专题2.12勾股定理与弦图问题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.12勾股定理与弦图问题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•姑苏区期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案，下列关系式中不正确的是（）A．x2+y2＝64 B．x﹣y＝3 C．2xy+9＝64 D．x+y＝11【分析】根据勾股定理得出方程组，进而解答即可．【解析】根据勾股定理可得：x2+y2＝64①，（x﹣y）2＝9②，①﹣②可得2xy＝55③，∴2xy+9＝64，x﹣y＝3，①+③得x2+2xy+y2＝119，∴x+y=119∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．2．（2019•龙马潭区模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝18，大正方形的面积为100．则小正方形的边长为）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×∴4×12ab+（a﹣b）2＝∴（a﹣b）2＝100﹣36＝64，∴a﹣b＝8或a﹣b＝﹣8（舍去），故选：B．3．（2020秋•山西月考）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．588【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF2的长．【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C．4．（2021春•海珠区月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【分析】由题意知x2+y2=49①(x-y)2=4②，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③【解析】由题意知x2由①﹣②得2xy＝45③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y=94∴结论①②③正确，④错误．故选：C．5．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25 B．19 C．13 D．169【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【解析】由条件可得：a2解之得：a=3b=2所以（a+b）2＝25，故选：A．6．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，∴（x﹣y）2＝1，故A错误，∴x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．7．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积．【解析】根据题意得：小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），故选：A．8．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．9．（2020秋•南山区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A．214 B．215 C．225 【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．【解析】∵S正方形ABCD＝21，∴AB2＝21，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝21，∴x2=21根据题意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN＝2S△CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：S梯形NGFM=12（NG+FM=12（EM+MF=12FE=12×（2＝2x2=21故选：B．10．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由勾股定理得a2+b2＝9，由小正方形面积是1，得出（a﹣b）2＝1，即可得出结果．【解析】∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积是9，∴a2+b2＝9，∵小正方形面积是1，∴（a﹣b）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴9﹣2ab＝1，∴ab＝4，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为29．【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．【解析】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，即得a2+b2＝42＝16，由题意4×12ab+3＝2ab＝13，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，故答案为：29．12．（2020秋•福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于6．【分析】根据勾股定理得出AH与AE的值，进而解答即可．【解析】∵AB＝10，AH：AE＝3：4，设AH为3x，AE为4x，由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴5x＝10，∴x＝2，∴AH＝6，故答案为：6．13．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝43EF，则正方形ABCD的面积为98．【分析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．【解析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝43EF，∴2a＝43b，∴a＝23b，∵正方形EFGH的面积为2，∴b2＝2，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝49b2＝98，故答案为：98．14．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．【分析】根据题意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3，a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．15．（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1S2=32，则【分析】由S1S2=32，可得S2为大正方形面积的25．设AB为x，表示出空白部分的面积S2，即12x2×4=25m【解析】∵S1S2=∴S2设图2中AB＝x，依题意则有：4⋅即4×12×x解得：x1在Rt△ABC中，AB2+CB2＝AC2，∴(5解得：n1∴nm故答案为：5516．（2020秋•金水区校级月考）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③x-y=2；④x+2y=42．其中说法正确的有【分析】大正方形的面积是10，则其边长是10，显然，利用勾股定理可得①x2+y2＝10；小正方形的面积是2，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即③x﹣y还可以得出四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×12xy+2＝10，化简得②xy＝其中④x+2y＝42，故成立．【解析】①大正方形的面积是10，则其边长是10，显然，利用勾股定理可得x2+y2＝10，故选项①正确；③小正方形的面积是2，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即③x﹣y=2②根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×12xy+2＝10，化简得②xy＝4，故选项④x-y=2xy=4，则x+2y故答案为：①③④．17．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为4．【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【解析】直角三角形直角边的较短边为102正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故答案为：4．18．（2019秋•石狮市期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a+b=15，ab＝2，则小正方形的面积为7【分析】观察图形可知，小正方形的边长＝a﹣b，根据正方形面积公式计算，再进行变形即可求出答案．【解析】观察图形可知，小正方形的边长＝a﹣b，∵a+b=15，ab＝2∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝15﹣8＝7．故答案为：7．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•溧阳市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．【分析】连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．【解析】连接AC，∵△ABE≌△BCD，∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC=12BD•AE+12BD•CD=12AE•AE+12BD•BE又∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12AB•BC+12CD•DE=12AB•AB+12BE•DE∴12AE2+12BD•BE=12AB2∴AB2＝AE2+BD•BE﹣BE•DE，∴AB2＝AE2+（BD﹣DE）•BE，即AB2＝BE2+AE2．20．（2018秋•伊川县期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．【分析】连接DB，过点D作BC边上的高DF，根据S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝S△ADB+S△DCB即可求解．【解答】证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2．21．（2020秋•寿阳县期中）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）【探索发现】（1）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；（2）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．【分析】【实践操作】（1）勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（2）在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a2+b2＝c2．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：a2+b2＝c2．【探索发现】（1）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；（2）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2＝S3．【解析】【实践操作】（1）如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）（2）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+化简得：a2+b2＝c2．【探索发现】（1）三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；（2）结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2=12π（a2）2+12π（b2）2+S3-∴S1+S2=12π（a2+b2﹣c2）+S∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．22．（2020秋•雁江区期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【解析】（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．23．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：方法一：S＝ab+b2．方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+12b2-12a2（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．【分析】（1）根据长方形的面积公式可求解；（2）根据长方形的面积＝4个三角形的面积和列式化简即可求解；（3）将a，c的值代入计算可求解b的值，进而可求解S值．【解析】（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．故答案为S＝ab+b2；