2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)4

4.4求和方法（精讲）（基础版）

负轲豕成偶数个啊财相乘

［裂项后通分过程的总结，除了（-1）”把分母的"，变成"+"）

分式.、IZ

分子［常数二>可裂项

a=------------------------=<

通分母大因式-分母小因式［非常数=>不可裂项

项

特

征

形如r==t_广=;（而工-6）利用平方差进行有理化

根式Vn+k+Vnk

11

通项原式=a（）二通项裂项

分母小因式分母大因式

前n项和=a[()+()+()+...+()]=相消后化简

裂解题思路

项.n分别代入通项原式的括号中：

相

消

1

)

一次

函数n(n+k)

(2〃y11a都是

二次=1+—()

(2〃—1)(2〃+1)22n-l2n+l通过上

函数面公式

常计算得

见

n

模到

指数kc11

型

函数(c^'+bX^+b)=3cn+b-c叫b

nn

(_nnpn二af(-l)+(-l),

(~l)n(kn+b)(kn-b)kn-bkn+b

乘法

等差数列X等比数列（即一次函数X指数型函数）

（-通项特征

等差数列（一次函数）

等比数列'即指数型函数’

So=+++-.+①

nnnn

n=ln=2n=3n=n

代人通项公式，等差数列当等比数列的系数

错

qS=+++.„+②

位o

相解题思路A在①的基础上左右同时氽q,即在①式中指数加1

减

①②得

法

（1q）S„=[®fW^¥+k（指数函数相加）-|②的最后一阂

T①中的第一阕+收等比求和公式）-②的最后一阑

=化简

两边同时除以（Vq）即得Sn

k为指数函数指数相同前面系数差

（1）两式相减时最后一项因为没有对应顶而忘记变号.

注意（2）对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n-1项和当作n项和.

事项（3）在应用错位相够法求和时，若等比数列的公比为参数，

应分公比q=l和q#l两种情况求解.

整式an=bn±Cn即两类数列相加减

------[bn为奇数

通项特征■a=<

八0nc„n为偶数

Sn=g+c2+c,+...+cn)±(b[+b2+b3+...+bn)

分nn

组

求根据a”、b“通项的特征选择求和的方法

和

b

S2n=(l+b3+b§+...+b2n_J±C+C4+Cfi+...+C2n)

nn

根据q、b”通项的特征选搽求和的方法

解

题

思如杲求得分类讨论，分奇数还是偶数项

Sn,n

路

当n为偶数

Sn=(b,+b3+b5+...+bB1)±(c2+c4+c6+...+cn)

ftft

根据c“、,通项的特征选择求和的方法，注意各自项数为巳

分段

当n为奇数

士

S0=(b]+b3+“+...+，)C+c,+c6+...+*)

ftn

根据、通项的特征选择求和的方法，

bn5

下标为奇数的项数为叱L下标为偶数的项数为上士

22

分立呈血

考点一裂顶相消考点三分组求和

求和方法

考点二错位相减CHHJ考点四倒序相加

例题制衍

考点一裂项相消

【例1】(2022•河南)已知正项数列｛q｝的前〃项和为S“，且千-(“2+”-2此-2(〃2+")=0.

(1)求％的值和数列｛4｝的通项公式；

(2)设。=」一,求数列｛%｝的前〃项和

anan+2

【一隅三反】

1.(2022•河北保定•一模)已知数列｛4｝的前“项和为5"，且5“==3.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

4

⑵设b„=---------------------,求｛"｝的前〃项和，.

log3a„-log3a„„"

2.(2022•江西鹰潭・一模)已知正项数列｛4｝的首项《=1,前”项和5"满足q=S+卮(〃*2).⑴求数

列｛%｝的通项公式；

(2)记数列」一的前〃项和为力,，若对任意的〃eN*,不等式47；-a恒成立，求实数。的取值范围.

【44+J

+

3.(2022・重庆)数列｛4“｝满足：＜?i+2a,+3a3-i----Fnan=2+(n-1)-2"',neN,.

⑴求数列｛叫的通项公式;

⑵设1为数列｛〃｝的前〃项和，若〈＜加-3恒成立，求实数机的取值范围.

考点二错位相减

【例2】(2022•陕西榆林•三模)已知数列｛%｝的前“项和为S”,且2s.=34-9.⑴求｛%｝的通项公式;

⑵若4=ajlog34+i，求数列也」的前“项和刀,.

【一隅三反】

1.(2022•河南)已知在数列｛q｝中，6=1,生=2,a“q=4a”(〃eN)

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)记％=(3〃-5应,求数列圾｝的前n项和I.

2.（2022•四川省内江市第六中学）已知数列｛q｝的前〃项和为5“，满足4=1,S",I=2S“+1.

（1）求证：数列｛%｝为等比数列并求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=（21og2an+\）an,求｛〃｝前"项和T”.

3.（2022•江西・上饶市第一中学二模）在等差数列｛%｝中，%=5,a5=3%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设々哮，求数歹IJ色｝的前〃项和S".

考点三分组求和

【例3-1］（2022.甘肃兰州）在①兴=:，②的是4和%的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面

问题中，并解答.

问题：已知公差d不为0的等差数列｛q｝的前〃项和为S“，“3=6.（1）,求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列2=2%,c„=a„+b„,求数列｛q,｝的前〃项和7,.

【例3-2］（2022•福建三明•模拟预测）设数列｛4｝的前〃项和为S“，2（S„-n+2）=a„+1,«2=10,b„=an-\.

⑴求证：他,｝是等比数列；

为奇数

（2）设c.=,］“为偶数，求数列上｝的前2〃+1项和耳…

log也•logs%?’

【一隅三反】

1.（2022•四川攀枝花）在①&=2%-2,②％+2是%,%的等差中项，③，=严|-2（"0）.这三个条件

中任选一个作为己知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.

已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为5“，4=2,且满足（只需填序号）.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；（2）设求数列包的前”项和刀,.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

2.（2022・重庆・二模）设5.为数列包｝的前“项和，己知%>0,｛+2《,=45.+3,eN*）.若数列出｝满足

4=2,勾=4,或।=%也+2（,WN*）.

⑴求数列｛为｝和他｝的通项公式;

—,(n-2k-\,keN'\

⑵设c“=S.，求数列｛g｝的前2〃项的和耳.

2,("=2%,keN*)

3.(2022•陕西宝鸡•三模)己知数列｛q｝中，4=4=1，且«„+2=«„+1+2a“.记b„=a„+l+a„.

⑴求证:数列｛2｝是等比数列;

（2）求数列也+2〃｝的前〃项和.

考点四倒序相加

【例4】（2021.全国•高三专题练习）已知函数〃x）=（x-iy+l,利用课本中推导等差数列的前〃项和的公

式的方法，可求得/（一5）+/（7）+…+/（0）+…+/（6）+〃7）（）.

25

A.25B.26C.13D.—

2

【一隅三反】

2

L（2022・全国•高三专题练习）已知/（%）=；~~若等比数列｛/｝满足0a2020=1，则

l+x1

f（ai）+f（a2）+,­,+f（a2020）=（）

A.迎^B.1010C.2019D.2020

2

2.（2022•全国•高三专题练习）设函数=利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前〃项和

的方法，求得了（一5）+/（7）+…+/（0）+…+〃4）+/（5）的值为（）

911

A.9B.11C.-D.—

22

3.（2021・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=（x+l）T,数列包｝是正项等比数列，且4ou=1,

/（4）+/（%）+/（《）+…+/（。2侬）+/（«2021）=-----------------

cosX

4.（2022•全国•高三专题练习）已知函数4x）=cos（30。-、），〃1°）+/（2°）+/（3°）+…+/（59。）=

4.4求和方法（精讲）（基础版）

负轲豕成偶数个啊财相乘

［裂项后通分过程的总结，除了（-1）”把分母的"，变成"+"）

分式.、IZ

分子［常数二>可裂项

a=------------------------=<

通分母大因式-分母小因式［非常数=>不可裂项

项

特

征

形如r==t_广=;（而工-6）利用平方差进行有理化

根式Vn+k+Vnk

11

通项原式=a（）二通项裂项

分母小因式分母大因式

前n项和=a[()+()+()+...+()]=相消后化简

裂解题思路

项.n分别代入通项原式的括号中：

相

消

1

)

一次

函数n(n+k)

(2〃y11a都是

二次=1+—()

(2〃—1)(2〃+1)22n-l2n+l通过上

函数面公式

常计算得

见

n

模到

指数kc11

型

函数(c^'+bX^+b)=3cn+b-c叫b

nn

(_nnpn二af(-l)+(-l),

(~l)n(kn+b)(kn-b)kn-bkn+b

乘法

等差数列X等比数列（即一次函数X指数型函数）

（-通项特征

等差数列（一次函数）

等比数列'即指数型函数’

So=+++-.+①

nnnn

n=ln=2n=3n=n

代人通项公式，等差数列当等比数列的系数

错

qS=+++.„+②

位o

相解题思路A在①的基础上左右同时氽q,即在①式中指数加1

减

①②得

法

（1q）S„=[®fW^¥+k（指数函数相加）-|②的最后一阂

T①中的第一阕+收等比求和公式）-②的最后一阑

=化简

两边同时除以（Vq）即得Sn

k为指数函数指数相同前面系数差

（1）两式相减时最后一项因为没有对应顶而忘记变号.

注意（2）对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n-1项和当作n项和.

事项（3）在应用错位相够法求和时，若等比数列的公比为参数，

应分公比q=l和q#l两种情况求解.

整式an=bn±Cn即两类数列相加减

------[bn为奇数

通项特征■a=<

八0nc„n为偶数

Sn=g+c2+c,+...+cn)±(b[+b2+b3+...+bn)

分nn

组

求根据a”、b“通项的特征选择求和的方法

和

b

S2n=(l+b3+b§+...+b2n_J±C+C4+Cfi+...+C2n)

nn

根据q、b”通项的特征选搽求和的方法

解

题

思如杲求得分类讨论，分奇数还是偶数项

Sn,n

路

当n为偶数

Sn=(b,+b3+b5+...+bB1)±(c2+c4+c6+...+cn)

ftft

根据c“、,通项的特征选择求和的方法，注意各自项数为巳

分段

当n为奇数

士

S0=(b]+b3+“+...+，)C+c,+c6+...+*)

ftn

根据、通项的特征选择求和的方法，

bn5

下标为奇数的项数为叱L下标为偶数的项数为上士

22

分立呈血

考点一裂顶相消考点三分组求和

求和方法

考点二错位相减CHHJ考点四倒序相加

例题剖衍

考点一裂项相消

22

【例1】（2022.河南）已知正项数列｛q｝的前〃项和为S.，fiS；-（M+»-2）5„-2（n+W）=O.

（1）求％的值和数列｛4｝的通项公式；

⑵设a=」一，求数列｛%｝的前〃项和像.

anan+2

,32〃+3

【答案】⑴4=2；%=2〃：⑵7>记一8（〃+1）（〃+2）-

2

【解析】⑴由氏-（〃2+"-2双-2（"2+〃）=。得：（5„+2）（5„-（n+n））=0;

••・｛a,J为正项数列，..・$“>0,.•.$“=1+〃；

当〃=1时'4=S[=2；

2

当〃22时，an=Sn-Sn_j=n+/2-(/2-iy-(«-1)=2n；

经检验：4=2满足%=2〃；:q=2n(neN*).

⑵由⑴得：/“寻短=丽君照-*)

111111111

~+-+-++-+-

2435*,^Tw+7n+2

1f,111A1f32〃+3'32"+3

8I2n+\n+2)8(2(n+l)(/;+2))16-8(/J+1)(M+2)

【一隅三反】

1.（2022•河北保定•一模）已知数列｛《,｝的前”项和为5“，且S”=1.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

4

⑵设b,=---------------------,求也｝的前"项和7；.

log?"Jl°g?4+1

4/?

【答案】（1）4=3"；（2）7；,=--.

n+\

0/1+1_o

【解析】（1）因为S“=故当〃=1时，4=3,

当〃22时，S,i=手，则a,=S,,—S,i=3"（〃N2）,当〃=1时，％=3满足上式，所以4=3”.

4

⑵由(1)得〃=

log3a„-log3a„+1

所以4=4+4+4+—+2=4*(1_2+3_(+~+4/2

〃+1

故数列他,｝的前〃项和(=*;.

2.(2022・江西鹰潭•一模)已知正项数列｛%｝的首项q=l,前”项和S“满足4,=疯+67(〃22).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记数列」一的前"项和为。，若对任意的"wN”，不等式47；</-q恒成立，求实数〃的取值范围.

〔44+1J

【答案】⑴a“=2〃-1；(2)。4-1或心2.

【解析】(1)当“22时，。,,=疯+卮，

—5,1=£+质，即疯_卮=1，又&=1，

所以数列｛四｝是首项为1,公差为1的等差数列，故底=”,

又由a”=d^+JSi=〃+〃-1=2〃-1(«>2),

当”=1时，4=1也适合，所以4=2〃-1.

⑵V(2M-1)(2/?+1)=T(2n-l-2/2+1)'

1111

—一—F…+

3352〃一12〃+1JLH

又•••对任意的〃eN*，不等式47；。恒成立，,

二2<a2-a,解得。4一1或aN2.即所求实数。的范围是。4一1或a上2.

,1

3.(2022・重庆)数列｛4“｝满足：«|+2a2+3a｝H--i-nan=2+(n-l)-2",nGN,.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设2=，r”为数列出｝的前〃项和'若(<苏-3恒成立'求实数m的取值范围•

【答案】(1)%=2",”eN*⑵m4-2或初22

w+I

【解析】(1)解：当〃22,%+2%+3/+L+nan=2+(n-l)-2，①4+2%+…+5—D*=2+(〃-2)•2",

/1>2,②

①一②得.〃/=〃・2"=%=2〃522)(*)

在①中令〃=1，得〃i=2,也满足（*）,所以々"=2",〃wN*,

T11

（2）解：由（1）知，b„

(2rt-l)(2w+1-l)-2n-l2,,+1-1'

于是，7；-刀，〈川-3

Z—1

因为1-不工随”的增大而增大，

2—1

所以加2_321，解得机4一2或

所以实数m的取值范围是-2或〃拒2.

考点二错位相减

【例2】（2022•陕西榆林•三模）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且2s“=3/-9.

(1)求伍,,｝的通项公式；

(2)若b„=《,•log?an+l,求数列｛“｝的前〃项和T..

【答案】(1)q=3"\(2)7；=2^x3"+2—日.

【解析】(D当"=1时，2sl=2q=3q-9,解得4=9.

当〃22时，2a„=2Sn-2S„_,=3q,-3al,整理得a„=3a„_,,

所以｛4｝是以9为首项，3为公比的等比数列，故a“=9x3"T=3叫

⑵由(1)知，《=(”+2)3川,则＜=3x32+4x33+…+(〃+2)3用①，

所以37；=3义33+4x3,+…+(”+2)3"2②，

34n+,,,+2,,+22

①-②得：-27；,=27+3+3+...+3-(n+2)3=27+^y^-(n+2)3=^-^lx3^,

故生2'3*2_2

44

【一隅三反】

1.(2022•河南)已知在数列｛%｝中，4=1,%=2,«n+2=4a„(«sN*).(1)求｛4｝的通项公式;

(2)记勿=(3n-5)a„,求数列｛=｝的前n项和，.

【答案】⑴4,=2"T（〃eN"）⑵T„=（3〃-8）•2"+8

【解析】（1）由题意，可知当〃=2M%eN"）时♦，a“=%=2-4i=22i,故q=2"，

当,=2々一l（keN*）时，〃,,=%1=1.4*」=2",故凡=2"1综上所述，4=2"T（〃eN*）.

⑵依题意，b„=（3”—5",,=（3”—5）2，

故7；=_2.2°+l・2i+4・22+…+（3〃一5）2一1,

27；,=-2-2|+1-22+4-23+---+（3«-5）-2",

1_

两式相减可得一（=一2.2°+3-21+3・22+--+3-2"-'-（3〃-5）.2"=3・^^一（3〃-5）.2"—5,

化简可得看=（3〃-8>2"+8.

2.（2022•四川省内江市第六中学）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足4=1,S„+I=2S„+1.

（1）求证：数列｛%｝为等比数列并求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=（21og2an+1）（7,,,求｛〃｝前"项和T”.

【答案】⑴证明见解析，。"=2"'（2）7；=3+（2〃-3）x2"

【解析】（1）：4=1，S,*I=2S“+1①，当〃N2时，S“=2S,i+l②，①减去②得%=2%,

S2=25.4-1,/.q+%=2a,+1=%=q+1=2,ci2~2%,=2,

an

可得数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列.\%=21-1.

（2）•.也=（21og2a„+l）a„,:.bn=（21og22"-'+1）2"-'=（2n-l）2"-',

7；=1x1+3x2+5x22+…+（2"-l"i①，27；,=lxl+3x22+5X23+---+（2/?-1）2"0

①减去②得，

.•.-7；=l+2x（2+22+---+2,,*|）-（2n-l）x2（,=l+2xilp^-J-（2n-l）x2n=-3+（3-2M）X2H

.•工=3+（2〃—3）x2".3.（2022•江西•上饶市第一中学二模）在等差数列｛叫中，生=5,%=3弓

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵设々暇，求数列他｝的前〃项和S,.

【答案】（1）a“=2〃-l（〃eN*,2）S,,=3-^^（〃eN*）

【解析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d，由%=5,%=3々,

得：［—；（­），解得:｛M数列｛叫的通项公式为：4,=2〃-1（小）

⑵由（1）知：勿=祟=蟹，

所以s“=*+'■+最■+…+三」•①

1c132«-32n-l

②

3sll=尹+炉+…+2"+卞

2222/2-1

①减去②得：gS"=g'+〔宁+宁+…H----

T)2,,+,

\_

2/?-1〃

I____122"1:32〃+3,所以5=3-2+3nwN*).

=+*导…+同-4--

72向=52向22"T

1--

2

考点三分组求和

【例3-1］（2022•甘肃兰州）②々是4和4的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面

问题中，并解答.

问题：己知公差d不为0的等差数列｛q｝的前〃项和为5“，4=6.

（1）,求数列｛4｝的通项公式;

（2）若数列b„=2%,c„=a„+b„,求数列｛c.｝的前n项和T„.

【答案】⑴答案见详解；（2）7；,=n2+n+|（4n-l）

（解析】（1）选①：山『Ss=""I；"，）=5a3，S9=9（"；%）=

所以次=熟=:，又4=6,所以%=1。，故d-%）=2所以4,=q+（〃-3）d=2〃；

选②：出是6和4的等比中项，则

所以（6-d）2=（%-2d）（%+d）,又6=6,解得d=2,d=0（舍去）

所以4=%+(〃—3)d=2〃；

(2也=2%=4",cn=an+bn=2n+4",则

T,=(2+4)+(2x2+42)+…+(2”+4")=2(1+2+…+〃)+(4+4?+…+下)

=/+〃+半9=〃2+〃+g（4"_l）【例3-2］（2022•福建三明•模拟预测）设数列｛q｝的前八项和为九

2（S,,-〃+2）=a,,+1,生=10,bn=a„-\.

⑴求证：他,｝是等比数列；

必,,,〃为奇数

（2）设c.=，］“为偶数，求数列仁｝的前2〃+1项和耳…

log也•log："；

32n+3-3n

【答案】（1）证明见解析⑵=---+77—

【解析】（1）证明：对任意的〃wN，,2s“=%"+2〃-4,

当〃=］时，则有2a1=02-2=8,解得q=4,

当“22时，由2s“=勺+|+2〃-4可得25,1=an+2n-6,

上述两个等式作差得2%=%+|-%+2,所以，%+|=3a“-2,则4用一1=3（4-1）,

所以，%=3b,且…-1=3,所以，数列｛4｝是等比数列，且首项和公比均为3.

3",〃为奇数

（2）解：由（1）可知打=3x3"T=3",所以，%"〃为偶数’

北,用=3'+」一+3?+」一+•••+—/——-+32n+l=(3+3-,+---+32n+')+11i

所以,2,1+1----------1----------+,,,+

2x44x62〃(2〃+2)1)2x44x62/?(2n+2)

3-32W+,X91111322-3n

----------------------1----------------1------------F•••H--------------r---------------------7--------r

1-94|_lx22x3+84(n+l)

【一隅三反】

1.（2022.四川攀枝花）在①$=2%-2,②4+2是%，4的等差中项，③S,,=严，-2（卷0）.这三个条件

中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.

已知正项等比数列｛q｝的前〃项和为S“，q=2,且满足（只需填序号）.

（1）求数列｛。“｝的通项公式;

（2）设4=b,“一「1求数列7+1的前几项和，.

°n

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

4w+,+-4

【答案】（1）4=2”；⑵4+;〃〜

【解析】（1）设正项等比数列｛q｝的公比为“国＞0，

选①，山$3=24-2,得4+4+/=2%-2,

二%一阻-6=2,又q=2,

二2q2-2q-4=0,

解得4=2或q=-l（舍去），

：.a„=2x2n-'=2"；

选②，《+2是电，%的等差中项，

a2+a4=2（a3+2）,又q=2,

Z.2q+2/=2（2才+2）,即（l+q?”=2（/+1）,

,q=2,%=2X2"T=2"；

选③，5“=产一2（70）,

当”=]时、«]=2=5,=r2-2,

.•./=2或1=-2（舍去），

S,,=2向-2,

当〃22时，《,=S„-S„_,=2'-'-2-（2"-2）=2",

故数列｛4｝的通项公式为4=2”；

（2）

=2",

£

（1V

二b„--=4"，

Ibn）

.•乐+白=4"+2,

bn

二7；=（邛+看）+（片+（+…+—+[）=（4i+2）+（42+2）+“.+（4"+2）

,4（l-4"）4n+l+6n-4

=4+4+...+4"+2n=--------+2«=---------------•

1-43

2.（2022・重庆・二模）设5“为数列｛%｝的前〃项和，已知%>（）,d+2a,,=4S“+3（〃eN）若数列出｝满足

々=2,a=4,b；+l=hnhn+2（neN'）.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式:

—,（n-2k-\,k&N'\

⑵设c,,=S''，求数列｛g｝的前2〃项的和Q.

b“,（n=2k,kwN"）

【答案】⑴％=2〃+l,2=2"⑵*“=」二+£子

-2〃+13

【解析1（1）由%>o,d+2a“=4S”+3①，得:

当,=1时，a；-2q-3=0,解得q=3或弓=一1（负值舍去），当〃22时，“3+2%T=45,1+3②,

①-②得：（4+%）（4-4T）=2（4,+%），

所以a“-a,i=2,所以数列｛q｝是以3为首项，2为公差的等差数列.

所以a“=2〃+l（“eN）

因为数列也｝满足4=2,b2=4,%=必.

所以数列｛4｝是等比数列，首项为2,公比为2.

所以2=2".

⑵因为4,=2〃+l（”eN'）,所以s“=业篝。=r+2〃=〃（〃+2）,

所以Q~'—1—■—1—■—I--->----------77-------r+22+24H-----F22"

"以2"1x33x55x7（2〃-1）（2"+1）

4（l-4n）%]+三

如一01-扑星卜…+身丁备）卜1-42（2n+1）1-42n+l3

3.（2022•陕西宝鸡♦三模）已知数列｛4｝中，4=%=1，且4+2=勺+|+2。,,.记d=—+凡

⑴求证：数列出｝是等比数列；

(2)求数歹K"+2〃｝的前〃项和.

【答案】(1)证明见解析；(2电=2川+/+〃-2.

【解析】

〃、..々+1_6+2+«„1

+_«„+1+2q,+«„+|_2(%+|+4,)_°

h„4+1+4”，，M+%4，M+%

且伪=q+%=2*0,.•.｛〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列；

(2)由⑴知,2=2",则2+2"=2"+2”，

令也+2〃｝的前"项和为S.，则$=2X(1-2")+〃(2+2〃)=

2"+'-2+n2+n=2"+,+n2+n-2-

11-22

考点四倒序相加

【例4】(2021•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(x-lY+l,利用课本中推导等差数列的前〃项和的公

式的方法，可求得〃-5)+/(y)+…+〃0)+…+/(6)+〃7)().

A.25B.26C.13D.—

2

【答案】C

【解析】•.•/W=(x-1)3+1,.•./(2-X)=[(2-%)-1]3+1=(1-X)3+1,即〃X)+/(2—X)=2,

设f=〃-5)+〃-4)+〃一3)+…+〃0)+…+〃6)+〃7),①

则f=〃7)+〃6)+〃5)+…+〃0)+…+〃Y)+/(-5),②

则①+②得:2r=/(-5)+〃7)+/(T)+/(6)+“・+f(7)+〃-5)=