第四章 冲量和动量

1第4章冲量和动量空气动力学家、火箭专家钱学森2第4章冲量和动量

4.1

质点动量定理

4.2

质点系动量定理

4.3

质点系动量守恒定律

4.4

质心质心运动定理

4.5

角动量角动量守恒定律34.1质点动量定理一、动量和冲量由牛顿第二定律：积分,得41.动量2.冲量描述质点运动状态的物理量。描述力对时间累积作用的物理量。5在给定时间间隔内,质点所受合外力的冲量,等于质点在此时间内动量的增量。②二、质点的动量定理①为状态量;为过程量,方向沿的方向。为质点所受到的合外力。讨论6某方向受到冲量，该方向上动量就增加。微分形式积分形式分量表示7例1

质量m=1kg的质点M，从O点开始沿半径R=2m的圆周运动，如图。以O点为自然坐标原点，已知M的运动学方程为s=0.5πt2m。求从t1=21/2s

到t2=2s

这段时间内作用于质点M的合力的冲量。解以M为研究对象质点的速度8质点在Ａ点的动量大小质点在Ｂ点的动量大小根据动量定理由图(b)可知9冲量的方向10例2质量为m

的匀质链条,全长为L,开始时,下端与地面的距离为h。解dl

在落地时的速度LhmllNN′G求当链条自由下落在地面上的长度为l

时，地面所受链条的作用力？11LhmllNN′G根据动量定理地面受力12例3一篮球质量0.58kg,从2.0m高度下落,到达地面后,以同样速率反弹,接触时间仅0.019s。解篮球到达地面的速率对地平均冲力tF(max)F0.019sO相当于40kg

重物所受重力!求对地平均冲力?13外力：系统外对质点的作用力。内力：系统内质点间的相互作用力。质点系4.2质点系动量定理两个质点14而n

个质点组成的系统

由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。15微分形式积分形式

作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。——质点系的动量定理。162.定理仅适应于惯性系。1.力对时间的累积,等于动量的改变量。1.区分外力和内力。2.内力仅能改变系统内某个物体的动量,但不能改变系统的总动量。讨论注意17外力和内力18动量定理常应用于碰撞问题

越小,则越大。当一定时，注意：19例2一子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，已知两木块的质量分别为m1、m2

，子弹穿过两木块的时间各为

t1

、

t2，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F。解子弹穿过第一木块时,两木块速度相同,均为v1

求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动？20子弹穿过第二木块后,第二木块速度变为v2解得21例3一钢球m=0.05kg,v=10m/s,以与钢板法线呈45º的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回。设球与钢板的碰撞时间为△t

=0.05s

。求：在此碰撞时间内钢板所受的平均冲力。解：作用时间△t

很短,可以忽略重力的影响。钢板对球的平均冲力球对钢板的平均冲力xyo(((内力远大于外力)22对钢球：分量式xyo((23钢球所受的平均冲力为钢板所受的平均冲力，方向沿x轴负向。xyo((244.3质点系动量守恒定律一、动量守恒定律由质点系的动量定理：

一个质点系所受的合外力为零时，这个系统的总动量将保持不变。即得25在直角坐标系中的分量表示：1.系统总动量守恒，但每个质点的动量可能变化。2.在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中,相互作用的内力远大于外力,故往往可忽略外力。讨论263.动量守恒可在某一方向上成立。4.定律中的速度应是对同一惯性系的速度,动量和应是同一时刻的动量之和。6.动量守恒定律在微观高速范围仍适用。5.动量守恒定律只适用于惯性系。1、碰撞的定义

definitionofcollision

质点、质点系或刚体之间，通过极短时间的相互作用而使运动状态发生显著变化的过程——碰撞(collision)。（人从车上跳下，子弹打入墙壁等都属于碰撞）2、碰撞过程的特点

characteristicofcollision

(1)作用时间极短(2)作用力变化极快

(3)作用力峰值极大(4)过程中物体会产生形变

(5)可认为仅有内力的作用，故系统遵守动量守恒定律。3、碰撞定律

lawofcollision补充：碰撞collisione称恢复系数（决定于材料性质）碰前碰后碰时(3)非完全弹性碰撞non-perfectlyelasticcollision

当0＜e＜1时，

此时说明碰撞后形变能完全恢复，没有机械能的损失(碰撞前后机械能守恒)。elasticcollision,perfectlyelasticcollision(2)完全非弹性碰撞当e＝0时，perfectlyinelasticcollision

此时，物体碰撞后以同一速度运动，不再分开，这就是说物体碰撞后已经完全不能恢复形变。4、碰撞的分类

classcollisions(1)弹性碰撞当e＝1时，此时，碰撞后形变不能完全恢复，一部分机械能将被转变为其他形式的能量(如热能）。讨论：力的大小与接近速度成正比，与接触时间成反比，还与物体的质量和材料有关。5、碰撞中的力

(以两物体碰撞为例）（1）动量守恒：（2）碰撞定律：（3）非完全弹性碰撞：(3)（4）由动量定理(对m2)将(3)代入(4)

6、碰撞中能量的损失碰撞前后机械能的损失为：将前面式(3)代入式(6)便得：讨论：(1)对于完全弹性碰撞（e=1),无能量损失。利用：(2)打铁、打桩等

则：(3)损失的机械能，通常变为热能或形变能。

一质量为M的平板与一端固定的弹簧相连，可在水平面上运动，开始时M静止在弹簧原长位置，一质量为m的小球以初速度沿入射角方向，在M中部与之发生弹性碰撞。设弹簧的劲度系数为k，忽略所有的摩擦作用，求碰撞后小球的速度和平板前进的最大距离。/\/\/\/\/\/\/\/解:设与平板法线的夹角为碰后平板的速度为由于作用时间很短，可以忽略重力、支承力、弹性力的冲量，因而系统动量守恒其分量式分别为弹性碰撞,机械能守恒联立求解⑴、⑵、⑶式可得在弹簧的压缩过程中，以平板、弹簧为系统机械能守恒由此可得⑴⑵⑶/\/\/\/\/\/\/\/33

在水平地面上静止放置一小车，车内底板上有一小球，车与小球质量均为m。现使小球以速度v对准车厢前壁运动，从而发生碰撞。设碰撞中恢复系数为e，忽略一切摩擦。求第一次碰撞后，小球和车的速度各为多少？vx解：以地面为参照系，取车和小球为研究对象。在水平方向，，系统所受的合外力为零，故水平方向动量守恒⑴⑵由于0＜e＜1,＞34

如图所示，一轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。今有一质量为m的子弹以速度射入物块A，求此后弹簧的最大压缩长度。/\/\/\/\/\/\mAB解：由于子弹射入A所需时间甚短，当二者具有共同速度时，弹簧未变形，B未起动。M与A系统水平动量守恒m、A、B和弹簧系统机械能守恒，动量守恒此后弹簧被压缩而B开始运动，当B与A同速时，弹簧将达到最大压缩长度联立以上三式求解得

两个自由质点，其质量分别为和，它们之间的相互作用符合万有引力定律,开始时，两质点的距离为L，它们处于静止状态。试求当它们的距离变为L/2时，两质点的速度各是多少?解：动量守恒能量守恒

质量为和的两个小孩在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方，开始时静止，相距为L。问他们将在何处相遇？解：取、、绳为一系统水平方向不受力，此方向动量守恒xo相遇时方法二:由⑴式得⑴积分可求得上式解：设碰撞后两球速度由动量守恒两边平方由机械能守恒（势能无变化）两球速度总互相垂直例题：在一平面上,两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。比较以上两式求两物到达最高处的张角例题3-11由式(1)、(2)、(3)消去解：分三个过程：（1）小球自A下落到B，机械能守恒：（2）小球与蹄状物碰撞过程，动量守恒：（3）小球与蹄状物开始运动到最高处，机械能守恒：可求得：39例1

一长为l=4m,质量为M=150kg的船，静止浮在湖面上。今有一质量m=50kg的人，从船头走到船尾,如图所示。求人和船相对于湖岸各移动的距离，设水对船的阻力忽略不计。解选人和船组成的系统为研究对象，水平方向动量守恒上式两边同乘，并积分40

用S和s分别表示船和人相对于湖岸移动的距离，则有由图知41例3一火箭以v=2.5×103m/s的速率相对地面沿水平方向飞行时分离成两部分，前部是质量为100kg

的仪器舱，后部是质量为200kg的燃料容器,若前部相对后部的水平速率为1000m/s。oSyzm1m2求:他们相对地面的速度。42燃料容器m2为运动参考系

设为火箭分离前相对S的速度，和为分离后仪器舱

m1和燃料容器m2相对S的速度，为分离后m1

相对于

m2（

）的速度。取地面为固定参考系S(Oxyz)解oSyzm1m243火箭分离前后只受重力,水平方向动量守恒。对同一惯性系S，有由伽利略速度变换：同在水平方向上,故上式为：44解上两式,得：代入数据有：同理，得45例4在恒星系中,两个质量分别为m

1

和m2

的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为r

时，它们之间的相对速率为多少？46解由动量守恒和机械能守恒解得相对速率47例5如图示,两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动,B的速度为u,从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻t

时，A车的质量为M，速度为v

。ABuvA求时刻t,A

的瞬时加速度。48解选A车M和

t时间内抽至A车的水

m为研究系统，水平方向上动量守恒ABuvA§3.4质点的角动量角动量守恒定律

angularmomentum,lawofconservationofangularmomentum

力的作用效果，不仅与力的大小magnitude有关、还与力的方向direction和力的作用点actingpoint有关。力矩是全面考虑这三要素的一个重要的概念。ao一、质点角动量(angularmomentum)的定义1、力矩定义torque方向：由右手定则大小：角动量与参考点O的选择有关，同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的。

定义：任取一点o,建立坐标系oxyz，设质点A的质量为m，速度为，矢径为，则质点A对o点的角动量为：2、角动量angularmomentum

（momentofmomentum）方向：由右手螺旋定则确定，righthandscrewrule大小：二、质点角动量定理

angularmomentumtheorem1、推导过程：由牛顿第二定律得:两边叉乘将角动量定义式对时间求导数。即：

质点（转动物体）所受合外力矩torque的冲量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量。2、角动量定理angularmomentumtheorem

质点对某点的角动量对时间的变化率等于质点所受到的合力对同一点的力矩。3、另一种表述：将变形为式中称为外力矩的冲量矩

impulsetorque(角冲量angularimpulse）

若质点所受外力矩对某给定点o的力矩为零，则质点对o的角动量保持不变。

(具有普遍意义，对m变的也适用）三、质点角动量守恒定律lawofconser