2023-2024学年江西省吉安市永新二中高一下数学期末考试试题含解析

2023-2024学年江西省吉安市永新二中高一下数学期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．将正整数按第组含个数分组：那么所在的组数为（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B．C． D．3．是边AB上的中点，记，，则向量()A． B．C． D．4．Rt△ABC的三个顶点都在一个球面上，两直角边的长分别为6和8，且球心O到平面ABC的距离为12，则球的半径为（）A．13 B．12 C．5 D．105．已知直线与直线平行，则实数m的值为（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或36．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则A． B．C． D．7．若，则下列不等式不成立的是()A． B． C． D．8．已知变量x，y满足约束条件x+y-2≥0,y≤2,x-y≤0,则A．2 B．3 C．4 D．69．已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A． B．C． D．10．已知直线经过，两点，则直线的斜率为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．方程在区间内解的个数是________12．在数列中，，则___________.13．已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____14．已知函数的图象如下，则的值为__________．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，其中是的内角的对边为.若，且，则面积的最大值为________.16．下列结论中：①②函数的图像关于点对称③函数的图像的一条对称轴为④其中正确的结论序号为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，其中，，且函数在处取得最大值.（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.18．正项数列的前项和为，且.（Ⅰ）试求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的前项和为.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.19．四棱锥中，，，底面，，直线与底面所成的角为，、分别是、的中点．（1）求证：直线平面；（2）若，求证：直线平面；（3）求棱锥的体积．20．如图，在三棱柱中，为正三角形，为的中点，，，．（1）证明：平；（2）证明：平面平面．21．若函数满足且，则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=，然后再验证求解.【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=.当时，，所以所在的组数为63.故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.2、A【解析】

先化简集合，根据交集与并集的概念，即可得出结果。【详解】因为，，所以，.故选A【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟记概念即可，属于基础题型.3、C【解析】由题意得，∴．选C．4、A【解析】

利用勾股定理计算出球的半径.【详解】的斜边长为，所以外接圆的半径为，所以球的半径为.故选：A【点睛】本小题主要考查勾股定理计算，考查球的半径有关计算，属于基础题.5、B【解析】

两直线平行应该满足，利用系数关系及可解得m.【详解】两直线平行，可得（舍去）.选B.【点睛】两直线平行的一般式对应关系为：，若是已知斜率，则有，截距不相等.6、D【解析】

由平面向量基本定理和向量运算求解即可【详解】根据题意得：，又，，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.7、A【解析】

由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.【详解】由题得a＜b＜0，对于选项A,=，所以选项A错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,，所以，所以选项C正确.对于选项D,，所以选项D正确.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.8、D【解析】

试题分析：把函数转化为表示斜率为截距为平行直线系，当截距最大时，最大，由题意知当直线过和两条直线交点时考点：线性规划的应用.【详解】请在此输入详解！9、A【解析】

在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为,然后根据圆过点B（3，6），代入方程可求出r的值，得到圆的方程.【详解】因为,又因为圆心为C（6，5）,所以所求圆的方程为,因为此圆过点B（3，6），所以,所以，因而所求圆的方程为.考点：圆的标准方程.10、C【解析】

由两点法求斜率的公式可直接计算斜率值．【详解】直线经过，两点，直线的斜率为.【点睛】本题考查用两点法求直线斜率，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4.【解析】分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.详解：，所以或，因为，所以或或或，故解的个数是4.点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.12、-1【解析】

首先根据，得到是以，的等差数列.再计算其前项和即可求出，的值.【详解】因为，.所以数列是以，的等差数列.所以.所以，，.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判断和等差数列的前项和的计算，属于简单题.13、8【解析】

两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值.【详解】设直线的斜率为，，直线的斜率为，，两条直线垂直，，整理得：，，等号成立当且仅当，的最小值为.【点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.14、【解析】

由函数的图象的顶点坐标求出,由半个周期求出,最后将特殊点的坐标求代入解析式,即可求得的值.【详解】解：由图象可得,,得.,将点代入函数解析式,得,,,又因为,所以故答案为：【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式.（1）根据函数的最高点的坐标确定（2）根据函数零点的坐标确定函数的周期求（3）利用最值点的坐标同时求的取值,即可得到函数的解析式.15、【解析】

根据正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函数求最值的知识，即可求解.【详解】，又，，时，面积的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.16、①③④【解析】

由两角和的正切公式的变形，化简可得所求值，可判断①正确；由正切函数的对称中心可判断②错误；由余弦函数的对称轴特点可判断③正确；由同角三角函数基本关系式和辅助角公式、二倍角公式和诱导公式，化简可得所求值，可判断④正确．【详解】①，故①正确；②函数的对称中心为，，则图象不关于点对称，故②错误；③函数，由为最小值，可得图象的一条对称轴为，故③正确；④，故④正确．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质应用以及三角函数的恒等变换，意在考查学生的化简运算能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的最小值为1，，，（2）（3）原不等式的解集为【解析】

（1）先将化成正弦型，然后利用在处取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到，然后画出在区间上的图象，条件转化为的图象与直线有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．【详解】（1）因为，所以因为在处取得最大值.所以，即当时的最小值为1此时，（2）将的图像上的所有的点向右平移个单位得到的函数为，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数在区间上的图象为：方程有两个不相等的实数根等价于的图象与直线有两个交点所以，解得（3）设，因为点，且满足所以，所以因为点为函数图像上的一点所以即因为，所以所以所以所以原不等式的解集为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.将与代入即可求得数列的通项公式,利用裂项法即可求得前项和.（Ⅲ）先求得的取值范围,结合不等式,即可求得的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为正项数列的前项和为,且化简可得由递推公式可得两式相减可得,变形可得即,由正项等比数列可得所以而当时,解得所以数列是以为首项,以为公差的等差数列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知则代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知则,所以数列为单调递增数列,则且当时,,即所以因为对一切的恒成立则满足,解不等式组可得即实数的取值范围为【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的应用,裂项求和法的应用,数列的单调性与不等式关系,综合性强,属于中档题.19、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】

（1）由中位线定理可得，，再根据平行公理可得，，即可根据线面平行的判定定理证出；（2）根据题意可计算出，而是的中点，可得，又，即可根据线面垂直的判定定理证出；（3）根据等积法，即可求出．【详解】（1）证明：连接，，，、是、中点，，从而．又平面，平面，直线平面；（2）证明：，，．底面，直线与底面成角，．．是的中点，．，．面，面，直线平面；（3）由题可知，，．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及利用等积法求三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于基础题．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）连结交于，连结，先证明，再证明平；（2）取的中点为，连结，，，先证明平面，再证明平面平面．【详解】证明：（1）连结交于，连结，由于棱柱的侧面是平行四边形，故为的中点，又为的中点，故是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中点为，连结，，，在中，，由，知为正三角形，故，又，，故，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.21、（1）不是“M函数”；（2），；（3）.【解析】

由不满足，得不是“M函数”，可得函数的周期，，当时，当时，