2022-2023学年新疆阿勒泰地区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆阿勒泰地区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若iz=4+3i,其中i为虚数单位，则复数z等于（）

A.-3-4iB.3—4iC.—3+4iD.3+4i

2.圆锥的母线长是2,侧面积是2几，则该圆锥的高为（）

A.CB.V-5C.D.2

3.在UBC中，a=3/1，c=3,C=30°,则4=()

A.30°B.45°C.60°D.45°或135°

4.已知两个单位向量窗石的夹角为60。，且满足方，（五-41），则实数4的值为（）

A.-2B.2C.CD.1

5.若样本数据%i，x2...%io的标准差为8,则数据3%1-1,3X2-1，3X3-1>3%io-1

的标准差为（）

A.8B.16C.24D.32

6.已知两条直线m,n,两个平面a,0,给出下面四个命题:

①若aC0=m,nua=zn〃n或者m,n相交；

②a//0,mc:a,nu0=zn〃n；

（3）m//a,m//nn//a\

④an£=ni,m〃nnn〃a或者n〃伙

其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

7.茶叶末釉剔刻花经瓶（如图）是西夏时期生产的瓷器，平折广口，口部刮釉，束

颈，宽折肩，深腹，暗圈足，通体施茶叶末釉，釉色绿中泛黄，米黄胎，分上下

两个圈带，上部为开光牡丹花，以叶脉纹、弧线纹陪衬，下部由忍冬纹组成一圈，

图案粗犷豪放并有大雅之美感.该件瓷瓶釉色莹润，剔花刀锋犀利，线条流畅，是

西夏窑中少见之物,该瓶高约为30厘米，口径约为9厘米，底径约为10厘米，内径

最大约为18厘米，该瓶的容积约为（）

A.750n1量升B.1430兀毫升C.2430兀毫升D.2830兀量升

8.某校李老师本学期任高一4班、B班两个班数学课教学，两个班都是50个学生，下图反映

的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是

)

历次数学测试班平均分数跟踪

第1次第2次第3次第4次第5次

•••­,A班-•-B班

A.A班的数学成绩平均水平好于B班

B.B班的数学成绩没有4班稳定

C.下次B班的数学平均分高于4班

D.在第一次考试中，4、8两个班总平均分为78分

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下图中，直线PQ与RS

不是异面直线的是（）

10.下列说法中正确的是（）

A.AB+BA—0

B.若同=\b\^.a//b＞则五=方

C.若方、方非零向量且|弓+另|=一石则五J.B

D.若方〃丸则有且只有一个实数人使得3=4五

11.有一组样本数据：1,2,4,3,1,2,1,则（）

A.这组数据的众数为2B.这组数据的极差为3

C.这组数据的平均数为2D.这组数据的中位数为|

12.在AaBC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且（a+b）：（a+c）：（b+c）=9：10：

11,则下列结论错误的是（）

A.sinA：sinB：sinC=4：5：8

B.△ABC的最小内角是最大内角的一半

C.△力BC是钝角三角形

D.若c=6,则A/IBC的外接圆直径为亨

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量五=(2,3),b=(6,%)，若有〃方，则％=.

14.已知向量3=(1,，百)，?=(1,-£3),则向量五在向量N上的投影向量为.

15.已知向量3=(1,1^),|石|=2，1与方夹角为枭则方+石与2百一石的夹角的余弦值为

16.“鳏鱼公主”形象源于一个古老的传说.寓意深刻、美丽动M

人、象征和平，簸鱼圈也因此得名，享誉中外“敬鱼公主”雕塑

作为渤海明珠景区的重要组成部分，东与望儿山翘首相望、北与>\y|C

鱼跃龙腾雕塑交相辉映，是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典/II\/

力作，是殿鱼圈的标志进建筑.高中生李明与同学进行研究性学习，

为确定“籁鱼公主”雕塑的高MN,选择点4和附近一楼顶C作为

测量观测点.从4点测得M点的仰角ZM4N=60。，C点的仰角NC4B=45°,/.MAC=75°,从C

点测得NMCA=60°,已知楼高BC=30m,则“簸鱼公主”雕塑的高MN=m.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知复数z=m—i(jnG/?).

(1)当巾=1召=今之求|z/的值；

1—1

(2)若W(1+3i)为纯虚数«是z的共轨复数)，求实数m的值.

18.(本小题12.0分)

已知|五|=|K|=1)|a+K|=<3.

⑴求I五一方|;

(2)求证：(a+K)1(a-K).

19.(本小题12.0分)

正方体4BC。一AiBiQDi中,M、N分别为乙々、4万的中点,E、尸分别是瓦的、QD】的中

点.

(1)求证：E、F、B、。共面；

(2)求证：平面71MN〃平面EFDB.

20.(本小题12.0分)

某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从参加考试的学生中随机抽取了60名，统计

他们的成绩(满分100分)，其中成绩不低于80分的学生被评为“国学达人”，将数据整理后绘

制成如图所示的频率分布直方图.

(1)若该中学参加这次考试的共有2000名学生，试估计全校这次考试中“国学达人”的人数;

(2)估计参加这次考试的学生成绩的80%分位数；

(3)若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6

人，则从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生中分别抽取了多少人？

21.(本小题12.0分)

在锐角A/IBC中，a,b,c分别是角4B,C所对的边，且Cb=2csinB.

(1)求角C的大小；

(2)若c=/7，且a+b=3,求△ABC的面积.

22.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为正方形，平面PAD_L平面4BCD,Q为棱PD的中

点，PA1AD,PA=AB=2.

⑴求证：PA_L平面4BCD；

(2)求二面角P-CD-A平面角的大小.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：：iz=4+3i,

4+3t(4+3i)t„..

z=1~#=3—4t.

ti2

故选:B.

根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，属于基础题.

本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

2.【答案】4

【解析】解：设圆锥的高为山底面圆的半径为r,

由题意可知，母线长1=2,侧面积是2兀，

则9•2nr-I=nr-2=2n,解得r=1,

所以/i=VI2—r2=y/~3-

故选:A.

设圆锥的高为九，底面圆的半径为r,由圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长结合圆锥的侧面积公

式，求出r,再利用勾股定理求解即可.

本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面

周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：AABC中，a=3C，c=3,C=30°,

可得s讥4=竺史£=3Gl=C,

c32

又a>c,即A>C,

所以4=45。或135。.

故选：D.

由三角形的正弦定理求得sim4,再由三角形的边角关系，可得所求角.

本题考查三角形的正弦定理和同角的平方关系的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：单位向量市方的夹角为60。，且满足五_1(方一；1乃)，

•■a-(a—Ah')=a2—Aa-b=1—Axlxlxcos600=1—；4=0,

解得；I=2.

故选：B.

根据平面向量垂直时数量积为0,列方程求出4的值.

本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：如果样本数据%,不，…，出的标准差为

那么数据sxi+t,sx2+t,■■■,sxn+t标准差为sa(s>0),

所以数据3.一1,3X2-1,3X3-1.3xio-1的标准差为3X8=24.

故选：C.

根据样本数据看,*2,…，力的标准差为a,那么数据sxi+t,sx2+£，•••,sxn+t标准差为sa(s>0),

即可得到答案.

本题主要考查标准差的线性公式，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的判定定理，空间中直线与直线的位置关系，属于基础题.

对四个命题分别分析，判断对错.

【解答】

解：对于①，若an夕=?71,nua,则m与ri在同一个平面a内，所以m〃n或者m,n相交，①正

确；

对于②，a///?,mua,nu0,则m与n平行或者异面，所以②错误；

对于③，m//a,m//n,n与a的位置关系不确定，所以③错误；

对于④，aC0=m,m//n,根据线面平行的判定定理可得：如果nCa则n〃a；如果nC夕，则

n//P，所以n〃a或者“〃0是正确的；

综上正确的命题是①④；

故选：C.

7.【答案】B

【解析】解：根据题意，当圆柱的底面直径为10厘米时，该瓶容积为30x52X7i=750兀毫升，

当圆柱的底面直径为18厘米时，该瓶容积为30x92x兀=2430兀毫升，

故该瓶容积介于7507r毫升与2430兀毫升之间.

分析选项，B符合.

故选：B.

根据题意，分别求出底面直径为10厘米和18厘米时圆柱的体积，即可得出该瓶的容积的范围，再

结合选项即可得解.

本题考查几何体的体积计算，注意求出几何体的体积范围，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：4班的5次数学测试平均分分别为81,80,81,80,85,

5次的平均分x=ix(81+80+81+80+85)=81.4,

B班的5次数学测试平均分分别为75,80,76,85,80,

5次的平均分为石=1x(75+80+76+85+80)=79.2,

4班的数学平均分好于8班，选项A正确；

由于4班的成绩都在80分附近，而B班的平均分变化很大，

所以4班成绩稳定些，选项B正确；

下次考试4,B班的平均分不能预料，所以选项C错误；

在第一次考试中，总平均分为工=胆常*75=78分,选项。正确.

故选：C.

根据图表，分别求出4B班的平均分以及方差，再得出四个选项中哪一个是不正确的即可.

本题主要考查了根据图表求平均分，属于基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，依次分析选项:

对于A,点P、Q、R、S分别为所在棱的中点，贝“Q〃RS,两直线不是异面直线；

对于B,点P、Q、R、S分别为所在棱的中点，则PQ〃RS,两直线不是异面直线；

对于C,直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线.

对于。，分析有RP〃SQ,则直线PQ与RS共面，是相交直线，两直线不是异面直线.

故选：ABD.

根据平行直线、异面直线的知识依次分析选项中直线的位置关系，由此确定正确选项.

本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及平面的基本性质，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：由近，而互为相反向量，则荏+瓦？=。，故A正确；

S|a|=\b\&a//b＞可得苍=1或五=一］，故8错误；

由五、»非零向量且|五+石|=|a-K|）两边平方可得方2+2五.9+=五2_.石+片，即五•石=

0,所以方1石，故C正确；

若方〃3且方k6,则有且只有一个实数;I,使得石=4日，故。错误.

故选:AC.

由相反向量的定义可判断4由向量的模和向量共线的概念可判断8；由向量的数量积的性质，以

及向量垂直的条件，可判断C；由向量共线定理可判断D.

本题考查向量的基本概念，主要是共线和垂直、向量共线定理，考查判断能力和推理能力，属于

基础题.

11.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查了众数、极差、平均数、中位数，属于较易题.

由众数、极差、平均数、中位数的定义依次求解即可.

【解答】

解：•.・样本数据为1,2,4,3,1,2,1,

则其众数为1，故A错误；

极差为4-1=3,故8正确；

平均数为1+2+4+；+2+1+1=2,故C正确;

中位数为2,故。错误.

故本题选BC.

12.【答案】ACD

【解析】解：由(a+b)：(Q+C)：(b+c)=9：10：11,

不妨设a+b=9t,Q+c=103b+c=lit,

解得a=43b=5t,c=6t,得a：b：c=4：5：6,

・•・由正弦定理得si九4：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6,故A错误；

=(4t)2+(5t)216t)2一，=(5t)2+(6t)2-(4t)2=3；

2-4t-5t82-5t-6t4

・•・cos2A=2COS2A-1=2x(^)2—1=^=cosC,

由cosA〉0,cosC>0,可得C=24,故8正确；

由上可知最大角C为锐角，故C错误；

••・sinC=J1—(》2=?,ABC的外接圆直径为短=含=竺/,故。错误.

故选：ACD.

由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11,不妨设a+b=93a4-c=lOt,h+c=lit,解得

a=4t,b=53c=6t,然后逐一求解四个选项得答案.

本题考查正余弦定理应用，考查数学运算能力，属于中档题.

13.【答案】9

【解析】解：向量五=(2,3),1=(6,%)，a//K»

2x=3x6,解得％=9.

故答案为：9.

根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解.

本题主要考查向量平行的性质，属于基础题.

14.【答案】（T，?）

【解析】解：a=（1,-T-3）＞e=（^,—-^）,

则向量五在向量3上的投影向量为兽XV=FX：=-E=（＞4,孕）.

\e\\e\11v227

故答案为：（-;,?）.

根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

15.【答案】|

【解析】解：根据题意，设五+a与的夹角为。，

向量五=（1,，3），则|方|=，1+3=2,

又由|1|=2,方与块角为半则五•»=2x2xcos*2,

^\a+b\2=a2+2a-b+b=4+4+4=12，则有|1+石|=2/3,

\2a—b\2=4a2—4a-b+b=16—8+4=12，则有|2五一b|=

(a+b')■(2a—b')=2a2+a-b—b=8+2—4=6,

(a+办(2a-W_i

故cos。=

\a+b\\2a-b\~2

故答案为：

根据题意，设五+坂与2五一E的夹角为。，由数量积的运算性质可得|弓+加卜|2五-方।和（弓+方）•

（2五-5）的值，由向量夹角计算公式计算可得答案.

本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量模、向量夹角的计算，属于基础题.

16.【答案】45

【解析】解：由题意得CBJL48,MNLAN,

•••BC=30,Z.CAB=45°,

•••AC=yp2.BC=30q，

又4MAe=75°,4MCA=60°,

/.CMA=180°-/.MAC-/.MCA=45°,

在△4MC中，由正弦定理得M4=也好萼=30Ox：in60。=3℃,

sinzcM/lsm45°

在RtAAMN中，/.MAN=60°,则MN=MA•sin/MAN=30qx?=45m.

故答案为：45.

由题意得CB_LA8,MNA.AN,在RtZkABC中，求得AC的长，在△4MC中利用正弦定理4M的长,

即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)当m=1时,

故求区|=\i\=1；

(2)5(1+3i)=(m+0(1+3i)=m-3+(3m+l)i为纯虚数，

则爆M2解得时？.

【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解；

(2)根据己知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数和共甑复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由|五+B|=得|方+B|2=G+至)2=3，

所以五2+2弓.石+尸=3，所以五万=；，所以|五-B|=Jk2-24不+12=].

(2)证明：因为0+石).(方—1)=片一片=1—1=0,

所以0+W1(a-by

【解析】(1)由|日+石|=/3平方得五不=；,再利用|方_"|=J片_2为7+石2计算即可；

(2)计算0+K).(a-K)=0.即可证明.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

19.【答案】证明：(1)连接B/i，由题意可得：E,F分别为BiG，

GD1的中点,

则EF〃BWi，

vBB、〃DDi，BB]=DD],

则BB1A。为平行四边形,

・•.BD//B1D1,

贝|JEF〃BO,

故E、F、B、0共面.

(2)由题意可得：M,N分别为4当，45的中点，

则MN〃B也,

•:EF"B\D[,则MN〃EF,且MNu平面4MN,EFC平面4MN,

EF//平面AMN,

连接NE,由题意可得：N,E分别为45，BiG的中点，

则NE〃4BrNE=A$i，

A1B1//AB,4Bi=4B,

则NE〃AB,NE=AB,即4BNE为平行四边形，

AN//BE,ANu平面力MN,BE仁平面4MN,

BE〃平面4MN,EFnBE=E,EF,BEu平面EFDB,

故平面4MN〃平面EFDB.

【解析】(1)根据题意证明EF〃BD,即可得结果；

(2)根据线面、面面平行的判定定理分析证明.

本题考查四点共面以及面面平行的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题.

20.【答案】解：(1)成绩不低于80分的学生人数频率为(0.024-0.01)x10=0.3.

2000名学生参加全校这次考试中“国学达人”的人数为0.3x2000=600；

(2)参加这次考试的学生成绩的80%分位数约是：70+^x10=731«7