大题创新题完整版炼-04-概率统计-冲刺2024高考数学（解析试卷）

大题创新题精炼04概率统计冲刺2024高考数学【突破新题型】（解析试卷）1．【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”，则；（2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布为：所以；（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，由（2）可知，，若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，则，则，因为，所以，，所以，即，所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．2．【详解】（1）设甲选择方式一参加比赛得分为，，，设甲得分不低于2分为事件A，则；（2）设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6，，，，，所以Y的分布列为：Y0246P所以；（3）甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，故甲获胜的可能性更大.3．【详解】（1）根据统计表，所有展区的企业数量为，其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为．所以所求概率为．（2）用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”，则．（3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为，“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为．易知所有可能的取值为0，1，2．所以，，．故的分布列为012则．4．【详解】（1）设小张答对的题数为，则.（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，由题意知，，，则，；（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，且，，设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，则，，，.5．【详解】（1）因为，易知，所以；又，因为5的指数，所以；（2）①若或，因为，所以；②若，且存在质数，使得或的质因数分解中包含，则的质因数分解中一定也包含，所以，③若，且不存在②中的，可设，其中均为质数，则，因为互质，所以互不相等，所以，综上可知（3）由于，所以可设，为偶数，的所有因数，除了1之外都是中的若干个数的乘积，从个质数中任选个数的乘积一共有种结果，所以，所以．6．【详解】（1）取个相同的球排成一行，这个球两两之间共有个空隙，用块相同的隔板插入这个空隙，每个空隙最多插一块隔板，则插入隔板的方法数为，这块相同的隔板将个球分成组，从左到右各组的球数依次记为，则为正整数，且，故元一次方程的正整数解的个数为.（2）令，则是方程的正整数解，由（1）知，方程的正整数解个数为，即方程的非负整数解个数为，同理可得，方程的非负整数解个数为，故元一次方程组的非负整数解的个数为.（3）先证明：成立，设，（*）令得，将（*）两边求导得，（**）令得，将（**）式两边求导得，（***）令得，将（***）式两边求导得

，令得，依次类推可得，所以成立，所以，，所以，而，所以.7．【详解】（1）法1：记甲地小白鼠样本X值的平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本X值的平均数为，方差为，则，，，，所以．,法2：记甲地小白鼠样本的X值为x1，x2，…，x120，平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本的X值为y1，y2，…，y90，平均数为，方差为．因为，，，．所以．由，，可得．同理，于是．（2）法1：因为，所以．从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K～B（N，0.68），．当N<102时，P（K=102）=0；当N≥102时，．记，则．由等价于N101<0.32（N+1），当且仅当，知当103≤N≤148时，α（N）<α（N+1）；当N=149时，α（N）=α（N+1）；当N>149时，α（N）>α（N+1）；故N=149或N=150时，α（N）最大，所以N的估计值为149或150．法2：因为，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μσ≤X≤μσ）≈0.68．从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K～B（N，0.68），．当N<102时，P（K=102）=0；当N≥102时，．若N=102，则．若N≥103，则化简得解得149≤N≤150．综上，N的估计值为149或150．（3）记n只小白鼠检测费用为Y元，当n只小白鼠全部产生抗体时，Y=n+9，当n只小白鼠不都产生抗体时，Y=11n+9，则P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=10.991n．因此．因为n≤50，所以．故，当且仅当n=10时取等号．于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10．8．【详解】（1）记，则，，，故；（2）①不满足，理由如下：假设满足，因为的每行恰有三个1，故中满足的的个数共有个，另一方面，从中任选两列共有种可能，且对任意两列，都恰有行使得这两列的数均为1，故中满足的的个数共有个，所以，当时，得，此方程无解，所以不满足；②由①可得，即，下面考虑满足，但的的个数：对中满足和3的行，每行恰有两组使且，所以满足，但的的个数为，设数列中有项为项为0，满足，但的的个数为，所以满足，但的的个数为，所以，所以．9．【详解】（1）记甲获胜为事件，甲抢到3道题为事件，甲抢到2道题为事件，甲抢到1道题为事件，甲抢到0道题为事件，则，，，，而，，，，所以.（2）①，，，所以；因为，由表中数据可知，所以，.②因为取值相互独立，所以，所以；令得，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；即当时取到最大值，从而.10．【详解】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，所以，，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为．由，且，得．当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．11．【详解】（1）记事件为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件为“监测区域实际上有珍稀动物活动”，（i）；（ii），则；（2），，由题意可得，即，令，，得，，故，，即，即，则，因为，所以，所以，故，即，所以，故.12．【详解】（1）由，，，得相关系数.（2）（ⅰ）依题意，，又，则，当时，把换成，则，两式相减，得，即，又，于是对任意都成立，从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，所以；（ⅱ）由定义知，，而，显然，于是，两式相减得，因此，当足够大时，，，则，可认为．所以该植物寿命期望的值是10.13．【详解】（1）解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为.（2）解：（ⅰ）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为，则，甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为，则，甲第3次答题得分80分，40分，20，10嗯分的概率分别为，则，当时，因为甲第次答题所得分数的数学期望为，所以第次答对题所得分数为，答错题所的分数为分，其概率为，所以，可猜想：.（ⅱ）由（i）知数列是以15为首项，5为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式，可得，当时，，当时，，所以实数的最小值为.14．【详解】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，所以.（2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”，可知，记，则，由题意可知：，当时，，即，整理得，可得，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，所以第天是甲管理停车场的概率为.（3）由题意可知：当时，，，可得，两式相减得：，且，可知，即，综上所述：对任意恒成立，可知；令的前n项和为，则或，可得，可知，又因为，则；综上所述：.15．【详解】（1）由题意知，．所以随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望为.（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有．变形为．又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以．所以数列的通项公式．（3）由（2）可得，则，所以．又因为，所以．综上，．16．【详解】（1）记“从第个盒子中取到红球”为事件，此时，，则；（2）因为，所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，此时，即，当时，，符合题意，综上，从第个盒子中取到红球的概率为；（3）证明：易知的所有可能取值为1，2，此时，，则的分布列为：12所以，由于，故．17．【详解】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或；（ⅰ）当时，，，当时，，，表格如下0123（ⅱ）由上表可知．当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大．所以；（2）由，则，令，即，故，即当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值，故，因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．18．【详解】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件.视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，则有，，，由对立事件的性质及事件独立性的定义得：，所以每个芯片智能检测不达标的概率为.（2）人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为（），因此令，得.当时，；当时，.则在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值点.（3）设芯片