2023年辽宁省朝阳市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省朝阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.2023的相反数是（）

A.-2023B.2023D

c•一砺-藕

2.下列图形是中心对称图形的是（）

®B翎府)中

3.下列运算正确的是（）

A.5a2—4Q2=1B.a’+=。3C.(a3)2=a5D.a2-a3=a6

4.已知直线a〃b,将一块含30。角的直角三角板48c按如图所示的方式放置，其中乙1=30°,

乙4cB=90°,若41=45°,则42的度数为（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

5.学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6,

7,6,9,8,则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.6,6B.7,6C.6,7D.7,8

6.五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转

动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，

转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指

向绿色为三等奖（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转

盘）.转动转盘一次，获得一等奖的概率为（）

A.1

Jc-3

3

7.如图，四边形4BCD内接于O。，若NC=120。，。。的半径为3,

则命的长为（）

A.n

B.27r

C.37r

D.67r

8.如图，在平面直角坐标系中，已知点4（2,2）,8（4,1）,以原

点。为位似中心，相似比为2,把△048放大，则点4的对应点

力’的坐标是（）

A.(1,1)

B.(4,4)或(8,2)

(4,4)

D.(4,4)或(一4,-4)

9.若关于久的一元二次方程（k-l）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，贝丸的取值范围

是（）

A.fc>g且k*1B.k>gC.k2g且k羊1D.fc>1

10.甲乙两人骑自行车分别从4,B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行

到4地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行.两人之间的距离y（米）和骑

行的时间久（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a=450；②b=150；③

甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒.其中正确的结论有（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.中国汽车工业协会2023年4月11日发布统计数据显示：今年1至3月，我国新能源汽车累

计出口248000辆，显示出我国新能源汽车产业发展势头正劲.将数据248000用科学记数法表

示为.

12.因式分解：。.

13.某校在甲、乙、丙、丁四名同学中选中一人参加今年5月份举办的教育系统文艺展演独唱

大赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是88.5分，方差分别是si=1.5,s；=2.6,s3=1.7,

s1=2.8,则这四名同学独唱成绩最稳定的是

14.如图，点4是反比例函数y=*0,x>0）的图象上一点,

过点4作AB_Lx轴于点8,点P是y轴上任意一点，连接P4,PB.

若AABP的面积等于3,则k的值为.

15.己知关于％,y的方程组仁;二:竺/的解满足x—y=4,则a的值为

16.在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点M是边4。上一点（点

M不与点4,D重合），连接CM,将^CDM沿CM翻折得到^CNM,

连接AN,DN.当△力ND为等腰三角形时，DM的长为.

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题4.0分）

先化简，再求值：（合|+小之）+弓，其中％=3.

vx-2xz-4x+4yx-2

18.（本小题6.0分）

某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用4,B两种机器人来搬运化工原料.其中4型机

器人比B型机器人每小时多搬运30千克，4型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运

1000千克所用时间相等.

（1）求4B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；

（2）若每台4型，8型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进4,B两种机器人

共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进4型机器人多少台？

19.（本小题6.0分）

如图1,在中，求作菱形EFGH,使其面积等于。4BCD的面积的一半，且点E,F,G,

H分别在边4。，AB,BC,C。上.

小明的作法

①如图2,连接4C,BC相交于点0.

②过点0作直线分别交4B,于点凡H.

③过点0作/的垂线，分别交4。，BC于点E,G.

④连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH为所求作的菱形.

（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？

（2）四边形EFGH的面积等于。4BCD的面积的一半吗？请说明理由.

20.（本小题10.0分）

某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动

项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为4,B,C,D）.学

校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活

动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的

根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次一共抽样调查了名学生；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；

(4)学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”.用列表法或画树状

图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率.

21.(本小题6.0分)

如图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路，上由南向北行驶，在A处测得桥头

C在北偏东30。方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头。在北偏东45。方向上.己知大桥

长300米，求桥头C到公路1的距离.(结果保留根号)

22.(本小题8.0分)

如图，以44BC的边28为直径作O0,分别交AC,BC于点D,E,点尸在BC上，4CDF=4ABD.

(1)求证：。尸是。。的切线;

(2)若虎=施，tan/CDF=$6C=V^O-求。。的半径.

23.(本小题10.0分)

某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元

.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，

部分数据如下表所示：

销售单价%/元121314

每天销售数量y/件363432

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？

(3)设销售这种文具每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多

少元？

24.(本小题10.0分)

如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接E4将线段区4绕点E逆时针旋转，

使点4落在射线CB上的点F处，连接EC.

【问题引入】

(1)请你在图1或图2中证明EF=EC(选择一种情况即可)；

【探索发现】

(2)在(1)中你选择的图形上继续探索：延长尸E交直线CD于点M.将图形补充完整,猜想线段OM

和线段的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】

(3)如图3,48=3,延长AE至点N,使NE=AE,连接DM当△4DN的周长最小时，请你直

接写出线段DE的长.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=一：/+6；+(:与工轴分别交于点4(-2,0),B(4,0),

与y轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线Sx轴于点M(7n,0),交BC

于点N,连接CM,PB,PCzPCB的面积记为SrABCM的面积记为52,当Si=52时，求ni的

值；

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H,当^HMN与△BCM相似时，

请直接写出点Q的坐标.

备用图

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：2023的相反数是-2023.

故选：A.

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案.

本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义.

2.【答案】C

【解析】解：选项A、B、。的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形

重合，所以不是中心对称图形；

选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：C.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.【答案】B

【解析】解：4、5a2-4a2=a2,原计算错误，不符合题意；

B、a74-a4=«3,正确，符合题意；

C、但3)2=。6,原计算错误，不符合题意；

D、a2-a3=a5,原计算错误，不符合题意.

故选：B.

分别根据合并同类项的法则、同底数基的乘法及除法法则、塞的乘方与积的乘方法则对各选项进

行逐一分析即可.

本题考查的是合并同类项的法则、同底数幕的乘法及除法法则、累的乘方与积的乘方法则，熟知

以上知识是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解:如图,

■A

va//b,41=45。，

•••Z.AEF=zl=45°,

•••乙4=30°,Z/IFFMAABE的外角，

42=NAEF-5=15°.

故选：D.

由平行线的性质可得Z4EF=41=45°,再由三角形的外角性质即可求42.

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等.

5.【答案】C

【解析】解：投中次数6的人数最多，故众数是6；

共有数据5个，由小到大排序后第3个数是7,所以中位数是7.

故选：C.

根据众数和中位数的定义求解即可.

本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一

组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就

是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中

位数.

6.【答案】B

【解析】转盘共分成6等份，其中红色区域1份，即获得一等奖的区域是1份，

所以获得一等奖的概率是联

O

故选：B.

顾客购物108元，获得一次抽奖机会，根据概率公式计算获得一等奖的概率即可.

本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有?1种可能

的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件/包含其中的m种结果，那么事件4发生的概率为

P(4)=且0<P(A)<1.

7.【答案】B

【解析】解：♦・・”=120。，

/.Z.A=180°-ZC=60°,

:.(BOD=2/.A=120°,

:.的长为I?鬻心=2兀，

loll

故选:B.

根据圆周角定理和圆内内接四边形的性质以及弧长公式即可得到结论.

本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•••以原点。为位似中心，相似比为2,把△。力B放大，点A的坐标为(2,2),

.•.点4的对应点4的坐标为(2x2,2x2)或(2x(-2),2X(—2)),即(4,4)或(—4,一4),

故选：D.

根据位似变换的性质计算，得到答案.

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,

那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

9.【答案】A

【解析】解：•••关于x的一元二次方程(k-l)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，

竹一1片0

,,,u=22-4x(fc-1)x(-2)>0'

解得：且tri,

/的取值范围是/£>担丘1.

故选:A.

由二次项系数非零及根的判别式A>0,可得出关于上的一元一次不等式组，解之即可得出k的取

值范围.

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式4>0,找出

关于k的一元一次不等式组是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：由图可得，

甲的速度为：600+100=6(米/秒)，故③错误，不符合题意；

乙的速度为：600+60-6=4(米/秒)，

a=4x100=400,故①错误，不符合题意；

b=600+4=150,故②正确，符合题意；

设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，

两人相遇前：(600-50)=m(6+4),

解得m=55；

两人相遇后：(600+50)=m(6+4),

解得m=65；故④正确，符合题意；

故选：C.

根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计

算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和

相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

11.【答案】2.48x105

【解析】解：248000=2.48X105.

故答案为:2.48x105.

科学记数法的表示形式为axl()n的形式，其中1三|可＜10,n为整数.确定"的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，

n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10兀的形式，其中lW|a|＜10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

12.【答案】a(a+l)(a-l)

【解析】【分析】

此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取a,再利用平方差公式分解即可.【解答】

解：原式=a(a2—1)=a(a+l)(a—1),

故答案为矶a+l)(a—1).

13.【答案】甲

【解析】解：TS%=1.5,=2.6,S^.=1.7,S%=2.8,

•••s%<s3<s”s；,

；.在平均成绩相等的情况下，这四名同学独唱成绩最稳定的是甲.

故答案为：甲.

根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也

越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案.

此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大.

14.【答案】6

【解析】解：设反比例函数的解析式为

•••△40B的面积=△ABP的面积=3,△AOB的面积=；网，

；，网=3,

・•・k=±6；

又•.•反比例函数的图象的一支位于第二象限，

Afc<0.

••・k=-6.

故答案为：6.

由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积的面积=3,然后根据反比例函

数y中k的几何意义，知A/lOB的面积=忙|,从而确定k的值，求出反比例函数的解析式.

本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y=：中k的几何意义.这里体现

了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.

15.【答案】2

■—・M(2%+y=2a+1①

【解析】解：J"三、

1%+2y=Q-1②

①一②得：x-y=a+2,

又••・关于X,y的方程组《丁；二:：4，的解满足X一y=4，

・•・Q+2=4,

••CL—,2,•

故答案为：2.

利用方程①—方程②，可得出x-y=a+2,结合x—y=4,可得出a+2=4,解之即可得出a

的值.

本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足x-y=4,找

出关于a的一元一次方程是解题的关键.

16.【答案】黑考

34

【解析】解：；・四边形4BCD为矩形，AB=5,BC=6,

CD=AB=5,AD=BC=6,/.ADC=90°,

设。N与CM交于点7,

由翻折的性质得：DT=NT,DM=NM,CM1DN,LCNM=CDM=90°,

・・・△AND为等腰三角形，

•・•有以下两种情况：

①当AN=DN时，过点N作1AD^H,则4H=DH=3,如图：

设OM=x,DT=y,则NM=x,NT=y,

•••DN=AN=2y,MH=DH-DM=3-x,

在RtaANH中，AN=2y,AH=3,

由勾股定理得：HN2=AN2-AH2=4y2-9,

^.RtMH=3-x,NM=x,

由勾股定理得：HN2=MN2-MH2=x2-(3-x)2=6x-9,

...4y2-9=6x—9,

即：y2=|x>

^.Rt^CGM^,CD=5,DM=x,

由勾股定理得：CM2=CD2+DM2=25+x2,

11

■■ShCNM=^CD-DM=^CM-DT,

・•・CD-DM=CM-DT,

即：5x=CM-yf

・•・25/=CM2-y2,

即：25/=(25+%2)-y2,

将y2=1%代入上式得：25x2=(25+x2)•

•・,x=#0,

•••25x=(25+x2)-I，

整理得：3/-50x+75=0,

解得：/=|,g=15(不合题意，舍去)，

•••DM的长为|.

②当DN=AD时，则DN=6,如图：

•••DT=TN=3,

设DM=x,MT=y,

在RMC"中，CD=5,DT=3,

由勾股定理得：CT=VCD2-DT2=4,

CM=CT+MT=4+x,

在RtAOTM中，DT=3,MT=y,DM=x,

由勾股定理得：OM2=D72+MT2,

即：x2=y2+9.

•・・SACNM=3CD.DM=3CM.DT,

ACD・DM=CM•DT,

即：5%=3(4+y),

整理得：y=|x-4,

将y=|x-4代入/=y2+9,得：%2=(|x—4)2+9>

整理得：16%2-120x4-225=0,

即：(4%-15产=0,

・•.x=竺.

4

•••DM的长为学.

综上所述：DM的长为|或学

由矩形的性质得CD=4B=5,AD=BC=6,N4DC=90。，设DN与CM交于点T,由翻折的性质

得DT=NT,DM=NM,CM1DN,Z.CNM=CDM=90°,分两种情况讨论如下：

①当AN=DN时,过点N作N"J.4。于“，贝必H=OH=3,设。M=x,DT=y,则NM=x,

NT=y,DN=AN=2y,MH=3-x,由勾股定理得HN?=AN?-AH?=进而

得4y2-9=/一(3一吟2,整理得y2=：x,而CM?=25+/,再由又^=g•

DTW25x2=CM2-y2,将CM?=25+/,y2=|刀代入上式可解出刀,进而可得0M的长；

②当DN=4D时，则DN=6,DT=TN=3,设DM=x,MT=y,由勾股定理求出CT=4,则

CM=4+x,在RtADTM中，由勾股定理得/=y2+%再由“CNW=；。。•。”=•。7得

y=|x-4,然后将y=|x-4代入久2=y2+9之中解出x即可得DM的长.

此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，勾股定理等，熟练掌握矩

形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，

及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点.

17.【答案】解：原式=[/++蒿/芸

x—4x—2

一(x-2)2*x-4

1

=='

当％=3时，原式=—^―=1.

5—L

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把X的值代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

18.【答案】解：(1)设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则4型机器人每小时搬运(x+30)千

克化工原料，

根据题意得：瑞=蜉

解得：%=60,

经检验，％=60是所列方程的解，且符合题意,

x4-30=604-30=90.

答：4型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；

(2)设购进m台4型机器人，则购进(12-6)台8型机器人，

根据题意得：5m+3(12-m)<45,

解得：m<|,

又•:m为正整数，

•1.m的最大值为4.

答：最多可购进4型机器人4台.

【解析】(1)设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则4型机器人每小时搬运(x+30)千克化工

原料•，利用工作时间=工作总量+工作效率，结合4型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人

搬运1000千克所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B型机器人每小时

搬运化工原料的质量，再将其代入(x4-30)中，即可求出4型机器人每小时搬运化工原料的质量;

(2)设购进nt台4型机器人，则购进(12-zn)台B型机器人，利用总价=单价x数量，结合总价不超

过45万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出山的取值范围，再取其中的最大整数值，

即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确

列出分式方程：(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

19.【答案】解：(1)小明所作的四边形EFGH是菱形.

理由如下：

•••四边形4BC0为平行四边形，

•••OA=OC,AB//CD,

/.OAF=ZOCW,

在AA。尸和△COHdp,

^OAF=Z.OCH

OA=OC,

Z-AOF=Z.COH

:・XAOFdCOHG4sA),

:.OF=OH,

同理可得OE=OG,

・・.四边形EFGH是平行四边形，

•・•EG1FH,

・•・四边形EFG”是菱形；

(2)四边形EFG〃的面积等于MB。。的面积的一半.

理由如下：

vFH//AD,AB//CD,

，四边形力F”D为平行四边形，

FH=ADf

:菱形EFGH的面积=*，•EG,平行四边形4BC。的面积=ADEG,

二菱形EFGH的面积=平行四边形ABCD的面积的一半.

【解析】(1)先根据平行四边形的性质得到04=OC,AB//CD,则N04F=乙OCH,再证明△40尸三4

COH得到。尸=0H,同理可得0E=0G,于是可判断四边形EFGH是平行四边形，然后利用EG1FH

可判断四边形EFGH是菱形；

(2)先证明四边形4FHD为平行四边形得到FH=AD,再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积

公式得到菱形EFGH的面积=平行四边形ABCD的面积的一半.

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判

定与性质.

20.【答案】50

【解析】解：(1)12+24%=50(人)，

所以本次一共抽样调查了50名学生；

故答案为：50；

(2"组人数为50-18-5-12=15(人),

条形统计图补充为：

所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人;

(4)画树状图为：

开始

共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2,

所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率=京=3

1Zo

(1)用。组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

(2)先计算出B组的人数，然后补全条形统计图；

(3)用600乘以样本中C组人数所占的百分比即可；

(4)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数，然

后利用概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符

合事件4或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件4或事件8的概率.也考查了统计图.

21.【答案】解：如图.延长。C交直线I于H,

设CH=x米，根据题意得，^DHA=90°,

在RtUHC中，44=30°,tan30°=

AH

AH=A/-3xX>

"AB=500米，

•••HB=(Cx-500)米，

在RtABHD中，^HBD=45°,

・•.HB=HD,

•・・”1)=(%+300)米，

・•・\T3X-500=x+300»

解得％=400(一耳+1)米，

答：桥头C到公路1的距离为400(C+1)米.

【解析】延长DC交直线/于H,设CH=x米，根据题意得，^DHA=90°,解直角三角形即可得到

结论.

本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

22.【答案】(1)证明：如图，连接。D,

•・・/3是0。的直径，

:.Z.ADB=90°,

・•・乙BDC=90°,

•・,乙BDF+乙CDF=90。,

vOB=OD,

:.Z-OBD=Z.ODB,

vZ-CDF=乙ABD,

・••Z.ODB=乙CDF,

:.乙ODB+乙BDF=90°,

・・・/,ODF=90°,

:.DF1OD,

v0。是。。的半径，

・•.DF是。。的切线；

(2)解：如图，连接AE,

vO=DF♦

・•・Z.BAE=Z.CAE,

•・,AB是。。的直径，

・•・^LAEB=90°,

・・・Z,AEC=90°,

：•Z.AEB=Z-AEC,

vAE=AE,

三△AEC(ASA),

:.AB=AC,

4

vtanzCDF=匕CDF=乙ABD,

4

:.tanZ.ABD=

在RtAABD中，黑=%

DUO

设/。=4%,则8D=3%,

・•・AB=J(4%。+(3%)2=5x»

AC—5x9

CD=%,

在RM8DC中，BD2-VCD2=BC2,

(3x)2+x2=(<10)2>

**,5x=5,

:.AB=5,

OA=I，

.•・o。的半径为去

【解析】(1)连接。D，根据圆周角定理证明NODF=90。，即可解决问题；

(2)连接4E,证明AAEB三△AECQ4s4),可得4B=AC,然后利用锐角三角函数得tan/ABD=$

所以黑=%设4D=4x,则BD=3x,利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题.

DL)O

本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关

键是学会添加常用辅助线，得到AAEB三AAEC.

23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(kM0),由所给函数图象可知：

(36=12k+b

134=13k+b'

解得：仁=点

lb=60

故y与％的函数关系式为y=-2x+60；

(2)根据题意得：

(%-10)(-2%+60)=192,

解得：X]=18,x2-22

又；10SxS19,

•••x=18,

答：销售单价应为18元.

(3)w=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(%-20)2+200

"a=-2<0,

.•.抛物线开口向下，

对称轴为直线x=20,

.•,当10<x<19时，w随x的增大而增大，

.,.当x=19时，w有最大值，山笈大=198.

答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元.

【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k于0),然后用待定系数法求函数解析式；

(2)依据利润=单件利润x销售量列出方程，解答即可；

(3)根据利润=单件利润x销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出

函数最值.

本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润x销售量列出函数解析式.

24.【答案】(1)证明：选择图1,

•••四边形4BC。是正方形，

BA=BC,4ABE=4CBE=45°,

vBE=BE,

三△BECg/lS),

EA=EC,

由旋转得：EA=EF,

EF=EC.

选择图2,

•••四边形力BCD是正方形，

•••BA=BC,^ABE=Z.CBE=45°,

vBE=BE,

:心BEANABEC(SAS),

：■EA—EC,

由旋转得：EA=EF,

・•・EF=EC.

(2)解：猜想OM=8F.理由如下：

选择图1,过点尸作交BD于点H,

•・•四边形/BCD是正方形，

・・・乙BCD=90°,

・・・乙HFB=乙BCD,

・•.FH//CD,

:.乙HFE=4M,

•・・EF=EC,

:.Z.EFC=Z.ECF,

•・・乙FCD=90°,

:.2-EFC+ZM=90°,Z-ECD+Z-ECF=90°,

.・.z.M=4ECM,

・・・EC=EM,

・・・EF=EM,

•・•Z.HEF=乙DEM,

••.△HEF三ADEM(ASA),

・・・DM=FHf

•・・乙HBF=45°,BFH=90°,

・•・Z,BHF=45°,

・•.BF=FH,

・・・DM=BF.

若选择图2,过点F作交DB的延长线于点儿

冏2

贝此，尸B=90°,

•・•四边形ABC。是正方形，

・•・乙BCD=90°,

・•・Z,HFB=乙BCD,

・・・FH//CD,

・・・Z.H=乙EDM,

•・•EF=EC,

・•・Z-EFC=乙ECF,

•・・Z,EFC+乙FMC=90°,乙ECF+乙ECM=90°,

・・・乙FMC=4ECM,

EC=EM,

・•・EF=EM,

•・•乙HEF=乙DEM,

・•.△HEF=^DEM(ASA)9

・•・FH=DM,

v乙DBC=45°,

:.乙FBH=45°,

・・・Z.H=45°,

・•・BF=FH,

:.DM=BF.

(3)解：如图3,取4。的中点G,连接EG,

G

N

图3

•：NE=AE,

.•.点E是AN的中点,

•••EG=：DN,

4DN的周长=AD+DN+AN3+2Q4E+EG),

.•.当A4DN的周长最小时，AE+EG最小，此时，C、E、G三点共线，如图4,

•••四边形力BCD是正方形，

AB=AD=BC=3,AD//BC,Z.BAD=90°,

在RtUBD中，BD=37~2,

•••点G是40的中点，

,_1.3DG1

"DnzG=2ADn=21BC=2'

■■AD//BC,

DEG~bBEC»

,DE,—，DG，，—_1

••BE~BC~2

・•・BE=2DE,

•••BE+DE=BD=3。，

•••2DE+DE=即3CE=3「，

DE—V-2.

【解析】(1)选择图l,根据正方形性质可得：BA=BC,/.ABE=乙CBE=45°,进而证得4BEA^^

BECCAS),结合旋转的性质即可证得结论；选择图2,同理可证得结论；

(2)猜想OM=BF,选择图1,过点F作FH_LBC交BD于点则NHFB=90。，利用正方形的性质

即可证得△HEF三△DEM(ASA),再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图2,同理可证得结

论；

(3)取4?的中点G,连接EG,根据三角形中位线定理可得EG=\DN,由4ADN的周长=AD+DN+

4N=3+2Q4E+EG),可得当△ADN的周长最小时;AE+EG最小，此时，C、E、G三点共线,

利用勾股定理可得BD=3C，再证得△DEGfBEC,可得靠=器=4,即BE=2DE,利用BE+

DCDCL

DE=BD,即可求得答案.

本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线

定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似

三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键.

25.【答案】解：(1)把4(一2,0),B(4,0)代入丫=一^/+'+(:得：

(—2—2b+c=0

t—8+4b+c=O'

解得£二:’

.•・抛物线的解析式为y=-1X2+X+4；

(2)在y=—^/+x+4中，令x=0得y=4,

••"(0,4),

由8(4,0),C(0,4)可得直线BC解析式为y=-x+4,

•・•直线11%轴，M(m,0),

・•・P(m,—1m2+m4-4),N(m,—m+4),

11

PN=——+4-(—zn,+4)=——TTI2+2m.,

11i

22

・•・Si=-PN•\xB—xc\=-x(--?n+2m)x4=-m+4m,

•・•8(4,0),C(0,4),M(jnt0),

•••S?=-\yc\=|x(4—m)x4=8—2m,

,*>S]=S2>

・•・—m2+4m=8—2m,

解得m=2或m=4(P与B重合，舍去)，

・・・6的值为