机器人技术基础 课件 第4章 机器人动力学分析

第4章机器人动力学分析机器人技术基础问题导入第三章讨论的运动学只关心机械臂的位姿，并没有考虑其到达各位姿的快慢，而工业机器人在实际工作中速度是一个无法回避的问题。因此，本章的第一节就讨论各关节的运动速度与机器人手部运动速度之间的映射关系，这里引入了速度雅克比矩阵。问题导入仍以图中的6轴机械臂为例，如果夹爪夹起了物料以很慢的速度运动，或者静止在某个位姿，为了保持机械臂的静平衡状态，各关节电机应该输出多大的力矩？本章的第二节静力学分析讨论的就是各关节的驱动力矩与机器人手部输出的静力之间的映射关系，这里引入了力雅克比矩阵，而它正好是速度雅克比矩阵的转置。这也是将速度分析与力学分析归入同一章的原因。问题导入工业机器人完成搬运作业时，为了兼顾工作效率和工作质量，我们希望它在拿起和放下物料时做到慢而准，而运送过程要稳而快，这就要求机器人在不同位姿提供不同的速度和加速度。那么机器人的位置、速度和加速度与各关节的驱动力矩之间又有怎样的关系？这就是本章第三节动力学分析的研究主题。本章学习目标1.理解速度雅克比矩阵的构成及其推导过程；2.能够利用速度雅克比矩阵求解速度运动学正逆问题；3.理解奇异点产生的原因及带来的问题；4.理解建立机械臂手部广义力F与关节力矩的映射关系的过程；5.能够利用力雅克比矩阵求解静力学的两类问题；6.能够用拉格朗日方程建立简单多刚体系统的动力学方程；7.理解二自由度机械臂动力学方程各项的物理意义；8.掌握利用MATLAB及其符号工具箱辅助公式推导与计算的方法。目录contants4.1速度分析4.2静力学分析4.3动力学分析第4章机器人动力学分析4.1速度分析4.1.1速度雅克比4.1.2速度分析4.1.1速度雅克比4.1.1速度雅克比例4.14.1.1速度雅克比例4.14.1.1速度雅克比例4.1将其写为矩阵形式令则有4.1.1速度雅克比例4.1机械臂手部在操作空间的移动速度各关节在关节空间的运动速度定义了这两者之间的关系仅由关节1运动引起的机械臂手部的速度仅由关节2运动引起的机械臂手部的速度手部的速度V是这两个速度矢量的合成4.1.1速度雅克比例4.1拓展练习：借助MATLAB软件和符号工具箱可以完成以上推导过程，此外还可建立二自由度仿真机械臂，方便观察。4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2机械臂手部在操作空间的移动速度各关节在关节空间的运动速度定义了这两者之间的关系仅由关节1运动引起的机械臂手部的速度仅由关节2运动引起的机械臂手部的速度仅由关节6运动引起的机械臂手部的速度手部的速度V是这6两个速度矢量的合成4.1.1速度雅克比例4.2拓展练习：手工完成6轴机械臂的相关推导和运算非常困难，这也是我们必须学会使用计算软件的原因。借助MATLAB软件和符号工具箱可以比较容易地完成以上推导过程。思考：通过运行上面的程序可以发现，上式中雅克比矩阵的第5列和第6列均为0，请问该如何解读？4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2思考：添加转角之后的雅克比矩阵比较复杂，不经过计算，请判断该矩阵的第5列和第6列是否全为0？4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2拓展练习：借助MATLAB软件和符号工具箱求出思考题中的雅克比矩阵，并检查你的思考题答案是否正确。第4章机器人动力学分析4.1速度分析4.1.1速度雅克比4.1.2速度分析4.1.2速度分析4.1.2速度分析4.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析例4.3例4.34.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析拓展练习：借助MATLAB软件及其符号工具箱，可以非常方便地完成以上推导和计算。工业机器人通常是6自由度的，奇异点比上例中的二自由度机械臂更多，会给轨迹规划带来困扰，因此有必要进一步了解。当机械臂中的两轴共线时，速度雅克比矩阵内各列并非完全线性独立，这会造成矩阵的秩减少，其行列式值为零，则逆速度雅克比矩阵不存在。因此奇异点常发生于两轴或多轴共线时。当机械臂的轴数增加时，发生奇异点的位置也会增加。以6轴机械臂为例，它的奇异点分为三类：腕关节奇异点、肩关节奇异点和肘关节奇异点。4.1.2速度分析当第5轴的转角为0，就会导致第4轴与第6轴共线，此时出现腕关节奇异点，如图（a）所示；（a）腕关节奇异点4.1.2速度分析当第1轴与腕关节中心C点（第5轴与第6轴之交点）共线时，出现肩关节奇异点，如图（b）所示（b）肩关节奇异点4.1.2速度分析当腕关节中心C点与第2轴、第3轴共面时，出现肘关节奇异点，如图（c）所示（c）肘关节奇异点4.1.2速度分析机器人奇异点不仅会导致无法求解速度逆运算，还会造成机械臂自由度减少，无法实现某些运动；或者使得某些关节角速度趋向于无穷大，导致失控。比如喷涂机器人要用喷枪以稳定的速度画一条直线，已知操作空间的速度，通过速度逆雅克比矩阵就可以计算出各关节的速度，并通过控制各电机达到相应的速度完成该直线的绘制。但如果该直线上某点正好在机械臂的奇异点附近，计算出的关节速度就会非常大，电机根本无法达到，就会引发报警，严重的时候电机甚至会失控。因此，如何规避奇异点，是机器人制造商和机器人用户都必须认真对待的问题。4.1.2速度分析多年来，机器人制造商一直都致力于改进其奇异点规避技术。比如在软件中限制机器人各关节的最大速度就是一个办法，当关节被命令以“无限大”的速度运动时，软件就会自动降低其速度，等它通过了奇异点，再以正确的速度完成剩余的运动。同时，机器人使用者也能做出自己的贡献。比如，机器人的工作轨迹通常并非唯一，在轨迹确定之前必须在仿真软件中多做模拟，尽量避免轨迹经过奇异点。如果实在无法避免，也要注意在奇异点附近将控制手部的方式切换为控制关节的方式，等安全度过奇异点后再切换回来。机器人奇异点问题一直是一个研究热点，或许读者也会投身其中并做出自己的贡献。4.1.2速度分析目录contants4.1速度分析4.2静力学分析4.3动力学分析第4章机器人动力学分析4.2静力学分析4.2.1力雅克比4.2.2静力学的两类问题机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动时，作用在机器人上的力和力矩问题。串联机器人在工作中，手部与环境接触，环境会对手部产生作用力，各关节的驱动装置提供关节力矩，通过连杆传递到手部，克服外界的作用力，使机器人保持平衡状态。本节将讨论机械臂在静平衡状态下，关节驱动力/力矩与机械臂手部的力/力矩之间的关系，这是研究机器臂力控制的基础。4.2静力学分析4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比第4章机器人动力学分析4.2静力学分析4.2.1力雅克比4.2.2静力学的两类问题4.2.2静力学的两类问题4.2.2静力学的两类问题6个未知数7个方程已知如果JT满秩，则属于过约束状态，因此F没有精确解，但可以通过最小二乘法求得F的近似解。4.2.2静力学的两类问题例4.44.2.2静力学的两类问题例4.44.2.2静力学的两类问题例4.4所以4.2.2静力学的两类问题例4.4目录contants4.1速度分析4.2静力学分析4.3动力学分析第4章机器人动力学分析4.3动力学分析4.3.1动力学分析基础和方法4.3.2拉格朗日方程4.3.3关节空间和操作空间中的动力学方程4.3.1动力学分析基础和方法

一个可爱的小姑娘走在你前面，跟随她蹦蹦跳跳的步伐，马尾辫在微风中自然地起伏、摇晃、飘扬。这是每个人都司空见惯的场景，然而要在动画片中模拟出这个画面却实非易事，因为头发所受外力及其质量、弹性、曲直等内在特性，都会影响其运动状态。如果不通过数学模型建立力与运动之间的联系，就无法产生逼真的动画效果。4.3.1动力学分析基础和方法机器人的运动状态同样与其所受外力及其本身的一些特性紧密相关。机器人动力学研究的就是机器人运动与广义关节驱动力之间的动态关系，描述这种动态关系的数学方程被称为动力学方程，它是机器人动态仿真和控制器设计的基础。机器人动力学有两类问题：①动力学正问题：已知关节的广义驱动力，求机器人相应的运动参数，包括各关节的位移、速度和加速度。动力学正问题是机器人动态仿真的基础。②动力学逆问题：已知机器人各关节的位移、速度和加速度，求相应关节的广义驱动力。动力学逆问题是机器人控制器设计的基础。4.3.1动力学分析基础和方法我们通常假设机器人的连杆、驱动装置、传动元件等均为刚体，因此对于大多数工业机器人而言，其动力学分析建立在多刚体动力学基础之上。对于弹性手臂机器人或者柔性机器人的动力学分析，则必须考虑系统弹性或非线性因素，其数学模型的建立会更为复杂。本节讨论的机械臂为前者，即多刚体系统。4.3.1动力学分析基础和方法研究多刚体动力学有多种方法。动力学方程须将力与运动（位移、速度、加速）联系起来，大多数读者都熟悉牛顿力学，因此最容易联想到的便是牛顿-欧拉法，该方法核心公式有两个。首先是1687年提出的牛顿第二定理，用于描述物体平动时的质心加速度、质量与合力的关系，这里称为牛顿方程，即在牛顿方程的基础上，欧拉于1750年提出了欧拉方程，该方程用于描述物体转动时角速度、角加速度、惯性张量和合力矩之间的关系，即牛顿-欧拉方程4.3.1动力学分析基础和方法采用牛顿欧拉法研究多刚体动力学，需要逐一分析系统内各构件的受力情况，主动力和约束力均需要考虑，约束越多方程越复杂。而且，牛顿和欧拉方程均为矢量方程，需要通过建立坐标系将其分解到X,Y,Z方向，一个矢量方程变为多个代数方程（二阶微分方程），然后再进行求解。因此，随着系统构件的增加，动力学方程数量会直线上升，复杂性不断增加，对建立和求解动力学方程的难度都比较高。牛顿-欧拉方程4.3.1动力学分析基础和方法18世纪正是牛顿力学如日中天之时，它在各个领域证明着自己的正确性和有效性，甚至可以精确描述遥不可及的行星轨道，被视为宇宙不二真理。在这种背景下，企图另立一个力学体系不啻为不可思议的疯狂行为。然而，令人肃然起敬的挑战者依然出现了——分析力学的诞生是对牛顿力学的革命性冲击！4.3.1动力学分析基础和方法静力学分析中用到的虚功原理，是约翰伯努利于1717年提出的，这是分析力学攻占的第一块领地；1743年，达朗伯提出达朗伯原理，建立了静力学与动力学的密切联系；1760年，拉格朗日提出了解决动力学问题的拉格朗日方程，并于1788年出版了著名的《分析力学》一书，标志着分析力学日趋成熟。《分析力学》整本书没有一幅图，这在牛顿力学是无法想象的。这是因为分析力学是从能量的角度研究动力学，其基本方程均为标量方程，这样就摆脱了牛顿力学中常见的选择坐标系、受力分析等带来的困扰。而且，该方法的运用更为程式化，即对于千变万化的系统，建立动力学模型的过程十分类似，因此更便于掌握、利用和推广。4.3.1动力学分析基础和方法当量子力学出现之后，人们发现分析力学还有一个其创造者都预想不到的神奇之处，即其看待问题的方式以及很多概念和方程，可以非常容易地过渡到量子力学。因此，可以说分析力学是沟通经典物理和量子物理的桥梁，也是进入各个物理学前沿的必备知识。常见的动力学研究方法还有高斯原理法、凯恩方程法、旋量对偶数法、罗伯逊-威登堡法等，有兴趣的读者可以查阅相关文献，这里仅对拉格朗日方程做详细介绍。第4章机器人动力学分析4.3动力学分析4.3.1动力学分析基础和方法4.3.2拉格朗日方程4.3.3关节空间和操作空间中的动力学方程4.3.2拉格朗日方程拉格朗日函数定义为机械系统的动能(kineticenergy)与势能(potentialenergy)之差，即4.3.2拉格朗日方程从以上公式可以看出拉格朗日方程的三个特点：①系统的拉格朗日方程个数与其广义坐标个数相同广义坐标数通常就是自由度数，约束越多则自由度越少，所以方程个数也越少。而在牛顿力学中约束个数越多，要分析的约束力就越多，建立的动力学方程就越复杂。②拉格朗日方程是标量方程相比建立在矢量方程上的牛顿-欧拉法，标量方程摆脱了选择坐标系、受力分析等几何运算的麻烦。③系统的特点完全由拉格朗日函数L体现这个特点增加了研究不同系统的动力学问题时的共性，使得研究方法更为程式化。4.3.2拉格朗日方程如果读者对拉格朗日方程的推导过程感兴趣，可以参考经典力学相关书籍。但我们也可以认为拉格朗日方程是不需要证明的公理，只要方程反应的规律与现实世界中的物理实验结果一致，即可证明其正确性，其价值就应与一样得到认可。为了帮助读者掌握用拉格朗日方程分析动力学的方法并深刻体会其特点，一起来看两道例题。4.3.2拉格朗日方程例4.54.3.2拉格朗日方程例4.5解：滑块和直角劈构成一个多刚体系统，可以使用拉格朗日方程来建立其动力学方程，具体步骤如下。（1）确定广义坐标和广义驱动力4.3.2拉格朗日方程例4.5（2）求系统动能4.3.2拉格朗日方程例4.5（3）求系统势能假设以X轴为零势能线。在整个运动过程中，直角劈的质心高度并无变化，也就是其势能为一个常数，由于后续步骤中会对拉格朗日函数求导，而常数项的有无并不会影响计算结果，因此此处可以忽略直角劈的势能。同理，滑块的势能本应按其质心的高度进行计算，但为计算方便，完全可以按其顶点高度计算，因为二者之差为常数，也不会影响最终结果。因此，系统势能写为4.3.2拉格朗日方程例4.5（4）求拉格朗日函数（5）建立拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.5（5）建立拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.54.3.2拉格朗日方程例4.5拓展练习：借助MATLAB软件及其符号工具箱，可以非常方便地完成以上推导和计算。4.3.2拉格朗日方程例4.5思考：请读者根据牛顿方程F=ma尝试求解该问题，并体会其不同于拉格朗日方程的求解过程和特点。4.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.6解：二自由度串联机器臂可以看作一个多刚体系统，可以使用拉格朗日方程来建立其动力学方程，具体步骤如下。（1）确定广义坐标和广义驱动力（2）求系统动能4.3.2拉格朗日方程例4.6（2）求系统动能4.3.2拉格朗日方程例4.6（2）求系统动能将上面两式带入进而求出杆2的平动动能为4.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.6该式体现了关节驱动力矩与关节加速度、速度、位移之间的关系，即力与运动之间的关系，我们称之为二自由度串联机器臂的动力学方程。4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.6拓展练习：借助MATLAB软件及其符号工具箱，可以非常方便地完成以上推导和计算。4.3.2拉格朗日方程例4.6思考：请读者思考用牛顿-欧拉法求解例4.5和4.6的思路和过程，并与用拉格朗日方程法对比，体会哪一种更易于程式化。4.3.2拉格朗日方程通过例4.6可以看出，对于最简单的二自由度平面关节型串联机器人，其动力学方程已经如此冗长，而且两个关节之间的耦合错综复杂。那么对于常见的6轴工业机器人，其动力学方程之繁复庞杂必将更为惊人，6个关节的耦合必定盘根错节。求解这样的微分方程，需要做大量计算，十分耗时，所以机器人的动力学模型很难用于机器人实时控制。4.3.2拉格朗日方程然而，高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，是机器人动力学研究追求的目标。动力学模型常见的简化方法有以下几种。①当杆件很轻时，动力学方程中的重力项可以省略；②当关节速度不是很大时，动力学方程中包含关节速度的向心力项和科式力项可以省略；③当关节加速度不是很大时，即关节电机的升降速不是很突然时，动力学方程中包含加速度的惯性力项可以省略。4.3.2拉格朗日方程思考：如果真的可以对动力学方程做如此大刀阔斧的简化，那么建立在其上的机器人控制系统还能有什么精度可言？如果你暂时无法回答，请在学习完机器人控制系统一章后，再来回顾该问题，看看是否会有新发