2024届江西省新干县第二中学等四校高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2024届江西省新干县第二中学等四校高一数学第二学期期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（）（参考数据：，，）A．年 B．年 C．年 D．年2．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A． B． C． D．3．如图，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于A． B． C． D．14．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球5．若集合A={x|2≤x<4}, B={x|x>3}A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4} C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}6．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）7．已知，，直线，若直线过线段的中点，则（）A．-5 B．5 C．-4 D．48．在等差数列中，若，，则（）A． B．1 C． D．9．已知满足：，则目标函数的最大值为（）A．6 B．8 C．16 D．410．已知变量x，y满足约束条件x+y-2≥0,y≤2,x-y≤0,则A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在锐角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，则AB+AC＝_____12．若首项为，公比为（）的等比数列满足，则的取值范围是________.13．在行列式中，元素的代数余子式的值是________.14．sin750°=15．如图，长方体中，，，，与相交于点，则点的坐标为______________．16．已知向量、满足||＝2，且与的夹角等于，则||的最大值为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知公差的等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：是数列中的项；（3）若正整数满足如下条件：存在正整数，使得数列，，为递增的等比数列，求的值所构成的集合.18．已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.20．如果定义在上的函数，对任意的，都有，则称该函数是“函数”．（I）分别判断下列函数：①；②；③，是否为“函数”？（直接写出结论）（II）若函数是“函数”，求实数的取值范围．（III）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与21．如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，侧面底面，为侧棱的中点，为线段的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．2、C【解析】

计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为，则该三棱柱的体积为．【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.3、D【解析】

由线面垂直的判定定理得：，又，所以面，由线面垂直的性质定理得：，即可求解．【详解】解：连接，因为四边形为正方形，所以，又，所以面，所以，所以异面直线与所成角的正弦值等于1，故选D．【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，属中档题．4、C【解析】

由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；本题选择C选项.【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．5、B【解析】

根据交集定义计算．【详解】由题意A∩B={x|3<x<4}．故选B．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．6、C【解析】试题分析：,故选C.考点：平面向量的线性运算．7、B【解析】

根据题意先求出线段的中点，然后代入直线方程求出的值.【详解】因为，，所以线段的中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单.8、C【解析】

运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．【详解】由题意知，所以.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．9、D【解析】

作出不等式组对应的平面区域，数形结合，利用z的几何意义，即得。【详解】由题得，不等式组对应的平面区域如图，中z表示函数在y轴的截距，由图易得，当函数经过点A时z取到最大值，A点坐标为，因此目标函数的最大值为4.故选：D【点睛】本题考查线性规划，是基础题。10、D【解析】

试题分析：把函数转化为表示斜率为截距为平行直线系，当截距最大时，最大，由题意知当直线过和两条直线交点时考点：线性规划的应用.【详解】请在此输入详解！二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

由正弦定理化已知等式为边的关系，可得结论．【详解】∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．故答案为1．【点睛】本题考查正弦定理，解题时利用正弦定理进行边角关系的转化即可．12、【解析】

由题意可得且，即且，，化简可得由不等式的性质可得的取值范围.【详解】解：，故有且，化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.13、【解析】

根据余子式的定义，要求的代数余子式的值，这个元素在三阶行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代数余子式，解出即可．【详解】解：在行列式中，元素在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代数余子式为：解这个余子式的值为，故元素的代数余子式的值是．故答案为：【点睛】考查学生会求行列式中元素的代数余子式，行列式的计算方法，属于基础题．14、1【解析】试题分析：由三角函数的诱导公式得sin750°=【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．15、【解析】

易知是的中点，求出的坐标，根据中点坐标公式求解.【详解】可知，，由中点坐标公式得的坐标公式，即【点睛】本题考查空间直角坐标系和中点坐标公式，空间直角坐标的读取是易错点.16、【解析】

在中，令，可得，可得点在半径为的圆上，，可得，进而可得的最大值．【详解】∵向量、满足||＝1，且与的夹角等于，如图在中，令，，可得可得点B在半径为R的圆上，1R4，R＝1．则||的最大值为1R＝4【点睛】本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)证明见解析；(3)见解析【解析】

(1)根据等差数列性质,结合求得等再求的通项公式.

(2)先求出,再证明满足的通项公式.

(3)由数列,,为递增的等比数列可得,从而根据的通项公式求的值所构成的集合.【详解】(1)因为为等差数列,故,故或,又公差,所以,故,故.

(2)由可得,故,若是数列中的项,则即,即,故是数列中的项；(3)由数列，，为递增的等比数列,则即.由题意存在正整数使得等式成立,因为,故能被5整除,设,则,又为整数,故为整数设,即，故,解得,又,故,不妨设,则.即又当时,由得满足条件.综上所述,.【点睛】(1)本题考查等差数列性质：若是等差数列，且，则(2)证明数列中是否满足某项或者存在正整数使得某三项为等比数列时,均先根据条件列出对应的表达式,再利用正整数的性质进行判断,有一定的难度.18、（1）（2）【解析】

（1）先由题意得到，求出，再由，作出，得到数列为等比数列，进而可求出其通项公式；（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】解：（1）由题可得.当时，，即.由题设，，两式相减得.所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.（2）由（1）可得，所以，.两边同乘以得.上式右边错位相减得.所以.化简得.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的前项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.19、证明见解析【解析】

先证直线平面，再证平面⊥平面.【详解】证明:∵是圆的直径，是圆上任一点，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【点睛】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.20、（I）①、②是“函数”，③不是“函数”;（II）的取值范围为;（III），【解析】试题分析：（1）根据“β函数”的定义判定．①、②是“β函数”，③不是“β函数”；（2）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得实数a的取值范围（3）对任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，验证。（I）①、②是“函数”，③不是“函数”．（II）由题意，对任意的，，即．因为，所以．故．由题意，对任意的，，即．故实数的取值范围为．（Ⅲ）（）对任意的（a）若且，则，，这与在上单调递增矛盾，（舍），（b）若且，则，这与是“函数”矛盾，（舍）．此时，由的定义域为，故对任意的，与恰有一个属于，另一个属于．（）假设存在，使得，则由，故．（a）若，则，矛盾，（b）若，则，矛盾．综上，对任意的，，故，即，则．（）假设，则，矛盾．故故，．经检验，．符合题意点睛：此题是新定义的题目，根据已知的新概念，新信息来马上应用到题型中，根据函数的定义即函数没有关于原点对称的部分即可，故可以从图像的角度来研究函数；第三问可以假设存在，最后推翻结论即可。21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）连接，交于点；根据三角形中位线可证得；由线面平行判定定理可证得结论；（Ⅱ）由等腰三角形三线合一可知；由面面垂直的性质可知平面；根据线面垂直性质可