北京市海淀区交大附中2023-2024学年高一下数学期末学业水平测试试题含解析

北京市海淀区交大附中2023-2024学年高一下数学期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A． B． C． D．2．中，，则（）A． B． C．或 D．3．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为A． B． C． D．4．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A． B． C． D．25．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．与a的值有关联6．设等比数列的公比，前项和为，则（）A． B． C． D．7．若直线kx+(1-k)y-3=0和直线(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，则k=()A．-3或-1 B．3或1 C．-3或1 D．-1或38．在直角坐标系中，已知点，则的面积为（）A． B．4 C． D．89．若，直线的倾斜角等于（）A． B． C． D．10．已知等差数列和的前项和分别为和，．若，则的取值集合为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，，，，则的面积是__________.12．已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______.13．计算：______．14．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．15．设的内角，，所对的边分别为，，.已知，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_____．16．在中，为上的一点，且，是的中点，过点的直线，是直线上的动点，，则_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，，求的值.18．已知，，其中，，且函数在处取得最大值.（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.19．设向量，，其中，，且．（1）求实数的值；（2）若，且，求的值．20．已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称．求的最小值21．如图，四棱锥中，底面，，，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）若，，，求四棱锥的体积；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.2、A【解析】

根据正弦定理，可得，然后根据大边对大角，可得结果..【详解】由，所以由，所以故，所以故选：A【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题.3、D【解析】

画出图象及直线，借助图象分析．【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是．故选D．【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．4、B【解析】

根据不等式组画出可行域，数形结合解决问题.【详解】不等式组确定的可行域如下图所示：因为可化简为与直线平行，且其在轴的截距与成正比关系，故当且仅当目标函数经过和的交点时，取得最小值，将点的坐标代入目标函数可得.故选：B.【点睛】本题考查常规线性规划问题，属基础题，注意数形结合即可.5、C【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为．考点：几何概型，圆的面积公式．6、C【解析】

利用等比数列的前n项和公式表示出,利用等比数列的通项公式表示出，计算即可得出答案。【详解】因为，所以故选C【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。7、C【解析】

直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线kx+(1-k)y-3=0和直线(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，所以k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0，解方程可得k=1或k=-3，故选C.【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）l1||l2⇔k18、B【解析】

求出直线AB的方程及点C到直线AB的距离d，再求出，代入即可得解.【详解】，即，点到直线的距离，，的面积为：.故选：B【点睛】本题考查直线的点斜式方程，点到直线的距离与两点之间的距离公式，属于基础题.9、A【解析】

根据以及可求出直线的倾斜角.【详解】，，且直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为.故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，要熟悉斜率与倾斜角之间的关系，还要根据倾斜角的取值范围来求解，考查计算能力，属于基础题.10、D【解析】

首先根据即可得出，再根据前n项的公式计算出即可。【详解】，选D.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：（1）通项公式的推广：

（2）若

为等差数列，

；（3）若是等差数列，公差为，

，则是公差

的等差数列；二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

计算，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.【详解】，过C作于D，则故答案为【点睛】本题考查了三角形面积计算，属于简单题.12、【解析】

时,,利用时,可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式.【详解】当时,,当时,=,又时,不适合,所以.【点睛】本题考查了由求,注意使用求时的条件是,所以求出后还要验证适不适合,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.13、【解析】

在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.14、【解析】

先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得.所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解析】

由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围【详解】根据余弦定理：代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为则：【点睛】本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题．16、【解析】

用表示出,由对应相等即可得出．【详解】因为，所以解得得．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法则，平面上任意不共线的一组向量可以作为一组基底．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），【解析】

（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意知，由正弦定理可得，因为，则，所以，即，又由，所以.（2）由（1）知和，，由余弦定理，即，即，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦、余弦定理，准确计算是解答的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18、（1）的最小值为1，，，（2）（3）原不等式的解集为【解析】

（1）先将化成正弦型，然后利用在处取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到，然后画出在区间上的图象，条件转化为的图象与直线有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．【详解】（1）因为，所以因为在处取得最大值.所以，即当时的最小值为1此时，（2）将的图像上的所有的点向右平移个单位得到的函数为，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数在区间上的图象为：方程有两个不相等的实数根等价于的图象与直线有两个交点所以，解得（3）设，因为点，且满足所以，所以因为点为函数图像上的一点所以即因为，所以所以所以所以原不等式的解集为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．19、（1）（2）【解析】

（1）利用向量模的坐标求法可得，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.（2）根据向量数量积的坐标表示以及两角差的余弦公式的逆应用可得，进而求出，根据同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】（1）由知所以．又因为，所以．因为，所以，所以．又因为，所以．（2）由（1）知．由，得，即．因为，所以，所以．所以，因此．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、两角差的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.20、(1)，，．（2）.【解析】

(1)根据诱导公式，二倍角公式，辅助角公式把化为的形式，再根据复合函数单调性求解；(2)先根据变换关系得到函数解析式，所得函数的图象关于轴对称，则时，.【详解】(1)当即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为.(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数为，若图象关