第12章《证明》（教师版）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节拔高检测卷（易错专练）第12章《证明》考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.62一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2022秋•蒸湘区校级期末）下列命题中是真命题的是（）A．如果a+b＜0，那么ab＜0 B．内错角相等 C．三角形的内角和等于180° D．相等的角是对顶角解：A、当a＝﹣1，b＝﹣2时，a+b＝﹣3＜0，ab＝2＞0，则如果a+b＜0，那么ab＜0，是假命题；B、两直线平行，内错角相等，本选项说法是假命题；C、三角形的内角和等于180°，是真命题；D、相等的角不一定是对顶角，本选项说法是假命题；故选：C．2．（2分）（2023秋•鼓楼区校级期末）以下命题为真命题的是（）A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，同旁内角相等解：A、两直线平行，同位角相等，故A不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意；C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故C符合题意；D、两直线平行，同旁内角互补，故D不符合题意．故选：C．3．（2分）（2023秋•绍兴期中）对于命题“若|x|＞|y|，则x＞y”，下面四组关于x，y的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．x＝﹣3，y＝﹣2 B．x＝3，y＝﹣2 C．x＝2，y＝0 D．x＝﹣1，y＝﹣2解：A、当x＝﹣3，y＝﹣2时，|x|＞|y|，但x＜y，说明命题“若|x|＞|y|，则x＞y”是假命题；B、当x＝3，y＝﹣2时，|x|＞|y|，x＞y，说明命题“若|x|＞|y|，则x＞y”是真命题；C、当x＝2，y＝0时，|x|＞|y|，x＞y，说明命题“若|x|＞|y|，则x＞y”是真命题；D、当x＝﹣1，y＝﹣2时，|x|＜|y|，不能判断命题的真假；故选：A．4．（2分）（2023春•青山区期中）下列命题中，真命题的个数有（）①对顶角相等；②同位角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：①对顶角相等，是真命题；②两直线平行，同位角相等，故本小题说法是假命题；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；故选：C．5．（2分）（2023春•永吉县期中）下列4个命题中，真命题的个数为（）（1）对顶角相等；（2）垂线段最短；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）两直线平行，同旁内角互补．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：（1）对顶角相等，是真命题；（2）垂线段最短，是真命题；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；（4）两直线平行，同旁内角互补，是真命题；故选：D．6．（2分）（2023春•永善县期中）下列命题中真命题是（）A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．如果∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为邻补角 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题；B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项命题是假命题；C、如果∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角，不一定是邻补角，故本选项命题是假命题；D、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，是真命题；故选：D．7．（2分）（2023春•海林市期末）下列说法是真命题的有（）①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫点到直线的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①对顶角相等，是真命题；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题命题是假命题；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题命题是假命题；⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故本小题命题是假命题；故选：B．8．（2分）（2023春•镇江期末）下列命题中，①相等的角是对顶角；②直角三角形两个锐角互余；③如果a＝b，则|a|＝|b|：④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等．逆命题是真命题的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；②直角三角形两个锐角互余的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；③如果a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是如果|a|＝|b|，则a＝b，是假命题：④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等的逆命题是如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点，是假命题；故选：B．9．（2分）（2023春•常州期末）下列命题中，真命题是（）A．如果a2≥0，那么a≥0 B．一个角的补角大于这个角 C．内错角相等 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解：A、如果a2≥0，那么a≠0，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、一个角的补角不一定大于这个角，例如90°的补角是90°，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是真命题，符合题意；故选：D．10．（2分）（2023春•广饶县期中）下列语句是真命题的有（）①垂线段最短；②两直线平行，同旁内角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：垂线段最短，①是真命题；两直线平行，同旁内角互补，②是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，④是真命题；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023春•鄂伦春自治旗期末）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：同角的补角相等．改写成如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等．解：命题同角的补角相等写成“如果……，那么……”的形式：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等．12．（2分）（2023春•恩施市期末）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°；④若b⊥c，a⊥c，则b∥a．其中假命题的是①②④（填写序号）．解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法是假命题；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°或140°，是真命题；④在同一平面内，若b⊥c，a⊥c，则b∥a，故本小题说法是假命题；故答案为：①②④．13．（2分）（2023秋•兴庆区校级期末）命题“如果正数a是有理数，则它的算术平方根也是有理数”是假命题．（填“真”或“假”）解：正数2是有理数，它的算术平方根是，是无理数，则命题“如果正数a是有理数，则它的算术平方根也是有理数”是假命题，故答案为：假．14．（2分）（2021春•东莞市期末）已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个钝角；④在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中正确命题的序号是④⑤．解：①相等的角是对顶角，错误，因为对顶角既要考虑大小，还有考虑位置；②互补的角就是平角，错误，因为互补的角既要考虑大小，还有考虑位置；③互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角，错误，两个直角也可以；④在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线平行，是平行公理，正确；⑤邻补角的平分线互相垂直，正确．所以只有④⑤命题正确，故答案为：④⑤．15．（2分）（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|．解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．16．（2分）（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是①③④．（填写所有真命题的序号）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；②如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故本小题命题是假命题；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c，是真命题；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题；故答案为：①③④．17．（2分）（2023春•景县期中）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”，这是一个真命题（填“真”或“假”）．解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”，是真命题，故答案为：真．18．（2分）（2023春•裕华区校级期中）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．解：连接CF，并延长至点M，如图所示．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．19．（2分）（2023秋•长丰县期末）“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．（用“如果…那么…”的形式写出）解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．20．（2分）（2023秋•农安县期末）“若ab＞0，则a＞0，b＞0”是命题（选填“是”或“不是”）．解：若ab＞0，则a＞0，b＞0是命题，故答案为：是．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023春•双辽市期中）（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．解：（1）∵DE∥BC，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CD∥FG，∵CD⊥AB，∴FG⊥AB；（2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴FG∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC．22．（6分）（2023春•汝南县期末）发现：如图，∠AOB内有一点P：过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点D；根据所画图形试说明：∠O与∠CPD的数量关系；验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：∵PC∥OB∴∠O＝ACP（两直线平行，同位角相等）∵PD∥OA∴∠CPD＝∠ACP∴∠O＝∠CPD探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断此时∠B与∠D的数量关系，并说明理由．归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角相等或互补．解：验证：如图，∵PC∥OB，∴∠O＝∠ACP（两直线平行，同位角相等），∵PD∥OA，∴∠CPD＝∠ACP（两直线平行，内错角相等），∴∠O＝∠CPD．故答案为：∠ACP；两直线平行，同位角相等；∠ACP；探究：两边分别平行的两个角相等或互补，理由：如图1，∵DF∥BC，∴∠D＝∠CGE．∵DE∥BA，∴∠B＝∠CGE，∴∠D＝∠B．∴两边分别平行的两个角相等；如图2，∵DF∥BC，∴∠D＝∠DGB．∵DE∥BA，∴∠B+∠DGB＝180°，∴∠D+∠B＝180°．∴两边分别平行的两个角互补，综上，两边分别平行的两个角相等或互补．故答案为：相等或互补．23．（8分）（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC+∠DEF＝180°；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC＝∠DEF；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．24．（8分）（2022春•市南区校级期中）将下面证明过程补充完整，并在括号内填写理由．如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．求证：∠A＝∠C．证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知）∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（角平分线的定义）∵∠ABC＝∠ADC∴∠1＝∠3（等量代换）∵∠1＝∠2（已知）∴∠2＝∠3（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A＝∠C（等角的补角相等）证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（角平分线的定义），∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A＝∠C（等角的补角相等）．故答案为：角平分线的定义；等量代换；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠ADC；∠ABC，两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等．25．（8分）（2023春•龙口市期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．AB与CD平行吗？请说明理由．解：AB∥CD．理由如下：∵EM∥FN，∴∠FEM＝∠EFN，又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN，∴∠FEB＝∠EFC，∴AB∥CD．26．（8分）（2022春•兴化市期末）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是②③，结论是①（只要填写序号），并说明理由；（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：∵EF∥GH，∴∠ACG＝∠DAC，∵∠ACD＝∠DAC，∴∠ACG＝∠ACD，∵BC平分∠DCH，∴∠DCB＝∠BCH，∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC；（2）设∠BCH＝x°，则∠ACG＝（2x﹣3）°，∵∠ACG+∠BCH＝90°，∴x°+（2x﹣3）°＝90°，解得x＝31，∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，∴∠DAC＝∠ACG＝59°．27．（8分）（2022春•侯马市期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．（1）①若∠BAO＝60°，则∠D＝45°；②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数．解：（1）①∵∠A