高三下学期第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析

第页高三下学期第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一选择题：本大题共8小题每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则中元素个数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定义求解即可.【详解】由题意得显然元素个数为3故选：B2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将代入利用复数乘法运算可得.【详解】由可得则.故选：B3.已知，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据投影向量公式求解即可.【详解】由题意向量在向量方向上的投影向量为.故选：A4.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之问各若干？”其大意是现有俸粮305石分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员依照品级递减13石分这些俸粮问每个人各分得多少俸粮？在这个问题中正二品分得的俸粮是（）A.35石 B.48石 C.61石 D.74石【答案】C【解析】【分析】由等差数列的定义结合求和公式得出正一品的俸粮数进而得出正二品分得的俸粮数.【详解】正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列由题意是以为公差的等差数列且解得．故正二品分得俸粮的数量为（石）．故选：C5.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数由得因此当且仅当即时取等号所以的最小值为.故选：B6.定义在上的函数和的图象关于轴对称且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.【详解】由题意得函数是奇函数，则关于对称另知函数和的图象关于轴对称故关于对称故选：D7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角余弦的和差公式结合二倍角公式求解即可.【详解】由题意得又，则解得故则故选：C8.在平面直角坐标系中已知为圆上两点点且，则线段长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】易知以为邻边作平行四边形为矩形由平面向量可证明再由可得其取值范围.【详解】以为邻边作平行四边形由可得四边形为矩形如下图所示：可得解得即即点轨迹是以为圆心半径为的圆易知所以线段的长的取值范围是.故选：D【点睛】关键点点睛：本意关键在于利用平面向量证明求得再结合圆上点到定点距离最值问题求得结果.二选择题：本大题共3小题每小题6分共18分．在每小题给出的选项中有多项符合要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分有选错的得0分．9.某学校为了解高三学生的体重情况采用分层随机抽样的方法从高三名学生中抽取了一个容量为的样本．其中男生平均体重为千克方差为女生平均体重为千克方差为男女人数之比为下列说法正确的是（）A.样本为该学校高三的学生 B.每一位学生被抽中的可能性为C.该校高三学生平均体重千克 D.该校高三学生体重的方差为【答案】BCD【解析】【分析】根据样本以及总体的定义可判断A错误利用抽样比可判断B正确利用男生女生的平均体重和方差可分别计算出样本的平均值和方差由此估计总体均值及方差可判断CD正确.【详解】由分层抽样方式可得总体为该学校高三的学生样本是抽取的名学生即A错误由抽样比为可得每一位学生被抽中的可能性为即B正确由男生女生体重以及男女人数之比为可得抽取样本学生平均体重为因此可由样本估计总体求得该校高三学生平均体重千克即C正确由男女生样本方差可求得总体样本方差为由样本方差为可估计该校高三学生体重的方差为即D正确故选：BCD10.已知函数下列选项正确的有（）A.若的最小正周期，则B.当时函数的图象向右平移后得到的图象C.若在区间上单调递增，则的取值范围是D.若在区间上有两个零点，则的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】利用周期公式可判断A正确由平移规则可求判断B错误由余弦函数图像性质可得解不等式可判断C正确根据零点个数可求得即可得的取值范围是可得D错误.【详解】对于A若的最小正周期可得可得即A正确对于B当时可得的图象向右平移后得到即B错误对于C由可知若在区间上单调递增可得因此需满足解得显然当时符合题意即可得所以C正确对于D当时若在区间上有两个零点可得解得即的取值范围是所以D错误故选：AC11.已知正方体的棱长为点分别是棱的中点点是侧面内一点含边界若平面，则下列说法正确的有（）A.点的轨迹为一条线段 B.三棱锥的体积为定值C.的取值范围是 D.直线与所成角的余弦值的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A：通过证明面面可得点的轨迹对于B：根据到平面的距离为定值来判断对于C：利用面积法来判断对于D：建立空间直角坐标系求出线线角的余弦然后求最小值即可.【详解】对于A：取的中点分别为由正方体的性质易得又面面面面所以面面又面所以面面又平面点是侧面内一点含边界所以点的轨迹为线段A正确对于B：的面积为定值因为平面所以点到平面的距离为定值，则点到平面的距离为定值所以为定值B正确对于C：所以点到的距离C错误对于D：如图建立空间直角坐标系设又所以所以令，则所以当即时取最大值，则取最小值即直线与所成角的余弦值的最小值为D正确.故选：ABD.三填空题：本大题共3小题每小题5分共15分．把答案填在答题卡的横线上．12.的展开式中的系数为_________．【答案】【解析】【分析】利用展开式求出所有含的项即可得出系数为.【详解】由二项式定理可知展开式中含有的项为所以可得展开式中的系数为.故答案为：13.如图所示一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和圆台的高为，则该球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】取得圆台轴截面利用勾股定理求出外接球半径即可得出该球的表面积.【详解】取圆台轴截面如下图所示：易知设外接球的半径为利用勾股定理可得且即可得解得所以该球的表面积为故答案为：14.已知离散型随机事件发生的概率若事件分别表示不发生和至少有一个发生，则________________．【答案】①.②.##0.5【解析】【分析】根据题意由概率的乘法公式可得进而求出由条件概率公式计算可得答案．【详解】根据题意，则又由，则（B）则由于表示至少有一个发生，则同时表示至少有一个不发生，则有则又．故答案为：．四解答题：本大题共5小题共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．15.已知锐角的内角的对边分别为其外接圆半径满足．（1）求的大小（2）若求的面积．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理求得即可求得（2）根据三角形内角和定理求得再结合余弦定理求得利用面积公式求解即可.【小问1详解】在锐角中．又A为锐角.【小问2详解】由余弦定理得．16.如图在多面体中四边形是边长为的正方形平面平面．（1）求证：（2）求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行线性质结合余弦定理可得进而可得再根据面面垂直的性质可得平面ABCD结合线面垂直的性质与判定证明即可（2）以A为原点的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系再根据面面角的向量方法求解即可.【小问1详解】证明：因为所以．因为所以由得．因为所以．因为所以．因为平面平面ABCD平面平面平面ADFE所以平面ABCD．因为平面ABCD所以连接AC在正方形ABCD中因为AFAC相交且AF平面AFC所以平面AFC．因为平面AFC所以．【小问2详解】由（1）知ABADAF两两垂直以A为原点的方向为xyz轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则设平面BDF的一个法向量为由得：令，则得．设平面BCF的一个法向量为由得：令，则得．．设平面BDF与平面BCF所成角为由图可知为锐角即所以平面BDF与平面BCF所成角的余弦值为．17.已知圆和定点是圆上任意一点线段的垂直平分线交于点设动点的轨迹为曲线E．（1）求曲线的方程（2）设过的直线交曲线于两点（点M在轴上方）设直线AM与BN的斜率分别为求证：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）画出图形由垂直平分线以及圆半径性质可得P的轨迹是以为焦点的椭圆再根据椭圆定义及焦点坐标可求得其标准方程（2）设出直线的方程并于椭圆联立写出的表达式并利用韦达定理代入整理变形可求得.【小问1详解】圆的标准方程为所以圆心半径为6由题意得如下图所示：可得即可知P的轨迹是以为焦点的椭圆．设曲线E的方程为则所以即曲线E的方程为【小问2详解】如下图所示：易知分别为椭圆的左右顶点可设l的方程是设联立得，则．可得可得为定值．18.某手游公司开发了一款学习类的闯关益智游戏每一关的难度分别有ⅠⅡⅢ三级并且下一关的难度与上一关的难度有关若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ，则下一关的难度依次是ⅠⅡⅢ的概率分别为若上一关的难度是Ⅲ，则下一关的难度依次是ⅠⅡⅢ的概率分别为已知第关的难度为Ⅰ．（1）求第关的难度为Ⅲ的概率（2）用表示第关的难度为Ⅲ的概率求（3）设记且对任意恒成立求实数的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据各关难度等级利用独立事件乘法概率公式计算可得结果（2）利用递推关系式可证明为等比数列可得通项公式（3）易知利用裂项相消可求得再由函数单调性可得即可得出的最大值为.【小问1详解】由第关的难度为Ⅰ可知第2关的难度依次是ⅠⅡⅢ的概率分别为第3关的难度是Ⅲ的概率为【小问2详解】由题意可得表示第n关的难度为Ⅲ的概率表示第关的难度为Ⅲ的概率则整理可得根据题意得所以是首项为公比为的等比数列可得即．【小问3详解】由（2）知可得因此易知单调递增所以对任意恒成立只需满足即的最大值为．19.设函数．（1）若求函数图象在处的切线方程（2）若在处取得极小值求的单调区间（3）若恰有三个零点求的取值范围．【答案】（1）（2）单调递减区间为单调递增区间为和（3）【解析】【分析】（1）求导然后利用导数的几何意义求出切线方程（2）求导对导函数因式分解得到或分和三种情况结合函数单调性得到时满足要求从而得到函数的单调区间（3）转化为有两个不为2的实数根构造函数求导得到其单调性和值域情况从而得到且求出答案.【小问1详解】时切线斜率又切线方程为：即．【小问2详解】令得或．①当即时令得令得或所以在区间上单调递减在区间和上单调递增所以在处取得极小值此时符合题意②当即时所以在区间R上单调递增所以处不取极值此时不符合题意③当即时令得令得或所以在区间上单调递减在区间和上单调递增所以在处取得极大值此时不符合题意．综上所述单调递减区间为单调递增区间为和．【小问3详解】