2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）（a卷）

2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）（A卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）己知全集。=凡集合A={Rlog2r<l},B={X|X2-X>0},则ACB=（）

A.{x|l<x<2}B.{X|X<2}C.{X|1WX<2}D.{X|1WX<4}

2.（5分）已知复数z满足则2=（）

1+i

A.陛B.1Z31c.D.

2222

3.（5分）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在

内的通信行业整体的快速发展，进而对G。尸增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效

应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某

单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合右图，下列说法错误的

是（）

f5G纣济产出/亿兀

30000-

A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

4.（5分）（I+L）（I+2X）4展开式中/的系数为（）

X

A.10B.24C.32D.56

5.（5分）已知函数/（x）=〃e'+x+4若函数f（x）在（0,/（0））处的切线方程为y=2x+3,

贝ljah的值为（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）函数£々）=典也在［-n,ir］的图象大致为（）

x2+l

7.（5分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AD=2,BC=3,E是P。的中点，F

在PC上且pp=Apc，G在PB上且PG上PB，则（）

1jI3

A.AG=3EF,且AG与EF平行B.AG=3EF,且AG与EF相交

C.AG=2EF,且AG与EF异面D.AG=2EF,且AG与E尸平行

8.（5分）已知等差数列｛斯｝的前"项和为S”及=2,57=28,则数列（_I——）的前2020

anarrM

项和为（）

A2020B2018c2018D2021

,2021-2020-2019-2020

9.（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如

果它是偶数.则对它除以2,如此循环，最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个

程序框图.若输入〃的值为10.则输出i的值为（）

A.5B.6C.7D.8

10.（5分）设抛物线f=2py（p＞0）的焦点为F,准线为/.过抛物线上一点A作/的垂线,

垂足为8.设C（0,g）,AF与8c相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为加,

则p的值（）

A.&B,2C.76D.2&

11.（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边A8重合，其中一个三角板

沿斜边折起形成三棱锥A-sc。，如图所示，已知NDAB=?L，ZBAC=—＞三棱锥的

64

外接球的表面积为4m该三棱锥的体积的最大值为（）O

A.返B.返C.返D.返

362448

12.（5分）设函数/（x）=sin（3x+（p）,其中a）＞0,Q£吁，千］,已知/（X）在［0,

2n］上有且仅有4个零点，则下列3的值中满足条件的是（）

A.3=I'B.3="C.3=-D.3=—

6644

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）若Q1=3，r|=2，|之+2b则之与式的夹角为

s

14.（5分）记为等比数列｛坳｝的前〃项和，若数列｛S〃-2ai｝也为等比数列,则一41=

S3一

15.（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g,次品重110g,现有5袋产品

（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）.如果将5

袋产品以1〜5编号，第，■袋取出i个产品（/=1,2,3,4,5）,并将取出的产品一起用

秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y,若次品所在的袋子编号是2,此时的重量

y=g；若次品所在的袋子的编号是〃，此时的重量y=g.

16.（5分）已知点尸是双曲线乂2_番=1右支上一动点，F\,尸2是双曲线的左、右焦点，

____PF；PF'

动点。满足下列条件：①,-I-,）=0，

IPF1I|PF2I

pFpp

②而+X（-=4—-^=^—）=0，则点Q的轨迹方程为_______.

|PF1I|PF2I

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分.

17.（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且csin2B-bsin（4+B）

=0

（1）求角B的大小；

（2）设q=4,c=6,求sinC的值.

18.（12分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水

质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试

验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8,鱼苗乙、丙

的自然成活率均为0.9,且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.

（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X,求X的分布列

和数学期望；

（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买〃尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为

提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影

响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10

元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购

买多少尾乙种鱼苗？

19.（12分）如图，圆柱的轴截面ABC。是边长为2的正方形，点P是圆弧C。上的一动点

（不与C,。重合），点。是圆弧A8的中点，且点尸，。在平面ABC。的两侧.

（1）证明：平面以力_1_平面P8C；

（2）设点P在平面ABQ上的射影为点。，点E,F分别是△PQB和△POA的重心，当

三棱锥P-A8C体积最大时，回答下列问题.

（;）证明：所〃平面B4Q

（ii）求平面以B与平面PC。所成二面角的正弦值.

22

20.（12分）已知椭圆C：2-+^=l（a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1，放，P是椭圆上

一动点（与左、右顶点不重合），已知△PAF2的内切圆半径的最大值为返，桶圆的离

3

心率为上.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过放的直线/交椭圆C于A,B两点,过A作x轴的垂线交椭圆C于另一点。（Q

AB

不与A,3重合）.设aADQ的外心为G,求证11r为定值.

IGF2I

21.（12分）已知函数f（x）=2x+（l-2a）lnx巨

X

（1）讨论f（公的单调性；

（2）如果方程/（X）="有两个不相等的解XI,X2,且证明：f，（）1亍丝）〉0.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程1

'八2

22.（10分）在直角坐标系xO），中，曲线C的参数方程为｛X"2$（s为参数），以坐标原

,y=V2s

点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos6+2psin0+9

=0.

(1)求。和/的直角坐标方程；

(2)设P为曲线。上的动点，求点尸到直线/的距离的最小值.

［选修45：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(K)=\x+\\+\2x-4|.

(1)求不等式/(x)W6的解集；

(2)若函数y=/(龙)的图象最低点为(m,〃)，正数小。满足泌=6,求20的

ab

取值范围.

2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知全集"=凡集合A={x|log2x<l},8={x|，-x>0},则ACB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|x<2}C.{x|lWx<2}D.{x|lWx<4}

【分析】集合A与集合8的公共元素构成集合4nB.

【解答】解：由题意得A={x|log“<l}={x[0<x<2},8={川/-》>0}={小<0或

1}，

.•.An8={x[1cx<2}.

故选：A.

【点评】本题考查集合的交集及其求法，是基础题.解题时要认真审题，注意对数函数

性质的灵活运用.

2.（5分）已知复数z满足z二±，则2=（）

z1+i

A.返B.上竺C.ilkD.ill

2222

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:_2-i=(2-i)(l-i)_13.,

z=l+i(l+i)(l-i)"7^2r

故选：B.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

3.（5分）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在

内的通信行业整体的快速发展，进而对GQP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效

应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某

单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合右图，下列说法错误的

是（）

f5G"济产出/亿兀

30000-

25000，□运营商口信息服务商■设的洞玷商

20000-

15000-

10000*川川「

20202021202220232024202520262027202820292030年份

A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

【分析】本题结合图形即可得出结果.

【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,

而后期是信息服务商处于领先地位，故D项表达错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力.本题属基础题.

4.（5分）（12）（1+2乂）4展开式中，的系数为（）

X

A.10B.24C.32D.56

【分析】求（1+工）（l+2r）4的展开式中/系数，只要求出（l+2x）4的展开式中含/

X

的项及小的系数，然后合并同类项可求

【解答】解：（1+工）（1+2%）4的展开式中/系数，只要求出（1+2X）4的展开式中含/

X

的项及小的系数，

；（1+2%）4的展开式的通项7-|=/又2『・/

4

令r=3可得74=4X23X?=32?；

令r=2可得Ti—C^X22,X2-24X2

故x2的系数为24+32=56,

故选：D.

【点评】本题主要考查了二项展开式的通项在求解展开式的指定项中的应用，解题的关

键是求出通项中的r的值

5.(5分)已知函数/(x)=a/+x+b,若函数/(五)在(0,/(0))处的切线方程为y=2x+3,

则ab的值为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】求得了(x)的导数，可得切线的斜率和切点，结合已知切线方程可得小人的方

程，解得mb,可得所求值.

【解答】解：f(x)=aF+x+6的导数为/(x)=a/+l,所以/(0)=〃+1=2,解得

。=1,

f(0)=〃+/?=1+6=3,所以。=2,所以次?=2,

故选：B.

【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线方程的运用，方程思想和运算能力，属于

基础题.

6.(5分)函数£6)=$用"+'在Lm用的图象大致为()

x2+l

【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解.

【解答】解：£々）=亘哽邑是奇函数，排除4f（7T）=sin：+T>o,排除8,c.

x2+l兀2+i

故选：D.

【点评】本题考查利用函数解析式确定函数图象，属于基础题.

7.（5分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/fBC,AO=2,8c=3,E是尸。的中点，F

在PC上且pF』pc，G在PB上且PGN"PB，则（）

33

A.AG=3EF,且AG与EF平行B.AG=3EF,且AG与EF相交

C.AG=2EF,且AG与EF异面D.AG=2EF,且AG与EF平行

【分析】取C尸的中点从连接。从GH,根据线线平行的判定定理与性质定理，先证

明四边形AOHG为平行四边形，从而得到AG〃。"且4G=。“，再在△PO”中，利用

中位线定理，可得EF〃DH,且EF卷DH，即可得解.

【解答】解：取CF的中点连接。”，GH,

在△尸8c中，弛型上，所以GH〃BC,且GHN^C=2，

PBPC33

又因为AO〃BC且AO=2,所以GH〃AO,且GH=A£>,

所以四边形ADHG为平行四边形，所以AG〃OH,且AG=OH.

在中，E、尸分别为和的中点，所以EF〃DH,且EF=^DH，

所以EF〃AG,且EF-^AG，即AG=2EF.

故选：D.

【点评】本题考查空间中线与线的位置关系及数量关系，灵活运用线线平行的判定定理

与性质定理是解题关键，属于基础题.

8.（5分）已知等差数列｛加｝的前"项和为S,“2=2,57=28,则数列［~I—｝的前2020

ananM

项和为（）

A2020B2018c2018D2021

,2021-2020-2019-2020

【分析】本题先根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于m和4的方程组，解出

m和”的值，即可得到数列｛即｝的通项公式，也即求出数列［_—｝的通项公式，根

ananM

据通项公式的特点采用裂项相消法求出前2020项和.

【解答】解：由题意，设等差数列｛的｝的公差为4,则

at+d=2/_］

«7X6,解得‘1.

7al■1——d=281d=l

二数列｛劭｝的通项公式为斯=1+（n-1）Xl=n,«GN*.

.1,1

anaiH-ln（n+l）

设数列｛_I—）的前〃项和为Tn,

anard-l

则Tn——-一+---+…+-------

ala2a2a3anani-l

=__1__4-

1X22X3n（n+l）

=］一1…1一1

223nn+1

n+1

=n

n+1

.,.72020=2"。-.

2021

故选：A.

【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，以及裂项相消法求前"项和，考查了方程

思想的应用.本题属中档题.

9.（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如

果它是偶数.则对它除以2,如此循环，最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个

程序框图.若输入n的值为10.则输出i的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算〃的值并输出相

应变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得

i=0,n=iO

不满足条件〃=1,满足条件〃是偶数，〃=5,i=l

不满足条件"=1，不满足条件〃是偶数，〃=16,i=2

不满足条件〃=1,不满足条件”是偶数，附=8,z=3

不满足条件〃=1,不满足条件〃是偶数，〃=4,i=4

不满足条件〃=1,不满足条件”是偶数，〃=2,i=5

不满足条件"=1,不满足条件〃是偶数，〃=1,i=6

此时，满足条件〃=1,退出循环，输出i的值为6.

故选：B.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得

出正确的结论，是基础题.

10.（5分）设抛物线（p>0）的焦点为凡准线为/.过抛物线上一点A作/的垂线,

垂足为8.设C（0,与），A尸与8c相交于点E.若|CFl=2|Afl，且的面积为班，

则p的值（）

A.&B,2C.V6D.2^2

【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，由|CH=2|Afl，可得AF的值，设A的坐标

可得三角形相似，可得面积的比，再由aACE的面积为班，求出p的值.

【解答】解析：根据已知尸（0,艮），/：y=-R,由|C/n=2|AF|,得|4月=正，

222

不妨设点A（x,y）在第一象限，则>艮=&，即）=。，所以x=&p,

22

易知△AB£S2\FCE,_[ABJ_=|AE|=Xt所以|£f]=2H£],

|CF||EF|2

所以△ACF的面积是△AEC面积的3倍，即SAACF=9近,

所以s=4・3p・j^p=9解得p=y^,

故选：c.

【点评】考查抛物线的性质，属于中档题.

11.（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板

沿斜边折起形成三棱锥A-BCQ,如图所示，已知NDAB=H，ZBAC=—'三棱锥的

外接球的表面积为4m该三棱锥的体积的最大值为（

V3D.退

【分析】根据已知得三棱锥A-8CO的外接球的半径/'=1,且AB为外接球直径，分别

求出AB,AD,BD,AC,8c的值.且当点C到平面A8O距离最大时，三棱锥4-8CD

的体积最大，可知此时平面ABC,平面A8。，且点C到平面AB。的距离"=1,再由等

体积法求三棱锥的体积的最大值.

【解答】解：根据已知得三棱锥A-BCD的外接球的半径r=l,

"：ZADB=ZACB=90°,...AB为外接球直径，则AB=2,且4£>=«,BD=\,AC=

BC=&.

当点C到平面ABD距离最大时，三棱锥A-BCD的体积最大，

此时平面ABC,平面ABD,且点C到平面ABD的距离d=l,B

VA-BCD=VC-ABD^^ABD

故选：B.

【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力,

是中档题.

12.（5分）设函数f（x）=sin（（o.r+（p）,其中a）＞0,。£［-2L（二-］，己知/（x）在［0,

43

2n］上有且仅有4个零点，则下列O）的值中满足条件的是（）

A.3-I，B.3=11C.3D.3=—

6644

【分析】利用换元思想转化为y=sin/在即，2Tra）+（p］上有4个零点，则需满足47i^2nu）+＜p

＜5n,进而根据＜p的取值范围得到3的取值范围即可.

【解答】解：设/=o）x+（p,则（pWlW2iT3+（p,所以y=sin/在［＜p,2伍n+（p］上有4个零点，

可知4nW2Tra）+（p＜5n,所以2--^a）＜—--,

2兀22兀

兀兀

又®f匹，2L-1,所以2-2＜3＜旦-工，即生＜3＜工，满足的只有4

vL432兀22兀83

故选：A.

【点评】本题考查函数零点与三角函数之间的关系，涉及换元思想，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）若|a|=3，|b|=2，|a+2b1=^37,则Z与4的夹角为―工―.

3

【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，求出之与式的夹角

的余弦值，可得之与E的夹角.

【解答】解：设Z与芯的夹角为0,则IT］,V|a1=3，lb1=2.|a+2b|=V37,

，：2+4&•b+4、2=9+4.3・cose+4・4=37,求得cosO=L,0=_ZL,

a。23

故答案为：2L.

3

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题.

14.（5分）记S”为等比数列｛“”｝的前”项和，若数列｛S-2ai｝也为等比数列，则包=生

S3:14

【分析】根据题意，设等比数列｛“八｝的公比为q，求出数列｛S“-2m｝得前三项，由等比

数列的定义分析可得q的值，进而由等比数列的前H项和公式分析可得答案.

【解答】解：根据题意,设等比数列｛斯｝的公比为,，

对于等比数列｛S〃-2tn｝,其前三项为：-41,ai-a\,a3+ai-a\,则有（-m）（〃3+。2

-m）=（。2-41）2,

变形可得：-（才+4-1）=（g-1）2,

解可得：4=工^0（舍），则夕=工，

22

（1-q4）

则工i-q3=上泰区；

S3

3（］q3）i-q14

1-q

故答案为：11.

14

【点评】本题考查等比数列前〃项和公式的应用，涉及等比数列的定义以及应用，属于

基础题.

15.（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g,次品重110g,现有5袋产品

（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）.如果将5

袋产品以1〜5编号，第，袋取出i个产品（i=l,2,3,4,5）,并将取出的产品一起用

秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量），，若次品所在的袋子编号是2,此时的重量

v=1520月；若次品所在的袋子的编号是”，此时的重量v=1500+10",〃的1,2,3,

4,5｝g.

【分析】由题意得到次品是第2袋时的正品与次品个数，则重量可求；同样写出次品是

第〃（〃以1,2,3,4,5｝）袋时的正品与次品个数，得到重量关于"的函数式.

【解答】解：第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5

个，共取15个.

若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量＞=100X13+110X2

=1520；

若次品是第〃（〃日1,2,3,4,5｝）袋，则15个产品中次品"个，正品15-”个，

此时的重量y=100X（15-n）+110Xn=1500+10n,/?£!1,2,3,4,5）.

故答案为：1520；1500+10〃，〃€｛1,2,3,4,5）.

【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是基础题.

2

16.（5分）已知点尸是双曲线x2-（-=i右支上一动点，F1,92是双曲线的左、右焦点,

动点。满足下列条件：①.-P-F--,--+…P——F?乡一）=。，

2

IPFJ|PF2|

pp*pp'

②而+X（-1—-1-=i-）=0-则点Q的轨迹方程为f+y2=l（尤＞工）.

|PF1I|PF2|」

【分析】利用已知条件画出图形，结合双曲线的定义与性质，转化求解轨迹方程即可.

【解答】解：设动点。的坐标为（X,y）,延长也。交PFi于点A,由条件②知点。在

/P1PF2的角平分线上，结合条件①知QF2LPQ,所以在中，\FiVPQ.又PQ

平分N4PF2,所以△PfM为等腰三角形，即|PF2|=|网，HQ=|QF2].因为点P为双曲

线上的点,所以|PFi|-|PF2|=2,即|用l+IA/引-|P口2|=2,所以|AFI|=2.又在△FM尸2中,

。为4尸2的中点，O为尸1尸2的中点，所以|OQ=』4/i|=l,所以点。的轨迹是以O为

2

圆心，半径为1的圆，所以点Q的轨迹方程为/+『=1G＞！）.

2

故答案为：/+尸=1（x〉p

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合思

想的应用，是中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分.

17.（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且csin28-加in（A+fi）

=0

（1）求角8的大小；

（2）设a=4,C=6,求sinC的值.

【分析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos以进而可求3；

222

(2)由余弦定理可得，cosB=a+c-b=工,代入可求从由正弦定理可得，sinC

2ac2

=csinB可求.

b

【解答】解:Vcsin2B-fesin(A+8)=0,

由正弦定理可得，sinCsin2B-sinBsin(A+B)=0,

化简可得，2sinCsin8cosB-sinBsinC=0,

VsinBsinC^O,

/.cosB=—,

2

•.'Be(0,ir),

222

.••B3兀，(2)由余弦定理可得，cos8=a"+c-b=工

D32ac2

16+36-b\l

2X4X6~T

b—,

由正弦定理可得，sinC=csinB=21

b14

【点评】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属

于中等试题.

18.(12分)为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水

质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试

验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8,鱼苗乙、丙

的自然成活率均为0.9,且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.

(1)试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X,求X的分布列

和数学期望；

(2)试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买〃尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为

提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影

响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10

元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购

买多少尾乙种鱼苗？

【分析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出相应概率，由此能求

出X的分布列和数学期望.

(2)根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9,依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率

为0.95,从而一尾乙种鱼苗的平均收益为10X0.95-2X0.05=9.4元.设购买n尾乙种鱼

苗,F(〃)为购买〃尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则/5)=9.4心376000,由此能

求出需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.

【解答】解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=0.2X0.1X0.1=0.002,

P(X=l)=0.8X0.1X0.2+0.2X0.9X0.1+0.2X0.1X0.9=0.044,

P(X=2)=0.8X0.9X0.1+0.8X0.1X0.9+0.2X0.9X0.9=0.306,

P(X=3)=0.8X0.9X0.9=0.648.

故X的分布列为：

X0123

P0.0020.0440.3060.648

E(X)=0X0.002+1X0.044+2X0.306+3X0.648=2.6.

(2)根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9,

依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9+0.1X0.5=0.95,

一尾乙种鱼苗的平均收益为10X0.95-2X0.05=9.4元.

设购买〃尾乙种鱼苗，F(n)为购买〃尾乙种鱼苗最终可获得的利润，

则尸(〃)=9.4n>376000,解得“240000.

所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法及应用，

考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.(12分)如图，圆柱的轴截面ABC。是边长为2的正方形，点P是圆弧C。上的一动点

(不与C,。重合)，点Q是圆弧A8的中点，且点尸，。在平面ABC。的两侧.

(1)证明：平面B4£>_L平面P8C；

(2)设点P在平面ABQ上的射影为点O,点E,F分别是△PQ8和△PO4的重心，当

三棱锥P-ABC体积最大时，回答下列问题.

(z)证明：EF〃平面力Q；

(/7)求平面以B与平面PCD所成二面角的正弦值.

【分析】（1）先证明PC_L平面力。，再根据线面垂直的性质得出结论；

（2）（。连接PE并延长交BQ于点M,连接PF并延长交。4于点N,连接MN,则MN

//AQ,根据线面平行的判定定理证明即可；

（〃）以。为坐标原点，OA,OB,。2所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求

出二面角两个平面的法向量，利用夹角公式求出即可.

【解答】解：（1）证明：因为ABC。是轴截面，所以ADJ_平面PCD,所以4O_LPC,

又点P是圆弧CO上的一动点（不与C,。重合），且C£＞为直径，所以PCJ_P£）,

又ADCPD=D,POu平面用。，AOu平面所以PC_L平面以。，

PCu平面PBC,故平面附。J_平面PBC；

（2）当三棱锥P-ABC体积最大时，点P为圆弧CO的中点，所以点O为圆弧AB的中

点，所以四边形AQ80为正方形，KOP1.ABO,

（/）证明：连接PE并延长交BQ于点M,连接PF并延长交0A于点N,连接MN,则

MN//AQ,

因为E,尸分别为三角形的重心，所以EF〃MN,

所以EF//AQ,又AQu平面PAQ,EFC平面PAQ,所以EF〃平面PAQ；

（«）以。为坐标原点，OA,OB,0P所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如

图，

贝iJP（0,0,2），A（&，0,0），8（0,加,0），*（&,o,-2）-AB=（-V2.{30），

设平面的法向量W=（x,y,z）'，

贝俾号2z；可取最（业内

1），

n»AB=-v2x+y2y=0

又平面PCD的法向量需（o,0,

所以cosV\走,

m,nV55

所以平面以B与平面PC。所成二面角的正弦值为工返.

5

【点评】考查线面平行，线面垂直的判定，考查向量法求二面角的余弦值，正弦值，中

档题.

22

20.（12分）已知椭圆C：g+^l（a〉b〉0）的左、右焦点分别为Q，放，P是椭圆上

一动点（与左、右顶点不重合），已知△尸为尸2的内切圆半径的最大值为返，桶圆的离

3

心率为_L.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过上的直线/交椭圆C于A,B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C于另一点。（Q

不与A,B重合）.设△ABQ的外心为G,求证M1r为定值.

IGF2I

【分析】（1）结合椭圆的几何性质与内切圆半径公式「答（其中S为三角形面积，C为

三角形周长）即可得解；

（2）由题可知，直线AB的斜率存在，且不为0,不妨设直线48为彳=机），+1,再由曲直

联立得到韦达定理，然后利用弦长公式求出|A8|,最后利用求两条直线交点的方法得到点

G的坐标，进而得到|GF2|,再对/杷I.进行化简即可.

IGF2I

【解答】解：(1)由题意知：*.a=2c9又必=/-c?,，bf、/^c.

a2

设△PF1F2的内切圆半径为r,

则S/kPF.F一卷(1PF1|+|PF21+1F1F21)="(2a+2cAr=(a+cAr

故当△PF1F2面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r”3，

所以返(a+c)=bc，把a=2c,b=«代入，解得：a=2,b=J§,

3

22

所以椭圆方程为zq=l.

43

(2)由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0,设直线AB为x=my+l,

代入椭圆方程得(3序+4)y^+hmy-9=0.

设A(xi,yi),B(x2,”)，则y1+yo=--—>yy=.....——,

3m2+43m2+4

所以AB的中点坐标为(~,聿一),

3m+43m+4

所以IAB|M-y2尸G*盛三=筌?・

1z3m"+43m"+4

因为G是△AB。的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段AQ的垂直平分线的交

点，

AB的垂直平分线方程为y—^2—=_1n(X———),

3nl2+43m2+4

2

令y=0,得x=―—，即G(——，0)，所以|GFzl=I—I-----11=3「坦，

3mz+43m'+43m'+43m'+4

♦(K+i)

2

所以1ABi=_3111J4_=券=4,所以lABl是定值,为主

|GF2I3m2+33|GF2|

3m2+4

【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，解题的关键是曲直联立，充分利

用弦长公式和两点间距离公式，考查学生的运算能力和分析问题的能力，属于中档题.

21.(12分)已知函数f(x)=2x+(