2024年高考第二次模拟考试数学试卷（全国卷）（理科）（含答案与解析）

2024年高考第二次模拟考试

高三数学（理科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={dy=log5（x-l）},集合3={yeZ|0WyV3},则（七A）c3=（）

A.（0,1）B.[0,1]C.0D.{0,1}

2.设i为虚数单位，且z（l+i）=2,贝丘=（）

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

3.若向量。涉满足|a|=4,|6|=3,且（24-3分（2a+加=61,贝必在b上的投影向量为（）

1,1,2,-2,

A.——bB.一一bC.—bD.——b

2333

s

4.已知等比数列{4“}的前”项和为S“，4+g=12且%,出+6吗成等差数列，则尚为（）

A.244B.243C.242D.241

5.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生

将前往3个场馆42,C开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时,

场馆2仅有2名志愿者的概率为（）

6.已知函数/（幻=1!1（6+了）-111（6—%）,则/⑴是（）

A.奇函数，且在（0,e）上是增函数B.奇函数，且在（0,e）上是减函数

C.偶函数，且在（0,e）上是增函数D.偶函数，且在（0,e）上是减函数

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]兀

7.〃直线xsin9+—y—1=0与x+ycos6+l=0平行〃是“6=—〃的（）

24

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

8.已知双曲线C:左-方=1（°>0/>0）的左、右焦点分别为小入，A为C的右顶点，以6耳为直

径的圆与C的一条渐近线交于尸，。两点，且NPAQ=亍，则双曲线C的离心率为（）

A.73B.浮C.75D.3

9.1+展开式中常数项为（）.

A.11B.-11C.8D.-7

（JT1TT7T

10.若函数/（尤）=3cos[s+"（o>0）恒有/'（Hw/Q兀），且〃x）在-7,]上单调递减，则。的

值为（）

11.在棱长为1的正方体ABCD-A4GA中，E、/分别为AB、8c的中点，则下列说法不正确的

是（）

A.当三棱锥用-BEF的所有顶点都在球。的表面上时，球。的表面积为三

B.异面直线与片厂所成角的余弦值为挈

C.点P为正方形AqGR内一点，当DP〃平面片E歹时，OP的最小值为迈

4

D.过点，、E、方的平面截正方体ABC。-A耳G2所得的截面周长为30+0

22

12.若点月既在直线山-丁+2=。上，又在椭圆c：A+2=i（〃>b>0）上，。的左、右焦点分别为

ab

F\,F”闺到=2,且/耳的平分线与/垂直，则C的长轴长为（）

A.眄B,风C.叵或巫D.9或强

2242

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知cos（c+2/）=：,tan（a+⑶tan/7=-4,写出符合条件的一个角a的值为.

O

14.在正三棱台ABC-中，AB=2,AB>A与，侧棱他与底面ABC所成角的正切值为行.若

该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为.

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15.已知函数=冰2十人满足对任意的实数相，〃都有f(mn)=f(m)/(n)+2/(m)+2/(n)+2,

则曲线y=/(x)在户-1处的切线方程为.

16.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为ABC的面积，且2s=/一仅一。了，

22

则2h0+r的取值范围为____.

be

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)已知｛凡｝是公差不为零的等差数列，4=1,且成等比数列.

⑴求数歹！J｛%｝的通项公式；

(2)若么=(T严------,求也｝的前1012项和九骏.

an,an+\

18.（12分）在直角梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=245,ZABC=90°,如图（1）.把

△ASD沿翻折，使得平面AftD_L平面BCD.

图⑴图⑵

⑴求证：CD±AB；

⑵在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面AC。所成角为60。？若存在，求出?BN的值；若不存

£>C

在，说明理由.

19.(12分)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续

型随机变量X,定义其累积分布函数为尸a)=P(XW无).已知某系统由一个电源和并联的A,B,C

三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及

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各元件之间工作相互独立.

⑴已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40,4）,且X的累积分布函数为尸（X）,求尸（44）-尸（38）；

⑵在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T（单位:

0,Z<0

天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G（r）=「工f〉0.

,4r，

（团）设4>芍>0,证明：P（r>z1|r>f2）=p（r>r1-r2）；

（回）若第九天元件A发生故障，求第〃+1天系统正常运行的概率.

附：若随机变量¥服从正态分布则P（|Y-〃|<b）=0.6827,P（|F-A1<2（7）=0.9545,

P（\Y-p\<3cr）=0.9973.

20.（12分）已知抛物线E:y2=4x的焦点为「若一ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足

FA+FB+FC=0>则称该三角形为"核心三角形".

⑴设"核心三角形ABC"的一边AB所在直线的斜率为2,求直线A2的方程；

⑵已知是"核心三角形"，证明：一ABC三个顶点的横坐标都小于2.

21.(12分)已知函数/(x)=ln尤,a>0.

⑴若恒成立，求a的取值集合;

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(2)证明：sin--——i-sin--——F+sin—<ln2(neN.).

n+\n+22n

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

X=2COS0L

22.（10分）已知曲线C的参数方程为,反’为参数），直线/过点尸（（M）.

y=73sina

⑴求曲线C的普通方程；

113

⑵若直线/与曲线C交于A,8两点，且两+方=5,求直线/的倾斜角.

选修4-5：不等式选讲

23.（10分）已知函数〃元）=卜2-2》-3|.

⑴求不等式“x"5的解集；

⑵设函数g（x）=/（x）+|x+l|+2的最小值为机，若。＞0,6＞。且2a+b=〃z,求证：4a2+b2＞2.

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2024年高考第二次模拟考试

数学（理科）.全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=打丫=1。85（彳-1）},集合3={yeZ|04y43},则（4A）c3=（）

A.（0,1）B.[0,1]C.0D.{0,1}

【答案】D

【分析】先表示出集合AB,再由交集和补集的运算得出结果即可.

【详解】集合A={Ny=log5a-1）}=何尤＞1},集合B={ywZb"W3}={0,l,2,3},

集合々A={x|xWl},所以&A）c3={0,l}.

故选：D

2.设i为虚数单位，且z（l+i）=2,贝%=（）

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求z,进而可得共辗复数.

【详解】由题意可得：z=「='）

l+i（l+i）（l-i）

所以z=1+i.

故选：D.

3.若向量2》满足|2|=4,仍|=3,且（2a-3办（2a+B）=61,则Z在B上的投影向量为（）

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1122

A.——b7B.——bzC.—b7D.——Zb

2333

【答案】D

【分析】由向量数量积的运算律可得〃.b=-6,再由投影向量的定义求a在力上的投影向量.

【详解】由（2a—3切•（2a+b）=4J—4a力一31=61，则-6=—6，

..,,,5口/一曰a•bb-61,2T

由a在b上的投影向重------=-x-b=--b.

\b\\b\333

故选：D

4.已知等比数列｛q｝的前"项和为S”,-12且q,g+6,生成等差数列，则》为（）

*

A.244B.243C.242D.241

【答案】A

【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前〃项和公式，即可求解.

【详解】由题意可知，4+出=12且q+/=2（%+6）,

设等比数列的公比为4,

贝Uq=2。［4+。|+%4,得q=3,

4(1-到)

8-35

55=244.

$5fll(l-3)-1-3"

1-3

故选：A

5.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬"奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生

将前往3个场馆A,2,C开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时,

场馆8仅有2名志愿者的概率为（）

【答案】B

2

【分析】首先得甲去场馆8或C的总数为150x1=100,进一步由组合数排列数即可得所求概率.

【详解】不考虑甲是否去场馆A,所有志愿者分配方案总数为C；+=150,

2

甲去场馆AB,C的概率相等，所以甲去场馆8或C的总数为150xj=100,

甲不去场馆A,分两种情况讨论，

情形一，甲去场馆B,场馆B有两名志愿者共有C；C；&=24种；

情形二，甲去场馆C,场馆8场馆C均有两人共有C：C；=12种,

场馆8场馆A均有两人共有C：=6种，所以甲不去场馆A时，

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24+12+642_21

场馆8仅有2名志愿者的概率为

~166100-50

故选：B.

6.已知函数/(*)=111(6+了)-111(6-了)，则/⑴是()

A.奇函数，且在(0,e)上是增函数B.奇函数，且在(0,e)上是减函数

C.偶函数，且在(0,e)上是增函数D.偶函数，且在(0,e)上是减函数

【答案】A

【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.

Ie—x>0

【详解】若函数"x)=ln(e+%)-ln(e-%)有意义，则解得-e<x<e,

[e+x>0

即函数/(X)的定义域为(-e,e),

因为/(fOTMe-xAlnle+xb-RMe+xAlMe-xHu-yXx),所以函数/(幻是奇函数，

函数/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)=ln[|=ln|-1+用,

\e-xJ\e-xJ

2e

因为函数〃=-l+——在(O,e)上递增，函数y=ln〃在定义域上递增，

e-x

所以函数，⑺在(O,e)上是增函数.

故选：A

1兀

7.“直线无sind+—y—1=0与x+ycosd+l=0平行"是"6=—”的()

-2-4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可.

【详解】若直线xsinO+gy-1=0与x+ycos6+l=0平行，

1

易得:sin8w0,cosewO,故：sin6_2-1，

1cos01

1II7TJT

则sinOcos。=—sin26=—,sin26=1,20=—+2kn(JcGZ),3=—+kn(kGZ)

22224

TT

得不到6=故不是充分条件；

4

兀11

反之，当时sin。_.T成立，故直线邓缶，+0-1=0与尤+ycose+l=0平行，是必要

4-------=---2----W—/

1COS01

条件；

17T

故“直线无sin6+：v-l=0与x+ycos6+l=0平行"是"。=/的必要不充分条件，

24

故选：B.

22

8.已知双曲线C:二-2=1(0>08>0)的左、右焦点分别为月，F,A为C的右顶点，以G8为直

ab2

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径的圆与C的一条渐近线交于尸，。两点，且/尸4。=彳，则双曲线C的离心率为（）

A.0B.<C.A/5D.3

【答案】C

【分析】联立圆与渐近线方程，得到P（a,6）,Q（F,-b）,进而得到NOAQ=；,利用直线斜率得到

方程，求出Z?=2a,得到离心率.

【详解】由题意得，以耳工为直径的圆的方程为f+、2=02,A（〃,0）,

h

渐近线方程为y=±—x,

a

x2+j2=c2

联立,b，解得x=±。，

y=­x

、a

不妨令P（a,b）,Q（—a,—b）,

TT

故NOAP=5，

因为NPAQ=手，所以N04Q=¥_m=；,

4424

所以"Q=—qh—JA=tanTT：=l,角星得匕=2〃，

-a-a4

9.［尤+［-1］展开式中常数项为（）.

A.11B.-11C.8D.-7

【答案】B

【分析】将X+3看成一个整体，得到&=C；（x+±）4T（-1丫，再展开（无+上产得到

XXX

4-7-3根=0,分别取值得到答案.

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【详解】将X+3看成一个整体，展开得到：

4rr

7；+1=C；(A-+4)-(-l)

X

(X+3)j的展开式为：

X

T_4-r-m-2zn_「根4-r-3/n

im+\~C4-rX=C4-rX

取4-r-3〃z=0

当〃7=0时，r=4系数为：C：xC>(-l)4=l

当租=1时，r=l系数为：C：xGx(-iy=-12

常数项为1-12=-11

故答案选B

【点睛】本题考查了二项式定理，将尤+3看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计

X

算较为复杂.

10.若函数”尤)=3cosI[s+m7TJ।(@>0)恒有，(%)4〃2无)，且“可在-不71,7§r上单调递减，则。的

值为()

15115.11

A.——B.—C.一D.一或一

66666

【答案】D

7T1

【分析】由题意可得当x=2兀时，/(%)取得最大值，所以27r。+§=2析，可求出。=左一再由

求出0的范围，即可得出答案.

7T1

【详解】由题意可得当x=2兀时，f(x)取得最大值，所以27t0+；=2E,(o=k--,keZ.

36

由/(尤)在上单调递减，得3一(一5卜"，

所以O<0V2.所以0或经检验，0或3均满足条件.

6666

故选：D.

11.在棱长为1的正方体ABCO-4耳GA中，E、/分别为AB、8c的中点，则下列说法不正确的

是()

A.当三棱锥用-BEF的所有顶点都在球。的表面上时，球。的表面积为三

B.异面直线与耳尸所成角的余弦值为卓

C.点P为正方形AAGR内一点，当DP〃平面用项7时，OP的最小值为迈

第10页共27页

D.过点2、E、P的平面截正方体ABCD-A与GA所得的截面周长为3近+有

【答案】D

【分析】对于A：转化为长方体的外接球分析运算；对于B：根据异面直线夹角分析运算；对于C：

根据面面平行分析判断；对于D：根据平行关系求截面，进而可得周长.

【详解】对于A：三棱锥的外接球即为以2月、BE、跖为邻边的长方体的外接球，

因为84=1,BE=BF=g,

222

可得外接球的半径R=；^BXB+BE+BF=|Jl+：x2=手,

37r

所以外接球的表面积s=4旅2=5，故A正确；

对于B：因为则异面直线。A与B]F所成角为/2月/，且B4=l,BF=；,

B.F=JBB^+BF2=J1+-=—，所以cosNBBp=西~=

4V42B[F5

所以，异面直线OR与2/所成角的余弦值为半，故B正确;

对于C：取4耳、AR、G2的中点M、Q、N,连接A"、MN、QN、DN,,

由题意可得：AEIIB'M,AE=BlM,则AEgM为平行四边形，所以用£//4加，

因为四边形A4GR为正方形，M.N分别为GR的中点，则AM〃DN,&M=D、N,

所以，四边形A2NM为平行四边形，所以，MNU%D\,MN=AD、,

又因为A£>〃4。，AD=AiDl,可得A1M7AZ),MN=AD,

则AMVD为平行四边形，所以AM//DN,可得％E〃DN,

因为21Eu平面耳EP,£>N(Z平面片£尸，则DN〃平面片£尸，

因为A4,〃CG，M=CQ,则四边形相GC为平行四边形，则AC//AQ,

第11页共27页

因为E、尸分别为AB、8C的中点，则EF〃AC,同理可得QN〃AG，则跖/41，可得QN//EF,

因为EFu平面耳£尸，。'</平面耳£/，则QN〃平面耳EF,

因为DN\QN=N,DN、QNu平面。NQ,所以平面ONQ/平面片EP,

则点P在线段QV上，可得Qv=gaG=乎，

DQ=QN=4DD^+DiN-=^171=^,

所以当点尸为线段QN的中点时，DPLQN,

OP取到最小值，且最小值为J。。。J，”[=里，故C正确;

对于D：连接AC、4G，

因为E、F为AB、8C的中点，则所〃4?,

又因为AV/CG，M=CC,,则A41cC为平行四边形，可得AC//4G，

则EF/AG,

过2作KL//AG，设KLAB]=K,KLB©=L,则戒//跖，

可得K4=4与，LC]=B©,

连接KE、LF,设KEilMuG,LFCQ=H,连接QG、DXH,

可得过点2、E、F的平面截正方体AB3ABCR所得的截面为五边形EFHDfi,

79

因为除=2AE,LC]=2C/则GA=2AG=：,HC、=2CH=q,

可得D[G=DiH=姮,GE=HF=—,EF=—,

362

所以截面周长为2x巫+2x姮+也=拒+也，故D错误;

3622

第12页共27页

L

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面

几何问题求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的

距离相等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体

现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

22

12.若点尸既在直线出-y+2=0上，又在椭圆C:=+「=l(a>6>0)上，C的左、右焦点分别为

ab

斗入，闺闾=2,且/与P鸟的平分线与/垂直，则C的长轴长为()

A.眄B,风C.巫或巫D.风或四

2242

【答案】B

【分析】过点可、工分别作耳N、耳M垂直直线/于点N、M,由/片「骂的平分线与/垂直可得

NFFN=5PM,即可得与F2PM相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出卢耳|、

\PF2\,结合椭圆定义即可得长轴长.

【详解】过点匕、B分别作KN、垂直直线/于点N、M,

作"PF?的平分线PH与x轴交于H,

由山阊=2,故耳(-1,0)、鸟(1,0),

则国年生"悬考，

由且为/耳P骂的平分线，i^ZFlPH=ZF2PH,

又F\N、F2MVI,故/PN与与PM相似,

第13页共27页

^\F2M\\MP\\PF2\3V23'

6

由/比_y+2=0,令y=0,则x=—2,

故直线/与x轴交于点G(-2,0),故|NG|=「L='

即=｝一年；=乎,故河=孚一,s

|£N|_NP\_PF,_1

由怩⑼一MP「PB

故M|=；|MN|=手，\MP\=^\MN\=^^,

3M

4

由椭圆定义可知，I尸耳l+l尸局=2a,故2〃=乎+乎=而,

即C的长轴长为W.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题关键在于作出6N、居M垂直直线/于点N、M,再将/片PK的平分线与

/垂直这个条件转化为N£PN=NBPM,从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及闺=2

得到|尸蜀、|尸园的值.

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知cos(a+2/)=g,tan(a+p)tan/7=-4,写出符合条件的一个角a的值为.

第14页共27页

【答案】y(答案不唯一)

17

【分析】根据题目条件得到cos(a+£)cos〃=2和sin(e+尸)sin£=-：，从而求出

63

121

cos«=cosr(a+,进而求出角a的值.

632

【详解】cos(a+2»)=cos[(a+0+A]=cos(2+mcosy0-sin(a+0sin»,

故cos(a+/?)cos£-sin(a+/?)sin13=—,

sin(a+尸)sinP

tan(a+£)tan/=-4即----------=-4

cos(a+p)cos尸

故sin(a+/?)sin/?=Tcos(a+0cos尸,

故5cos(a+尸)cosP=—,即cos(a+6)cos13=—,

66

2

则sin(a+尸)sin尸=-4cos(i+尸)cos尸=——,

£2

则cosa=cos[(2+尸)一力]=cos(2+尸)cos/?+sin(a+尸)sin尸J.

6-32

可取。=y.

9IT

故答案为：—

14.在正三棱台ABC-A4G中，AB=2,AB>A由，侧棱AA与底面ABC所成角的正切值为下.若

该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为.

【答案】逆

12

【分析】取BC和耳G的中点分别为尸，Q,上、下底面的中心分别为a，02,设A4=无，内切球

半径为r,根据题意求出侧棱长以及。/,0tQ,再根据切线的性质及等腰梯形和梯形AA©?

的几何特点列方程组求出半径即可.

【详解】如图，取BC和耳G的中点分别为尸，Q,

上、下底面的中心分别为。一。2，

设A4=x,内切球半径为广，因为tan/AAQ=血，棱台的高为2厂，

所以A4f=3耳=CC]=+（应rj=屈r,

0,P=-AP=-x^-AB=—,同理O]Q=@x.

33236

因为内切球与平面BCG用相切，切点在PQ上，

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所以尸°=0/+。©=追■(尤+2)①，

6

在等腰梯形BB&C中，P0=(V6r)2-1『I②，

由①②得6/一[Ui=GJ-

在梯形招。尸中,尸02=(2广+再一即q③，

I36J

由②③得2-x=指厂，代入得x=l,则棱台的高〃=2r,

所以棱台的体积为*巧+%4+”日=*.

故答案为：述.

15.已知函数/"(天户^3+依?+b满足对任意的实数〃都有/(7wn)=/(zn)/(ra)+2/(wz)+2/(n)+2,

则曲线y=/(x)在x=-1处的切线方程为.

【答案】3x-y=0

【分析】构造函数g(x)=/(x)+2,将已知等式转化为g(m)=g(/n)g(〃),再利用赋值法求得g(O)

与g(l),进而求得。，以再利用利用导数的几何意义即可得解.

【详解】因为/(〃wt)=f(m)f(n)+2f(m)+2f(n)+2,

所以〃加7)+2=(〃回+2)(〃“)+2),

设g(x)=/(x)+2=x3+ar2+b+2,

贝ljg(w7)=g(m)g("),

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令〃Z=〃=O,则g(o)=g2(o),则g(o)=o,或g(o)=l,

若g(o)=l,则由g(o)=g(%)g(o),得g(m)=l,显然不成立,

所以g(O)=O,即6+2=。，则6=—2

令"7=1,则g(〃)=g(l)g(〃),由于g(")不恒为0,

故=即l+a+b+2=l,则a=0,

此时〃x）=d-2,经检验，满足要求,

则〃-1)=一3,f'(x)=3x2,所以/•'(—1)=3,

所以曲线丁=/（尤）在x=-l处的切线方程为y+3=3（x+l）,即3x-y=0.

故答案为：3x-y=0

16.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为..ABC的面积，且2s=/,

/72+「2

则2上的取值范围为

be

【答案】方34、

【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sinA+2cosA=2,再根据同角关系式可得sinA,然

643

后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得-=■；~结合条件可得tanC取值范围，进而

c5tanC5

求得2的取值范围，令2=r,则然后由对勾函数的单调性即可求出.

cbe

【详解】在一ABC中，由余弦定理得标=）2+/-26ccosA,

且-ABC的面积S=-1z?csinA,

由2s=/—()—of,得历511124=2/2(:-2/2℃0$24,化简得sinA+2cosA=2,

又Ae呜22

，sinA+cosA=1J联立得5sin2A-4sinA=0,

4

角军得sinA=g或sinA=0(舍去)，

所以bsinB_sin(A+C)sinAcosC+cosAsinC43

------------1—，

csinCsinCsinC5tanC5

因为ABC为锐角三角形,

所以0<C<5，B=兀-A-C<5,所以5―

1_3二匚21b

所以tanC>tan^-A嬴入=W'所以布e,所以9e

H.c4

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、八b甘rk,/35、p.,b+cbc1

设一=乙其中，££，£,所c以=_+：=/+_,

c5Jbecbt

由对勾函数单调性知y=/+；在［I，"上单调递减，在卜,号上单调递增，

当I时，尸2；当屋3时，严管34；当仁5时，y=(341，

「34、*+「「34、

所以ye2,—,即2±£2_的取值范围是2,—.

.13/beL

故答案为：2喘.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得2643进

c5tanC5

而可以求解.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)已知｛见｝是公差不为零的等差数列，4=1,且%。2,生成等比数列.

⑴求数列｛可｝的通项公式；

4〃

+，

(2)若bn=(-1)-------,求物〃｝的前1012项和Tm2.

an'an+l

【答案】⑴%=2,7-1

(2)&]2=型"

10122025

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；

(2)由裂项相消法可求出前1012项和.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

又％=1,则O,=q+d=1+d,a5=al+4d=l+4d,

因为q,4,%成等比数列，所以

BP(l+t/)2=lx(l+4J),

得d、2d=0,

又因为｛4｝是公差不为零的等差数列，所以d=2,

即an=%=l+(n-1)x2=277-1...........................6分

(2)由(1)知

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（11

%-严-=-严（2I）Q+l）=罚+罚

^1012+Z?+011+4oi2

=a+b2+b34+伪

11

1++++-------F

72）2021康K」

।12024

12分

一—2025—2025

18.（12分）在直角梯形A3CD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2下,ZABC=9Q°,如图（1）.把

△ABD沿翻折，使得平面平面BCD.

图⑴图⑵

⑴求证：CD1AB；

(2)在线段BC上是否存,在点N,使得AN与平面ACD所成角为60。？若存在，求出B芸N的值；若不存

BC

在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在,合；

【分析】(1)利用勾股定理证明再根据面面垂直的性质可得CD_L平面ABD,再根据线面

垂直的性质即可得证；

(2)以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)因为AD〃3c,>BC=2AD=2AB=2^,AB±BC,

可得AO=A3=夜，BD=\lAB2+AD2=