数学教案向量X教师版

向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等. ⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+==记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=λλ∈R记=(x,y)则λ=(λx,λy)两个向量的数量积记则·=x1x2+y1y2(二)运算律加法：①(交换律);②(结合律)实数与向量的乘积：①;②;③两个向量的数量积:①·=·;②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+·注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=(三)运算性质及重要结论⑴平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.③当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)⑵两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量,则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0；当与异向时,λ<0。|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。⑶两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则⑷两个向量数量积的重要性质：①即(求线段的长度);②(垂直的判断);③(求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:①两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.②MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h叫做向量在方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.③如果,,则=,∴,这就是平面内两点间的距离公式.课前预习1．在中，2.平面内三点,若∥，则x的值为13.设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(·)(·)=0 ②||-||<||③(·)(·)不与垂直 ④(3+2)·(32)=9||2-4|2中，真命题是②④4.△OAB中,=,=,=,若=，t∈R，则点P在∠AOB平分线所在直线上5.已知,则实数x=____6___.6.已知则_(-2,-6)____,_(4,-2)_____,与的夹角的余弦值是_____.7．在△中,,,若,则=.；8.已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。D(1,1)=(-1,2)BACOFBACOFDE一、平面向量的实际背景与基本概念例1.如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。解：,,,,DCABDCAB例2.如图，在平行四边形ABCD中，a，b，你能用a，b表示向量，吗？=a+b,=a-bDECAB变式1：如图，在五边形ABCDE中，a，bDECABc，d，试用a，b，c，d表示向量和.=a+b+d=-a-b-c-d变式2：已知=a，=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形，则a－b+c－d=0变式3：在四边形ABCD中，若，则此四边形是梯形变式4：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的充要条件 变式5：在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形例3．如图，已知任意两个非零向量a、b，试作a+b，a+2b，baa+3b，你能判断baA、B、C三点共线变式1：已知a+2b，2a+4b，3a+6b(其中a、b是两个任意非零向量)，证明：A、B、C三点共线．证明：∵a+2b，2a+4b，∴所以，A、B、C三点共线．变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且a+b，a+2b，a+3b(其中a、b是两个任意非零向量)，试求m、n之间的关系．n=2m-6例4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：DCEFAB变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为EDCEFAB求证：.三、平面向量的基本定理及坐标表示例5.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a//b，求y．3变式1：与向量a=(12，5)平行的单位向量为或变式2：已知a，b，当a+2b与2a－b共线时，值为变式3：已知A(0,3)、B(2,0)、C(－1,3)与方向相反的单位向量是(0,1)变式4：已知a=(1，0)，b=(2，1)．试问：当k为何实数时，ka－b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向？k=-反向例6.设点P是线段上的一点，、的坐标分别为，．(1)当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；（）(2)当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标（）OAPQBab变式1：已知两点，，，则OAPQBab变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝，＝(用a、b表示)四、平面向量的数量积例7.已知|a|＝6，|b|＝4且a与b的夹角为，求(a+2b)·(ab)．-72变式1：已知那么与夹角为变式2：已知向量a和b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝4，则（2a–b）·等于12变式3：在△ABC中，已知||=4，||=1，S△ABC=，则·等于±2变式4：设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.t＜0且t例8.已知|a|＝3，|b|＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a+kb与ab互相垂直？k=变式1：已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且向量3a+2b与kab互相垂直，则k的值为变式2：已知|a|＝1，|b|＝且（a－b）⊥a，则a与b夹角的大小为．例9.已知a=(4，2)，求与向量a垂直的单位向量的坐标．（-）（）变式1：若i=(1,0),j=(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是－3i+2j或3i－2j变式2：已知向量，，若与垂直，则实数=－1变式3：若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （B） A． B． C． D．变式4：已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x），c＝（2，y）且a∥b，ac．求|b－c|的值．例10.已知A(1，2)，B(2，3)，C(，5)，试判断的形状