2020-2021学年广西防城港市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年广西防城港市九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.

1.方程好=1的解是（）

A.制=0,及=1B.M=0,X2—-1C.，X2=-D.X1=X2=1

2.下列垃圾分类的图标是中心对称图形的是()

A.]]厨余垃圾（绿色）

其他垃圾（黑色）

c.£A<可回收物（蓝色）D.有害垃圾（红色）

XMM4Mll7\

3.抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（)

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(3,-1)

4.一个圆锥的底面半径长为母线长为5cm,则圆锥的侧面积为（）

A.20cm2B.40cm2C.20ncm2D.40TCC加

5.如图，四边形A8CD是O。的内接四边形，若/8。。=80°，则NBC。的度数是（）

A.80°B.120°C.130°D.140°

6.不透明袋子中有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球,

下列事件中是必然发生的事件是（）

A.2个白球1个黑球B.2个黑球1个白球

C.至少有1个黑球D.3个都是黑球

7.抛物线y=or2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=T,则当y<0,x的取值

范围是（)

x>-1C.-3<x<lD.-4WxWl

8.已知。。的半径是2,一个正方形内接于。0,则这个正方形的边长是（）

A.2&B.2C.&D.4

9.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》有题目：直田积（矩形面积）八百六十

四步（平方步），只云阔（宽）与长共六十步，问阔（宽）及长各几步.设阔（宽）有x

步，那么下面所列方程正确的是（）

A.x(x+60)=864B.x(60-x)=864

C.x(工-60)=864D.%2-60^-864=0

10.如图，△ABC中，ZACB=90°,ZABC=40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到AA'

BC,使点C的对应点C'恰好落在边A8上,则NC4T的度数是（）

70°C.110°D.120°

11.如图，正方形A5CQ中，分别以A、。为圆心,以正方形的边长2为半径画弧，形成树

叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积是()

D

A.2n-4B.4-ITC.ir+4D.4-2IT

12.如图，抛物线yna^+bx+c的对称轴是直线x=l,下列结论:

①时c>0；②。2-4“C>0；③8A+CV0；®5a+b+2c>0,

A.①②③B.②③④C.①②@D.②③

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13.二次函数y=x2+2x-3的图象与y轴的交点坐标是.

14.将一元二次方程2^=x-1化成一般形式是.

15.将抛物线y="向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线.

16.如图，圆0的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,ZA=22.5°,0C=4,CD的长

17.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传

染给个人.

18.如图，点E在正方形48CD的边CO上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△回尸的

位置，连接EE过点4作E尸的垂线，垂足为点”，与8c交于点G.若BG=5,CG=

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19.解方程：x1-\—3（x+1）.

20.在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.截面圆的直径为2000",若油面的宽AB

=160OT,求油槽中油的最大深度.

21.如图，在平面直角坐标系中，Z\ABC的三个顶点分别是A(-2,-4),

C(-1,-3).

(1)把△ABC向右平移4个单位后得到对应的△ASG,请画出平移后的△A8G；

(2)把AABC绕原点0旋转180°后得到对应的△A2B2C2,请画出旋转后的△4B2C2；

(3)观察图形可知，与282c2关于点(,)成中心对称.

22.已知关于x方程；!?+"+4-5=0.

(1)若该方程的一个根为3,求。的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论。取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

23.某市合唱团为开展“百人合唱爱国歌”网络“线上云演出”活动，需招收新成员、小霞、

小健、小婷、小宇四名学生报名参加了应聘活动，其中小霞、小健来自七年级，小婷、

小宇来自八年级.现对这四名学生采取随机抽取的方式进行网络线上面试.

(1)若随机抽取一名学生，恰好抽到学生小霞的概率为;

(2)若随机抽取两名学生，请用列表法或树状图法求抽中两名学生均来自七年级的概率.

24.某商店将标价为100元/台的品牌学习机在网上直播间销售，两次降价后，价格为81元

/台，并且两次降价的百分率相同.

(1)求该品牌学习机每次降价的百分率；

(2)从第二次降价后的第1天算起，第x天的销量及网上直播间销售支出劳务费用的相

关信息如表所示:

时间（天）X

销量（台）\50-x

网上直播间售支出劳务费用3/_50A-+600

（元）

已知该品牌学习机的进价为61元/台，设销售该品牌学习机第x（天）的利润为y（元），

求》与x之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？

25.如图，。为正方形ABC。对角线上一点，以。为圆心，0A的长为半径的与相

切于点M,

（1）求证：8C与。。相切；

（2）若正方形的边长为1,求。。的半径.

26.如图，抛物线y=/+6x+c经过点（-2,5）和（2,-3）,与两坐标轴的交点分别为A,

B,C,它的对称轴为直线/.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求出点A,B,C的坐标；

（3）P是该抛物线上的点，过点尸作/的垂线，垂足为。，E是/上的点.要使以P,D,

E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P,点E的坐标.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一

项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）

1.方程f=l的解是（）

A.xi=O,X2=lB.xi=O,X2=-1C.X1=LX2=-D.X1=X2=1

【分析】方程两边开方，即可得出答案.

解：x2=l,

开方得：X=±1,

即汨=1,X2=-1,

故选：C.

2.下列垃圾分类的图标是中心对称图形的是()

A▽.（［厨余垃圾（绿色）其他垃圾（黑色）

C.A可回收物（蓝色）D.有害垃圾（红色）

【分析】一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：4、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

3.抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（3,-1）

【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.

解：抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1,3）.

故选：A.

4.一个圆锥的底面半径长为4cm,母线长为5a”，则圆锥的侧面积为（）

A.20cm2B.40cm2C.20ncm2D.40TTCTO2

【分析】圆锥的侧面积=nX底面半径X母线长，把相应数值代入即可求解.

解：•.•圆锥的底面半径长为4cm,母线长为

圆锥的侧面积=7iX4X5=20TTa"2,

故选：C.

5.如图，四边形ABC。是的内接四边形，若/8。。=80°,则N8C。的度数是（）

A.80°B.120°C.130°D.140°

【分析】根据圆周角定理和已知条件求出/A,根据圆内接四边形的性质得出N8Q9+N

A=180°,再求出答案即可.

解：；NBOO=80°,

・・・NA=/N800=40°（圆周角定理），

,/四边形ABCD是。。的内接四边形，

：.ZBCD+ZA=]S00,

AZBC£）=180°-40°=140°,

故选：D.

6.不透明袋子中有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球,

下列事件中是必然发生的事件是（）

A.2个白球1个黑球B.2个黑球1个白球

C.至少有1个黑球D.3个都是黑球

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

解：4、2个白球1个黑球，是随机事件；

B、2个黑球1个白球，是随机事件；

C、至少有1个黑球，是必然事件:

D、3个都是黑球，是随机事件；

故选：C.

7.抛物线y=ax2+"+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-l,则当），<0,x的取值

范围是（）

A.x<\B.x>-1C.-3<x<lD.-4WxWl

【分析】则根据函数的对称性，另外一个交点坐标为（-3,0）,进而求解.

解：•.•抛物线与x轴的一个交点为（1,0）,函数的对称轴为x=-l,

则根据函数的对称性，函数与x轴另外一个交点坐标为（-3,0）,

故当y<0,x的取值范围是-3Vx<l,

故选：C.

8.已知。。的半径是2,一个正方形内接于。O,则这个正方形的边长是（）

A.2&B.2C.&D.4

【分析】由正方形的性质得NB=90°,AB=BC,再由圆周角定理得AC是。。的直径,

则△ABC是等腰直角三角形，即可解决问题.

解：如图所示：

♦.•四边形ABC。是正方形，

AZB=90°,AB=BC,

是OO的直径，是等腰直角三角形，

，AC=4,AB=BC=与AC=2&,

故选：A.

9.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》有题目：直田积（矩形面积）八百六十

四步（平方步），只云阔（宽）与长共六十步，问阔（宽）及长各几步.设阔（宽）有x

步，那么下面所列方程正确的是（）

A.x（x+60）=864B.x（60-x）=864

C.x（x-60）=864D.%2-60x-864=0

【分析】设阔（宽）有x步，则长有（60-x）步，利用矩形的面积计算公式，结合直田

积（矩形面积）八百六十四步（平方步），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

解：设阔（宽）有x步，则长有（60-%）步，

依题意得：x（60-x）=864.

故选：B.

10.如图，△ABC中，/ACB=90°,/A8C=40。.将△ABC绕点8逆时针旋转得到

BC,使点C的对应点C'恰好落在边AB上，则/CA4'的度数是（）

【分析】根据旋转可得/A，8A=NABC=40°,A，B=AB,得NBA4'=70°,根据

ZCAA'^ZCAB+ZBAA',进而可得NCA4'的度数.

解：VZACB=90°,/ABC=40°,

ZCAB=90°-NABC=90°-40°=50°,

•.♦将△ABC绕点8逆时针旋转得到8C',使点C的对应点C'恰好落在边A8上,

ZA'BA=ZABC=40°,A'B=AB,

：.ZBAA'=/R4'A=2(180°-40°)=70°,

2

ZCAA'=ZCAB+ZBAA1=50°+70°=120°.

故选：D.

11.如图，正方形ABC。中，分别以A、C为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成树

叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积是（）

A.2n-4B.4-ITC.TT+4D.4-2IT

【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为90°,且半径为2的扇形的面积与

正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积.

解：由题意可得出：5瞰=25睇-S正硼=2X四2I2L/-22=2TT-4.

360

故选：A.

12.如图，抛物线y="+fei+c的对称轴是直线x=l,下列结论：

①abc>0；②。2-4ac>0；③8a+c<0；④5a+/>+2c>0,

正确的是（）

C.①②④D.②③

【分析】根据函数图象分别判断“，b,c的符号即可判断结论①；利用图象与x轴交点

的个数即可判断结论②；利用对称轴及当x=-2时函数值的正负即可判断结论③；利用

x=-1和x=2时的函数值的正负即可判断结论④.

解：；抛物线开口方向向下,

•.•对称轴在y轴的右侧,

.,.a,b异号，即b>0,

•••函数图像与y轴交于正半轴,

.,.c>0,

.\abc<0,故①错误；

♦.•抛物线与x轴有两个交点，

：.b2-4ac>0,故②正确;

：抛物线对称轴是直线x=-1,

:.b=-2a,

•.•当x=-2时，4a-2b+c<0,

...4a+4a+c<0,即8a+c<0,故③正确；

:当x=2时，4a+2b+c>0,当x=-l时，a-b+c>0,

（4a+26+c）+（.a-b+c）>0,HP5a+b+2c>0,故④正确；

故选：B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13.二次函数y=x2+2x-3的图象与y轴的交点坐标是（0,-3）.

【分析】把x=0代入求出力即可得出答案.

解：当x=0时，y=x2+2x-3=-3,则抛物线与y轴的交点坐标为（0,-3）.

故答案为：（0,-3）.

14.将一元二次方程2^=x-1化成一般形式是2^-"1=0.

【分析】一元二次方程的一般形式是：a^+bx+c=Q（a,b,c是常数且aNO）.

解：由2x2=x-l,得源-彳+匚。，

即方程2x2=x-1化为一元二次方程的一般形式是2X2-x+1=0.

故答案为：2X2-x+l=0.

15.将抛物线丫=正向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线x=-2.

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律写出平移后抛物线解析式，易得抛物线对

称轴方程.

解：抛物线>=正向左平移2个单位，所得抛物线解析式为：y=2（x+2）2,则其对称

轴是直线x=-2.

故答案是：X--2.

16.如图，圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,/A=22.5°,0C=4,CD的长为」

【分析】根据圆周角定理得NBOC=2NA=45°,由于的直径4B垂直于弦C。，根

据垂径定理得CE=OE,且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=^0C=2M，

然后利用CD=2CE进行计算.

解：VZA=22.5°,

，NBOC=2/A=45°,

：。。的直径AB垂直于弦C£),

：.CE=DE,ZSOCE为等腰直角三角形，

...CE=^0c=2&,

:.CD=2CE=4夜.

故答案为4&.

17.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传

染给9个人.

【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，第一轮后有(1+x)人患了流感，第二轮

后会传染给x(1+x)人，则两轮以后共有1+x+x(1+x)人得病，然后根据共有100人患

了流感就可以列出方程求解.

解：设每轮传染中平均每个人传染了x人.

依题意得1+x+x(1+x)=100,

.,.f+2t-99=0,

；.x=9或x=-11(不合题意，舍去).

所以，每轮传染中平均一个人传染给9个人.

故填空答案：9.

18.如图，点E在正方形ABCC的边CQ上，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至尸的

位置，连接EF,过点A作EF的垂线，垂足为点H,与BC交于点G.若BG=5,CG=

3,则CE的长为_黑_.

【分析】连接EG,根据AG垂直平分E凡即可得出EG=/G,设CE=x,则。E=8-x

=BF,FG=EG=\3-x,再根据Rt^CEG中，C£2+CG2=EG2,即可得到CE的长.

由旋转可得，△AOE丝ZiABF,

：.AE=AF,DE=BF,

XVAG±£F,

为EF的中点，

：.AG垂直平分EF,

：.EG=FG,

'：BG=5,CG=3,

：.BC=CD=S,

设CE=x,则DE=8-x=BF,FG=CF-CG=13-x,

：.EG=l3-x,

VZC=90°,

.♦.RtZ\CEG中，CEXCG=EG,即必+32=(13-x)2,

解得：x=祟

13

故答案为相.

11J

三、解答题(本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19.解方程：3-1=3(x+1).

【分析】利用因式分解法求解即可.

解：x2-1=3(x+1),

(x+1)(x-1)=3(x+1),

(x+1)(x-1)-3(x+1)=0,

(x+1)(x-1-3)=0,

・・・尢+1=0或x-4=0

20.在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.截面圆的直径为200cm,若油面的宽AB

=160OT,求油槽中油的最大深度.

【分析】连接OA，过点。作OCAB交AB于点C交。。于。，由垂径定理求出AC的

长，再根据勾股定理求出OC的长，进而可得出C。的长.

解：过点。作OO_LA8于点C,交。。于点。，连接AO.

RtZ\ACO中，AO=/X200=100(cm),

AC-yXAB=yX160=80(的)，

0C=VAO2-AC2=V1002-802=60(的)，

...油槽中油的最大深度C£>=。。-OC=,X200-60=100-60=4((cm).

21.如图，在平面直角坐标系中，ZVIBC的三个顶点分别是A(-2,-1),B(-4,-4),

C(-1,-3).

(1)把AABC向右平移4个单位后得到对应的△AiBG,请画出平移后的△A181G：

(2)把AABC绕原点。旋转180。后得到对应的△4&C2,请画出旋转后的△4B2C2；

(3)观察图形可知，△AIBCI与282c2关于点(2,0)成中心对称.

【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点Ai,Bi,G即可.

(2)分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可.

(3)对应点连线的交点即为对称中心.

解：(1)如图，△Ai81G即为所求作.

(2)如图，AA282c2即为所求作.

(3)△AiBiCi与N\A252c2关于点(2,0),

故答案为：2,0.

22.已知关于x方程j^+ar+a-5=0.

(1)若该方程的一个根为3,求。的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论。取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

【分析】(1)根据方程有一根为3,将x=3代入方程求出〃的值，确定出方程，即可求

出另一根；

(2)根据根的判别式判断可得结论.

解：（1）把x=3代入方程得32+3a+a-5=0,

.'.a=-1,

...方程为x2-x-6=0,

：.xi=3,X2—-2,即方程另一个根是-2；

（2）证明：A=a2-4（a-5）=cr-4a+20=a2-4a+4+16=（a-2）2+16>0

...不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

23.某市合唱团为开展“百人合唱爱国歌”网络“线上云演出”活动，需招收新成员、小霞、

小健、小婷、小宇四名学生报名参加了应聘活动，其中小霞、小健来自七年级，小婷、

小宇来自八年级.现对这四名学生采取随机抽取的方式进行网络线上面试.

（1）若随机抽取一名学生，恰好抽到学生小霞的概率为4；

一4-

（2）若随机抽取两名学生，请用列表法或树状图法求抽中两名学生均来自七年级的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）将小霞、小健、小婷、小宇四名学生分别记为A、B、C、D,列表得出所有等可能

结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

解：（1）随机抽取一名学生，恰好抽到学生小霞的概率为二，

故答案为：-y;

4

（2）将小霞、小健、小婷、小宇四名学生分别记为A、B、C、D,

用列表法表示所有可能出现的结果如下：

ABCD

A(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(C,B)(£>,B)

C(A,C)QB,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)

由表格知，共有12种等可能结果，其中抽中两名学生均来自七年级的有2种结果，

所以抽中两名学生均来自七年级的概率为

126

24.某商店将标价为100元/台的品牌学习机在网上直播间销售，两次降价后，价格为81元

/台，并且两次降价的百分率相同.

（1）求该品牌学习机每次降价的百分率;

（2）从第二次降价后的第1天算起，第x天的销量及网上直播间销售支出劳务费用的相

关信息如表所示：

时间（天）X

销量（台）150-x

网上直播间售支出劳务费用3'-501+600

（元）

已知该品牌学习机的进价为61元/台，设销售该品牌学习机第无（天）的利润为了（元），

求y与x之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）该学习机每次降价的百分率为机，根据该学习机的原价及经过两次降价后

的价格，即可得出关于，”的一元二次方程，解方程即可得出结论；

（2）根据一台学习机的利润X第x天的销售量-网上直播间售支出劳务费用=利润列出

函数关系式，根据函数的性质求最值即可.

解：（1）设该品牌学习机每次降价的百分率为，*，

依题意,得：100（1-m）2=81,

解得：g=0.1=10%,m2—1.9（舍去），

答：该品牌学习机每次降价的百分率是10%；

（2）由题意可得，

y=（81-61）（150-A:）-（3x2-50x+600）

=-31+30田+2400

=-3（x-5）2+2475,

.,.当x=5时，y取得最大值，此时y=2475.

即第二次降价后的第5天销售利润最大，最大利润是2475元.

25.如图，。为正方形A8CZ）对角线上一点，以。为圆心，OA的长为半径的。。与C£）相

切于点M,

（1）求证：BC与。0相切；

（2）若正方形的边长为1,求。。的半径.

【分析】（1）过。作0N_L8C于N,由垂直的定义得到/CWC=90°,根据正方形的

性质得到NOCN=NOCM=45°,根据切线的性质得到NOM