)=-/(x),所以/(x+16)=-/(x+8)=f(x),

所以/(x)的周期为16,且〃X+8)=/(T),所以/(X)关于x=4对称，

图象如图，

对于A,可知(8,0)是函数y=/(x)的对称中心，直线％=8不是对称轴，错误;

10

/以【071

对于B,若女=7,=^,M</lM,即/IW=4,正确;

MO7][U4]=-1,MO>7,714]

约7,14]

对于C,当工«4/2]时,函数经过（8,0）,（4,-4）,设解析式为y=4x+4,

-4=4占+瓦

所以《

0=8匕+4

当工£［2,20］时・，函数经过(16,0),(12,4),设解析式为y=

4=12公+4k=—\

所以《[。=曲+4’解得J2y=-x+16,

4=16

所以xw［4,20］时,/(x)=4-|x-12|,因为周期为16,当xe［100,l16］时,

/(%)=/(x-96)=4-|(x-96)-12|=4-|x-108|,正确；

44

D.若；I=§,即必0.《§”忆以恒成立，当0＜女＜4时，叫＜“］＞=-4故存在矛盾；当后＞10

时，/0『4＞泮忆灯=丑一4)=一方也存在矛盾；因此，&在［4,10］上考虑，此时必0.=7,所

-4_

以叫女叫24=-3,即在收,2灯上的最小值大于等于一3,在［4,20］上/(乩”一3的范围为［5,19］,所

3

仅25r1

以力解得此［5,9.5］,

因为［5,9］。［5,9.5］,所以左w［5,9］是丘［5,9.5］的充分不必要条件，正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数/(X)满足当尤＞0时，f(x)=3x,当x＜0时，〃x)=/(x+l),则

3

【答案】-

2

【详解】

因为1(峪3；＜°，所以=/log.4

解:

因为log3|＞0,所以/（log3|）=3叫祗=g.

11

（3x-j=）的展开式中，常数项为

14..（用数字作答）

【答案】135

【详解】

。了-十）展开式的通项为1华=C：・（3X）6”.C（巾七C

3

令6--k=0,可得A=4,

2

因此，展开式中的常数项为岂=以•（—1）402=135.

故答案为：135.

15.已知抛物线C：y2=2px（p>o）的焦点为尸，点尸是抛物线。上一点，以尸为圆心，半径为。的

圆与PE交于点。，过点P作圆尸的切线，切点为A，若|/%|=gp,且△OPQ的面积为乎，则夕=

【答案】2

【详解】

因为|/利=6",|E4|=p,PAA.FA所以目=2"因为|F0|=p,所以。是线段Pb的中点，因

为△OPQ的面积为斗，所以△OPE的面积为•又由|P/|=2p=%+5可得号=卷，所以

12

Np=±Gp,所以S^OPF==6,解得p=2.

16.在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱

ABC—AgC是一个“堑堵”，其中A6=8g=2,BC=1,AC=5则这个“堑堵”的外接球的表面积

为.

【答案】9乃

【详解】

因为A5=2,BC=1,AC=6,所以AB2+BC2=4。2,所以

所以可将三棱柱ABC-A4G补成一个长方体，如图：

_________3

则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径2H，所以2R=万J万亓=3,所以/?二].

所以外接球的表面积为4万R2=4乃xg)2=9万.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

17.在①a+〃=8,C=2J7,②8+c=10,cos3=—这两组条件中任选一组补充在下面问题的横线上,

4

并进行解答.

已知AABC的内角A，B,C所对的边分别是。，b,c,若a+8ccosA=8Z?,.

(1)求cosC；

(2)求AA5c的面积.

【详解】

解：(1)解法■：由正弦定理，得sinA+8sinCcosA=8sin3,

由5=〃一(A+C),得sinA+8sinCcosA=8sin(A+C),

即sinA+8sinCcosA=8sinAcosC+8cosAsinC,整理得sinA=8sinAcosC.

由Ae(0,万)，得sinAwO,

13

所以cosC=L

8

解法二：由余弦定理，得。+8cL二_t=助,

2hc

整理得/=1。人,

4

所以…上」

2ah2ab8

(2)选择条件①.由余弦定理，得cosC=°-=j.,即/+/一。2=，。〃,

lab84

,,9

即3+/?)-c~——cihi

又a+6=8,c=25/7,得64-28=2。。，解得"=16,

4

在△ABC中，由cosC=—,得sinC==互

88

由面积公式SABC=-absinC,得S=—x16x?’=3^7•

△MOV2A/ioC28v

选择条件②.在AAHC中，由cosC=J,得sinC=2互

88

山cos8==,得sinB=——，

44

V7

hcbsinB;彳:2

由正弦定理得=.「二

sinBsinCcsinC3币3，

8

联立Z?+C=1O,解得6=4,c=6,

币133币5币

山sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-------X--1——X----------=----------

484816

Jx4x6x迫=也

由面积公式S.ABC-bcsinA,得S八”

2164

14

18.若数列｛%｝的前«项和S.="(“eN*).

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若数列出｝满足包=/，求数列也｝的前〃项和S,.

【详解】

解：⑴当〃=1时，4=S[=1,

当〃22时，cin=Sn—S〃_]=/ii—(〃—1)-=2/1—1,

当〃=1时・，也符合上式，所以对任意正整数〃，4=2〃—1.

9/7—1

(2)由⑴得勿=丫，

广…。1352/1-32n-1门

所以S”=—rH-7—T+…H----:—I------,①

"3132333"

1o1352〃-32〃—1

-S0=-7H7T+■',H-------1---7；-②

3"3233343”3n+I

①C-②…，得§2Sc“=l§+J2『1+三1+…+三11》声2/t-l

12X*[1-G)"T]2n-l22n+2

31-43"+|33"+"

所以S“=l一号

19.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO为平行四边形，E为BC的中点，AE_L平面

为等边三角形，PF^APD

(1)若P5//平面E4E，求2的值；

(2)在(1)的条件下，求二面角尸一的余弦值.

【详解】

解：(1)连接BZ)与AE相交于点M，连接EM.

15

由于四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点,

BEHAD,且从而

22

；依//平面平面尸比)，平面E4ED平面~8。=月0，

:.PBHFM,

.BMPF

"~MD~~FD~2'

,而=一两，即九=一.

33

(2)取AO中点0,连接OP,。。，・••△PAO为等边三角形，，POIAD^

又；AEJ_平面B4O,「。匚平面尸相)，，在，/5。,"^/^=A,AO,AEu平面ABCD,；.POA.

平面A8CD.

以。为坐标原点，反，砺,而方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，

/2出、

设AD=2a,AE=。，则A(0,-。,0)倒〃,一凡0),产.

易知，平面4组的法向量为正=(0,0,1).

设平面FAE的法向量为]=(x,y,z),AE=(b,0,0),

E啜室,

[AE-n=0\bX=Q，

行・万=o'得"y+羽z=。,‘取z=2,得"一6,x=())

i13-3

16

5=((),-百,2),

2_277

cos(m,ri)

IxV7-7

由于二面角产一AE—5的平面角为钝角所以二面角厂一AE—5的余弦值为-也

7

20.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度X有

关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均温度X

21232527293235

/℃

平均产卵数

711212466115325

9个

)£(x，＜2

七-矶Zj-Z

i=\/=1

XyZ

27.42981.2863.61240.182147.714

_17

表中Z,.=lny,z=;£zi

'i=\

产卵数

350­

300•

250­

200­

150­

100-,

50■..・

0I•"।•—J~~•~~।~~•~~।----►

202224262830323436

（1）根据散点图判断，丫=4+法与丫=。/‘（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平

均产卵数V关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，

求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情

17

况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p(O<p<l).

(i)记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为了(〃)，求./'(〃)的最大值，并求出相应的概

率Po-

(ii)当/(〃)取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.

附：对于一组数据(玉,4),(工2*2),…,(七,Z7)，其回归直线2菽的斜率和截距的最小二乘法估计分

7

八—可（马-可

别为：b=-―7，a-z-hx-

£（内-可2

/=1

【详解】

(1)根据散点图可以判断y=ce也更适宜作为平均产卵数了关于平均温度工的回归方程类型.

对^=ce&两边取自然对数得lny=lnc+i/x,令z=lny,a=lnc,b=d，^z^a+bx.

Z；Z

40.182

因为5=i=lX0-2720'所以a=：—菽=3.612—0.272X27.429»-3.849'

£（七一,2147.714

i=l

所以z关于x的线性回归方程为2=0.272x—3.849,所以V关于彳的回归方程为y=e',0.272x-3.849

（2）（i）由〃p）=C；p3（l—P）2,得r（〃）=C〃2（i-p）（3—5p）,因为0<”1,

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令/'（〃）>0得3—5p>0,解得0<p<]；令得3—5p<