2019年山东省临沂市中考数学试卷（解析版）

2019年山东省临沂市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共42分）

1.（3分）（2019•临沂）|-2019|=（）

A.2019B.-2019c]

2019

【考点】15：绝对值.

【专题】511：实数.

【分析】利用数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案.

【解答】解：|-20191=2019.

故选：A.

【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键.

2.（3分）（2019•临沂）如图，a//b,若=,则/2的度数是（）

A.110°B.80°C.70°D.60°

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得/3的度数，进而得出/2的度数.

【解答】解：'：a//b,

.•.Zl=Z3=110°.

VZ2+Z3=180°,

.,.Z2=180o-Z3=70°,

故选：C.

【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义.注意两直线平行，同位角相等.

3.（3分）（2019•临沂）不等式1-2xN0的解集是（）

A.无》2B.x^—C.xW2D.

2飞2

【考点】C6：解一元一次不等式.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】先移项，再系数化为1即可.

【解答】解：移项，得-2x，-1

系数化为1,得xwL；

2

所以，不等式的解集为xWL,

2

故选：D.

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要

改变符号这一点而出错.

解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不

等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不

等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

4.（3分）（2019•临沂）如图所示，正三棱柱的左视图（

C.

【考点】U1：简单几何体的三视图.

【专题】55F：投影与视图；63：空间观念.

【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案.

【解答】解：主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是三角形,

故选：A.

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键.

5.(3分)(2019•临沂)将"进行因式分解，正确的是()

A.a(crb-b)B.ab(a-1)2

C.ab(a+1)(a-1)D.ab-1)

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】44：因式分解.

【分析】多项式/5-油有公因式"，首先考虑用提公因式法提公因式必，提公因式后,

得到多项式(/-I),再利用平方差公式进行分解.

【解答】解：cr'b-ab—ab-1)—ab(G+1)(a-1),

故选：C.

【点评】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，因式分解时通常先提公

因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；即：一提二套三分组.

6.(3分)(2019•临沂)如图，。是AB上一点，。/交AC于点E,DE=FE,FC//AB,若

AB=4,CF=3,则BD的长是()

A.0.5B.1C.1.5D.2

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】553：图形的全等；64：几何直观；67：推理能力.

【分析】根据平行线的性质，得出ZADE^ZF,根据全等三角形的判定,

得出根据全等三角形的性质，得出AO=CF,根据4B=4,CF=3,即

可求线段DB的长.

【解答】'JCF//AB,

；./A=/FCE,/ADE=NF,

2A=NFCE

在△&£>£和△FCE中,NADE=NF，

DE=FE

AAADE^ACFE(AAS),

：.AD=CF^3,

'：AB=4,

.•.OB=A8-A£）=4-3=1.

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定△?1£>£丝

△■FCE是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等.

7.（3分）（2019•临沂）下列计算错误的是（）

A.=0%3B.（-?"/）2=m2/?6

C.a5ji-a2=a3D.xy2-^cy2=^cy2

【考点】35：合并同类项；47：幕的乘方与积的乘方；48：同底数基的除法；49：单项

式乘单项式；6F：负整数指数幕.

【专题】11：计算题；511：实数；512：整式.

【分析】选项A为单项式X单项式；选项8为积的乘方；选项C为同底数塞的除法；选

项。为合并同类项，根据相应的公式进行计算即可.

【解答】解:

选项A,单项式X单项式，（QbXa?）=a3-a-b-b2=a4b3,选项正确

选项2,积的乘方，（-机/）2=%2a6,选项正确

选项C,同底数塞的除法，=<-2）=/,选项错误

选项。，合并同类项，xy2-—xy1——^-—xy'—^xy2,选项正确

5555

故选：C.

【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，辕的乘方与积的乘方，同底数哥

的除法，熟练运用各运算公式是解题的关键.

8.（3分）（2019•临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果

这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的

概率是（）

A.2B.2C.1D.L

3939

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念.

【分析】可以采用列表法或树状图求解.可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆

向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得.

【解答】解：画“树形图”如图所示:

开始

左直右

xTxxTxxTx

左且右左直右左直右

:这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2

种，

一辆向右转，一辆向左转的概率为2；

9

故选：B.

【点评】此题考查了树状图法求概率.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=

所求情况数与总情况数之比求解.

2

9.（3分）（2019•临沂）计算3―-a-1的正确结果是（）

a-l

A.-1B.1C.-2a-lD.2aT

a-la-la-la-l

【考点】6B：分式的加减法.

【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计

算就可以了.

2

【解答】解：原式=W__（a+i）,

a-l

221

_—a—-a---，1

a-la-l

=1

a-l

故选：B.

【点评】本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过

程中注意符号的运用及平方差公式的运用.

10.（3分）（2019•临沂）小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温（单位：。C）,列

成如表:

天数（天）1213

最高气温（℃）22262829

则这周最高气温的平均值是（)

A.26.25℃B.27℃C.28℃D.29℃

【考点】W2：加权平均数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】由加权平均数公式即可得出结果.

【解答】解：这周最高气温的平均值为工（1X22+2X26+1X28+3X29）=27（℃）；

7

故选：B.

【点评】本题考查了加权平均数公式；熟练掌握加权平均数的计算是解决问题的关键.

11.（3分）（2019•临沂）如图，中，AB=AC-ZACB=75°,BC=2,则阴影部分的

面积是（）

3333

【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】连接。2、OC,先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形

的圆心角为60度，即可求出半径的长2,利用三角形和扇形的面积公式即可求解；

【解答】解：：品=宜，

：.AB=AC,

VZACB=75°,

:./ABC=/ACB=I5°,

：.ZBAC^30°,

.-.ZBOC=60°,

"：OB=OC,

:.ABOC是等边三角形，

：.OA=OB=OC=BC=2,

作ADJ_8C,

VAB=AC,

**•BD=CD,

：.AD经过圆心O,

：.OD=®OB=M，

2

，AO=2+y,

SAABC=^-BC*AD=2+5/3,SABOC=-i-BC*OD=

6071X22

1•S阴影=S/\A3C+S扇形30C-SABOC=2+V3+-V^=2+2TT,

3603

故选：A.

【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影=&ABC+S

扇形50。-是解题的关键.

12.（3分）（2019•临沂）下列关于一次函数y=fcc+Z?（ZVO,匕>0）的说法，错误的是（）

A.图象经过第一、二、四象限

B.y随x的增大而减小

C.图象与y轴交于点（0,。）

D.当尤〉-（时，y>0

【考点】F5：一次函数的性质.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】由4<0,b>0可知图象经过第一、二、四象限；由左<0,可得y随x的增大而

减小；图象与y轴的交点为（0,6）;当x>-也■时，y<0；

k

【解答】M："：y=kx+b（k<0,6>0）,

.•.图象经过第一、二、四象限，

A正确；

'：k<0,

随x的增大而减小,

B正确;

令尤=0时，y—b,

，图象与y轴的交点为（0,6）,

C正确;

令y=0时，x=-p,

当尤>-也■时，y<0;

D不正确;

故选：D.

【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，人与b

对函数图象的影响是解题的关键.

13.（3分）（2019•临沂）如图，在平行四边形A8CZ）中，M、N是8。上两点，BM=DN,

连接AM、MC,CN、NA,添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）

C.BD±ACD.NAMB=NCND

2

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】由平行四边形的性质可知：OA=OC,OB=OD,再证明OM=ON即可证明四

边形AMCN是平行四边形.

【解答】证明：：四边形ABC。是平行四边形,

：.OA^OC,OB=OD

:对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,

：.OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

...四边形AMCN是平行四边形，

'：OM=LAC,

2

：.MN=AC,

四边形AMCN是矩形.

故选：A.

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

14.（3分）（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度//（单位：m）与小球运

动时间f（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：

①小球在空中经过的路程是40/77：

②小球抛出3秒后，速度越来越快；

③小球抛出3秒时速度为0；

④小球的高度/7=30/时，f=1.5s.

其中正确的是（）

A.①④B.①②C.②③④D.②③

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】536：二次函数的应用.

【分析】根据函数的图象中的信息判断即可.

【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40加；故①错误；

②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；

③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；

④设函数解析式为：h=aCt-3）2+40,

把。（0,0）代入得0=a（0-3）2+40,解得”=-理_,

函数解析式为/z=-空G-3）2+40,

9

把力=30代入解析式得，30=-理.（L3）2+40,

9

解得：£=4.5或/=1.5,

，小球的高度/z=30机时，f=1.5s或4.5s,故④错误；

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础

题，常考题型.

二、填空题：（每题3分，共15分）

15.（3分）（2019•临沂）计算：嘏义企-tan45°=Vj-1.

【考点】79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】514：二次根式.

【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可.

【解答】解：X-tan450=yj-X6-1=V3-,

故答案为：L

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关

键.

16.（3分）（2019•临沂）在平面直角坐标系中，点尸（4,2）关于直线x=l的对称点的坐

标是（-2,2）.

【考点】P6：坐标与图形变化-对称.

【专题】531：平面直角坐标系.

【分析】先求出点尸到直线x=l的距离，再根据对称性求出对称点P到直线x=l的

距离，从而得到点P'的横坐标，即可得解.

【解答】解：：点尸（4,2）,

...点P到直线x=l的距离为4-1=3,...点尸关于直线x=l的对称点P'到直线x=l

的距离为3,

点P'的横坐标为1-3=-2,

对称点P的坐标为（-2,2）.

故答案为：（-2,2）.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-对称，根据轴对称性求出对称点到直线X=1的距

离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观.

17.（3分）（2019•临沂）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块8

型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，

则恰好需用A、8两种型号的钢板共11块.

【考点】9A：二元一次方程组的应用.

【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用.

【分析】设需用A型钢板x块，8型钢板y块，根据“用1块A型钢板可制成4件甲种

产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品”，可得出关

于x,y的二元一次方程组，用（①+②）+5可求出x+y的值，此题得解.

【解答】解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，

依题意，得：4,

lx+2y=18②

（①+②）4-5,得：x+y—\\.

故答案为：11.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

18.（3分）（2019•临沂）一般地，如果f=a（°》。），则称x为a的四次方根，一个正数a

的四次方根有两个.它们互为相反数，记为土/，若%7=1°，则，"=±10.

【考点】28：实数的性质；2F：分数指数幕.

【专题】511：实数.

【分析】利用题中四次方根的定义求解.

【解答】解:fl。，

."4=10、

m=+10.

故答案为：土10

【点评】本题考查了方根的定义.关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个.

19.（3分）（2019•临沂）如图，在△ABC中，ZACB=120°,BC=4,。为42的中点,

DC1BC,则△ABC的面积是8娟_.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形.

【专题】553：图形的全等.

【分析】根据垂直的定义得到90°,得到长CD到H使由线段中点

的定义得到40=8。，根据全等三角形的性质得到A//=8C=4,NH=NBCD=90°,

求得CO=2E，于是得到结论.

【解答】W：'：DC±BC,

：.ZBCD=90°,

VZACB=120",

AZACZ）=30°,

延长CD到H使DH=CD,

为AB的中点，

：.AD=BD,

'CD=DH

在△&£>//与△BCD中，，NADH=NBDC，

AD=BD

.'.△AD啥ABCD（SAS）,

.•.AH=BC=4,/H=/BCD=90°,

VZACH=30°,

.•.CH=-/3AH=4A/3-

：.CD=2-/3,

：.△ABC的面积=2SABCD=2XJLX4X2V3=8V3,

2

故答案为：873.

B

ti

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积的计算，

正确的作出辅助线是解题的关键.

三、解答题：（共63分）

20.（7分）（2019•临沂）解方程：一$_=旦.

x-2x

【考点】B3：解分式方程.

【专题】11：计算题.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：5x=3x-6,

解得：x=-3,

经检验x=-3是分式方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转

化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

21.（7分）（2019•临沂）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪

校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位:

分）

78838686909497928986848181848688928986

8381818586899393898593

整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：

成绩（分）频数

78Wx<825

82WxV86a

86WxV9011

90«94b

94«982

回答下列问题：

（1）以上30个数据中，中位数是86；频数分布表中a=6；b=6；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数.

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；

W4：中位数.

【专题】11：计算题；541：数据的收集与整理.

【分析】（1）将各数按照从小到大顺序排列，找出中位数，根据统计图与表格确定出。

与6的值即可；

（2）补全直方图即可；

（3）求出样本中游戏学生的百分比，乘以300即可得到结果.

【解答】解：（1）根据题意排列得：78,81,81,81,81,83,83,84,84,85,85,

86,86,86,86,86,86,88,89,89,89,89,90,92,92,93,93,93,94,97,

可得中位数为86,频数分布表中a=6,b=6；

故答案为：86；6；6；

（3）根据题意得：300x22=190,

30

则该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数为190人.

【点评】此题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，以及中位数，弄清题意是解本

题的关键.

22.（7分）（2019•临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计

划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧。（A、C、。共线）处

同时施工.测得/CAB=30°，AB=4km,ZABD^105°,求的长.

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】根据/C4B=30°,AB=4km,可以求得BE的长和/A8E的度数，进而求得/

EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长.

【解答】解：作BELA。于点E,

VZCAB=30°,AB=4km,

：.ZABE=60°,BE=2km,

VZABD=105°,

AZEBD=45°,

；./EDB=45°,

'.BE=DE=2km,

BD—J22+22=2、,

即BD的长是

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

23.（9分）（2019•临沂）如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，过点。作

交2C的延长线于交AC于点E,尸是。E的中点，连接C?

（1）求证：CF是。。的切线.

（2）若NA=22.5°,求证：AC^DC.

【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】（1）根据圆周角定理得到NACB=NACQ=90°,根据直角三角形的性质得到

CF=EF=DF,求得/AEO=NFEC=/FCE,根据等腰三角形的性质得到NOCA=N

OAC,于是得到结论；

（2）根据三角形的内角和得到NQ4E=NC£>E=22.5°,根据等腰三角形的性质得到N

CAD=ZADC=45°,于是得到结论.

【解答】（1）证明：是O。的直径，

AZACB=ZACD=90°,

;点尸是即的中点,

：.CF=EF=DF,

：.ZAEO=ZFEC=NFCE,

9：0A=0C,

：.ZOCA=ZOAC,

9

：OD±ABf

：.ZOAC+ZAEO=90°,

：.ZOCA+ZFCE=90°,BPOCXFC,

・・・C/与OO相切；

(2)解:*CODLAB,AC±BD,

：.ZAOE=ZACD=90°,

/AEO=/DEC,

：.ZOAE=ZCDE=22.5°,

'：AO=BOf

：.AD=BD,

：.ZADO=ZBDO=22.5°,

ZAZ)B=45°,

：.ZCAD=ZADC=45°,

：.AC=CD.

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和

性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

24.（9分）（2019•临沂）汛期到来，山洪暴发.下表记录了某水库20/1内水位的变化情况,

其中九表示时间（单位：h）,y表示水位高度（单位：m）,当x=8（/z）时，达到警戒水

位，开始开闸放水.

x/h02468101214161820

y/m141516171814.41210.3987.2

(1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点.

(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.

(3)据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到

6m.

y/km

IS

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

2468101214161820x/h

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】33：函数思想；53：函数及其图象.

【分析】根据描点的趋势，猜测函数类型，发现当0〈尤<8时，y与尤可能是一次函数关

系：当x>8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现y与x的关系最符合反

比例函数.

【解答】解：(1)在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示.

(2)观察图象当0<x<8时，y与彳可能是一次函数关系：设〉=依+从把(0,

14),(8,18)代入得

0=14解得：k=L,b=14,y与尤的关系式为：尸L+14,经验证

l8k+b=1822

(2,15),(4,16),(6,17)都满足y=L+14

2

因此放水前y与x的关系式为：y=L+14(0<x<8)

2

观察图象当尤>8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现：8X

18=10X10.4=12X12=16X9=18X8=144.

因此放水后y与X的关系最符合反比例函数，关系式为：y=m.（尤>8）

X

所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：y=L+14（0

2

<x<8）和yzzlll.（x>8）

X

（3）当y=6时，6=I",解得：x=24,

【点评】根据图象猜测函数类型，尝试求出，再验证确切性；也可根据自变量和函数的

变化关系进行猜测，关系式确定后，可以求自变量函数的对应值.

25.（11分）（2019•临沂）如图，在正方形A8CD中，E是。C边上一点，（与。、C不重合）,

连接AE,将△AOE沿AE所在的直线折叠得到△APE,延长所交BC于G,连接AG,

作G”，AG,与AE的延长线交于点“，连接CH.显然AE是ND4尸的平分线，EA是N

。所的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平

分线），并说明理由.

【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】过点X作HN,2M于N,利用正方形的性质及轴对称的性质，证明

AFG,可推出AG是NBAF的平分线，GA是NBGF的平分线；证明△A8Gg△GNH,推

出HN=CN,得到/DCH=/NCH,推出C8是NOCN的平分线；再证NHGN=NEGH,

可知GH是NEGM的平分线.

【解答】解：过点、H作HNLBM于N,

则NHNC=90°,

:四边形ABC。为正方形，

：.AD=AB=BC,ND=/DAB=NB=NDCB=NDCM=90°,

①将沿AE所在的直线折叠得到△AFE,

AADEHAFE,

：.ZD^ZAFE^ZAFG=90°,AD^AF,ZDAE^ZFAE,

：.AF=AB,

又：AG=AG,

.•.RtAABG^RtAAFG(HL),

：./BAG=/FAG,NAGB=ZAGF,

AG是/BAP的平分线，GA是/8G尸的平分线；

②由①知，ZDAE=ZFAE,ZBAG=ZFAG,

又；/2AO=90°,

：.ZGAF+ZEAF=^X90°=45°,

2

即/GAH=45°,

GH±AG,

：.ZGHA=9Q°-ZGAH=45°,

AAGH为等腰直角三角形，

：.AG=GH,

VZAGB+ZBAG^90°,/AGB+NHGN=90°,

：.ZBAG=NNGH,

又'：NB=NHNG=90°,AG=GH,

：.AABG^AGNH(44S),

：.BG=NH,AB=GN,

：.BC=GN,

\'BC-CG=GN-CG,

：.BG=CN,

:.CN=HN,

VZr)CM=90°,

/.ZNCH=ZNHC=LX90°=45°,

2

/DCH=ZDCM-ZNCH=45°,

ZDCH=ZNCH,

...CH是/OCN的平分线；

@VZAGB+ZHGN^9Q°,ZAGF+ZEGH^90°,

由①知，ZAGB=ZAGF,

：./HGN=ZEGH,

；.GH是/EGM的平分线；

综上所述，AG是28AF的平分线，GA是/BGF的平分线，C”是N。CN的平分线，GH

是NEGM的平分线.

BGCNM

【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等，解题

关键是能够灵活运用轴对称的性质及全等的判定方法.

26.（13分）（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线>=尤+2与x轴交于点A,与y轴交于

点、B,抛物线（6Z<0）经过点A、B.

（1）求a、b满足的关系式及c的值.

（2）当x<0时，^y=axL+bx+c（a<0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围.

（3）如图，当a=-1时，在抛物线上是否存在点P,使△E48的面积为1?若存在，请

求出符合条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；33：函数思想；65：数据分析观念.

【分析】(1)求出点A、8的坐标，即可求解；

(2)当x<0时，若(a<0)的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x

=-互力0,而b=2a+l,即：-纽L'O,即可求解；

2a2a

(3)过点尸作直线/〃AB,作尸Q〃y轴交54于点。，作刊/LAB于点X,S△%B=LX

2

ABXPH=L又2，、叵XPQ乂昱=1,贝必p-凶|=1,即可求解.

22

【解答】解：(1)y=x+2,令尤=0,则y=2,令y=0,则x=-2,

故点A、8的坐标分别为(-2,0)、(0,2),则c=2,

则函数表达式为：y^a^+bx+2,

将点A坐标代入上式并整理得：6=2a+l；

(2)当x<0时，若yuA+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，

则函数对称轴x=-互20,而b=2a+l,

2a

即：-型L》o,解得：a>,，

2a,2

故：。的取值范围为：-LWa<0；

2

(3)当〃=-1时，二次函数表达式为：>=-/-%+2,

过点尸作直线/〃A3,作尸。〃丁轴交3A于点Q,作于点H,

"：OA=OB,：.ZBAO=ZPQH=45°,

SAB4B=1.XABXPH=LX2&XPQX”=1,

222

则yp-y°=1，

在直线AB下方作直线使直线m和/与直线AB等距离，

则直线机与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1,

故：|yp-yel=l，

设点P(x,-/-尤+2),则点Q(x,x+2),

即：-x2-x+2-x-2=+1,

解得：尤=-1或-1士我，

故点P(-1,2)或(-1+血，1)或(-1-我，-、女).

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要

会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长

度，从而求出线段之间的关系.

考点卡片

1.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，。的绝对值是它的相反数-。；

③当。是零时，a的绝对值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.实数的性质

(1)在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样.实数。的绝对值就是在数轴上这

个数对应的点与原点的距离.

(2)实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝

对值是0.

(3)实数a的绝对值可表示为⑷={a(a20)-a(a<0),就是说实数a的绝对值一定是

一个非负数，即|a|20.并且有若|x|=a(a20),则x=±a.

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若。与。互为倒数，则仍=1;反之，若油=1,则。与

6互为倒数，这里应特别注意的是。没有倒数.

3.分数指数幕

分数指数暴.

4.合并同类项

(1)定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

(2)合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

(3)合并同类项时要注意以下三点:

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

5.暴的乘方与积的乘方

（1）基的乘方法则：底数不变，指数相乘.

S）n=amn〃是正整数）

注意：①幕的乘方的底数指的是幕的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘.

Cab）n=anbn（〃是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

6.同底数塞的除法

同底数幕的除法法则：底数不变，指数相减.

am^an=amn（a#0,m,〃是正整数，%>〃）

①底数。#0,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0;

③应用同底数嘉除法的法则时，底数。可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

7.单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运

算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成

立.

8.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

9.分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，

经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是

多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为

较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分

式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的

分式来说的.

10.负整数指数骞

负整数指数累：aP=\apQWO,p为正整数）

注意:①aWO；

②计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数累的意义计算，避免出现（-3）（-

3）X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

11.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面

的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

12.二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

13.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

14.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项;

④合并同类项；⑤化系数为1.

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向，其他

都不会改变不等号方向.

注意：符号“2”和“W”分别比和各多了一层相等的含义，它们是不等号与

等号合写形式.

15.一次函数的性质

一次函数的性质：

左＞0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；上＜0,y随x的增大而减小，函数从左到

右下降.

由于y=Ax+b与y轴交于（0,b）,当6＞0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当6<0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

16.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

17.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题.

18.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

19.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

20.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

21.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平