流体力学基础

§3.1理想流体的定常流动理想流体:绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体一、

定常流动和不定常流动流体流经的空间称为流体空间或流场。1定常流动：流体流经空间各点的速度压力、密度都不随时间变化。流体质量元在不同地点的速度可以各不相同。流体在空间各点的速度分布不变。“定常流动”并不仅限于“理想流体”。流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略时，可看作不可压缩流体。流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。流线与流体质元的运动轨迹重合，流体的各流层不相混合，只作相对滑动第三节液体动力学流场中各点的流速是该点的位置和时间的函数:2不定常流动：流线的形状随时间而变流线与流体单个质元的运动轨迹并不重合。流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。流场中流线是连续分布的；空间每一点只有一个确定的流速方向，所以流线不可相交。流线密处，表示流速大，反之则稀。二、流线三、流管和流速流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。流管内流体的质量是守恒的。通常所取的“流管”都是“细流管”。细流管的截面积，就称为流线。流速大流管内的流线群称为流束。四、通流截面

在流束中与所有流线正交的截面称为通流截面。通流截面是指流束中与所有流线正交的截面。若流线相互平行，则通流截面是平面（如图中的A面）；若流线不平行，则通流截面是曲面（如图中的B面）。在液压传动系统中，液体在管道中流动时，垂直于流动方向的截面即为通流截面，也称为过流断面。五、流量和平均流速流量：在单位时间内流过某一通流截面的液体体积称为体积流量，即：q=V/t

单位为m3/s或L/min。当液流通过如图2.8a所示的微小通流截面dA时，液体在该截面上各点的速度u可以认为是相等的，所以流过该微小通流截面的流量为：

dq=udA

则流过整个通流截面A的流量为：实际上，对于流动的液体，由于粘性力的作用，在整个通流截面上各点处的流速u是不相等的，其分布规律也比较复杂，不易确定，如图2.8b所示。在工程实际使用中，可以采用平均流速

来简化分析计算。

平均流速

是假设通过某一通流截面上各点的流速均匀分布，液体以此均布流速

流过此通流截面的流量等于以实际流速u流过的流量，即：由此可得出通流截面A上的平均流速为：

在工程实际中，人们关心的往往是整个液体在某特定空间或特定区域内的平均运动情况，因此平均流速

有实际应用价值。两截面处的流速分别为和，取一细流管，任取两个截面和，六、连续性原理描述了定常流动的流体任一流管中流体元在不同截面处的流速与截面积的关系。流体密度分别为和。经过时间，流入细流管的流体质量同理，流出的质量流体作定常流动，故流管内流体质量始终不变，即或（常量）上式称为连续性原理或质量守恒方程，其中称为质量流量。S1S2v1v2Δt对于不可压缩流体，为常量，故有上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，其中称为体积流量。是对细流管而言的。物理上的“细”，指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成“细流管”。对同一流管而言，C一定。截面积S小处则速度大，截面积S大处则速度小例求解一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为4∶1，已知水管粗处水的流速为2m·s-1。水管狭细处水的流速v1v2S1S2由连续性原理知得

如图是一种自动冲水器的结构示意图，进水管A管口截面积为3cm2

，出水管B管口截面积为22cm2

，出水时速度为1.5m·s-1,该冲水器每个5min能自动持续出水0.5min.例求解进水速度D=0.8mhAB出水管的体积流量0.5min.出水量进水管的体积流量5.5min.出水量因所以伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或截面上、及地势高度之间的关系。§3.2伯努利方程及其应用一、伯努利方程的推导如图，取一细流管，经过短暂时间△t

，截面S1从位置a移到b，截面S2从位置c移到d，流过两截面的体积分别为由连续性原理得在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过△t时间动能变化量：S1aS2cbdΔtΔtv1v2流体经过△t

时间势能变化量：△t时间内外力对该段流体做功：由功能原理

：或即上式即为伯努利方程的数学表达式。S1S2ΔtΔtP1P2h1h2二、伯努利方程的意义（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用(能量守恒）表示单位体积流体流过细流管外压力所做的功；表示单位体积流体流过细流管重力所做的功；表示单位体积流体流过细流管后动能的变化量；（2）静压力基本方程是伯努利方程在流体静力学的应用P19（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。（4）P、h、v均为可测量，他们是对同一流管而言的。（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v之间的关系。伯努利方程(4/7)三实际液体的伯努利方程实际液体在流动时，由于液体存在粘性，会产生内摩擦力，消耗能量；同时，管道局部形状和尺寸的骤然变化，使液体产生扰动，也消耗能量。因此，实际液体在流动时有能量损失，这里可设从截面1流到截面2因粘性而损耗的能量为，则实际液体微小流束作恒定流动时的伯努利方程为：

理想液体的伯努利方程：

上面讨论是假设截面上各处速度相等。由于液体的粘性使通流截面上各处的速度不等，而在实际应用中我们经常用通流截面上的平均流速、来代替各点处的实际流速和，这样必然引起动能上的偏差，故引入动能修正系数，于是实际液体的伯努利方程为

或：

应用伯努利方程时，必须满足以下条件：（1）恒定流动。（2）过流断面必须是渐变面。（3）液体所受的力只是压力和重力。（4）液体是连续不可压缩的，即密度等于常数。（5）所选两截面之间的流量应保持不变。

如图所示，且SB＜＜SA，以A、B两点为参考点，由选取hB处为参考点，其hB=0,hA=h

得三、伯努利方程的应用

小孔流速由伯努利方程：0»=BABAvSSv可知，因PA=P0

PB=P0

所以即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。SASB---托里拆利公式左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。虹吸管粗细均匀，选取A、C作为参考点。虹吸管水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可知，所以此例实质为小孔流速问题如果hA－hB＜0

，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。喷雾原理因SA很小，vA增大使PA大于大气压，容器内流体上升到A处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。ACBhAhBhc由伯努利方程从U形管中左右两边液面高度差可知为U形管中液体密度，为流体密度。比多管

由上两式得较适合于测定气体的流速。常用如图示形式的比多管测液体的流速hhABAB（测量管道中液体体积流量）如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程文丘里流量计

由连续性原理又管道中的流速hSASB水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。如管1中的流量为900cm3•s-1.管1、2、3的截面积均为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，例求解（1）管2、3、4的流量;（2）管2、3、4的流速;（3）管1、4中的压强差.1234v1v2v3v4(1)由连续性原理知

Q4=Q1=900cm3•s-1(3)v1=Q1∕S1=900∕15=60cm•s-1由伯努利方程

∵S2=S3

Q2+Q3=Q1∴Q2=Q3=450cm3•s-1(2)v2=v3=Q2∕S2=450∕15=30cm•s-1v4=Q4∕S4=900∕10=90cm•s-1得∵d1∶d2=2∶1∴S1∶S2=4∶1且v1=1m•s-1

例求解.一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2∶1，已知粗管内水的流速为1m•s-1,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。得v2=4v1=4m•s-1又由由S1v1=S2v2

得水管里的水在压强

P=4.0×105Pa

作用下流入室内，水管的内直径为2.0cm

，引入5.0m

高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm

。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速为4.0m·s-1

。当水龙头关闭时，，由伯努利方程即=3.5×105Pa

S1v1s2v2h2例求解浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。当水龙头完全打开后，=2.3×105Pa

即由伯努利方程：打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。例求解a、b、c、d

各处压强及流速。h1h2abcd如图所示为一虹吸装置，h1

和h2

及流体密度

已知，由题意可知，va

=0,pa

=pd

=p0选d

点所在平面为参考平面，对a

、d

两点应用伯努力方程，有解得因b、c、d各点处于截面积相同的同一流管中，所以由连续性原理，有：对于a、b

两点，有对于a、c

两点，有得：伯努利人物简介丹尼尔·伯努利（1700~1782），1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学习逻辑、哲学、医学和数学。17