高二下学期期中考试数学试卷-含有参考答案与解析

第页高二下学期期中考试数学试卷-含有参考答案与解析考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.曲线：在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数求得切线的斜率运用点斜式方程可得切线的方程．【详解】解：的导数为所以曲线在点处的切线斜率为

即曲线：在点处的切线方程为即为．

故选：A.2.仅有甲乙丙三人参加四项比赛所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（）种.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】每个冠军都有3种可能因为有四项比赛根据乘法原理可得冠军获奖者的可能情况．【详解】解：由题意每项比赛的冠军都有3种可能因为有四项比赛所以冠军获奖者共有种可能故选：C．3.已知点，则点到直线的距离是（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.【详解】设可求得所以．故选：B4.记Sn为等差数列{an}的前n项和给出下列4个条件：①a1=1②a4=4③S3=9④S5=25若只有一个条件不成立，则该条件为（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算对比即可得出结果.【详解】设等差数列{an}的公差为即即.当时①③④均成立②不成立.故选：B5.德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数其中出现0的概率为出现1的概率为记当电路运行一次时的数学期望（）A B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根据二项分布求期望.【详解】由题意故故选:C.6.“送出一本书共圆读书梦”某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动运送的卡车共装有10个纸箱其中5箱英语书2箱数学书3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书数学书和语文书计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书事件表示丢失的一箱为分别表示英语书数学书语文书．由全概率公式得．故选：A7.已知函数若存在使不等式成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由定义知为奇函数应用导数研究单调性将问题转化为上求的取值范围.【详解】由题设即在R上为奇函数在上故在上递增易知：在R上递增又，则即上令，则故上递增上递减而此时综上的最小值为.故选：A8.如图在杨辉三角形中斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：…记此数列的前n项之和为，则的值为（）．A.452 B.848 C.984 D.1003【答案】C【解析】【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式分别求奇数项和与偶数项和从而得到前n项和.【详解】设数列为前32项里面有偶数项16项奇数项16项当为偶数时易知且所以所以偶数项之和为当为奇数时…所以，则所以前32项里面奇数项和为：又由组合数性质所以所以.故选：C.二多项选择题（本题共4小题每小题5分共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分．）9.在等比数列中若对正整数n都有那么公比的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据判断出即且.进而根据推知则最后可得的范围.【详解】在等比数列中若对正整数都有,则即若，则数列为正负交错数列上式显然不成立若，则,故因此.所以公比的取值可以是故选：BD.10.已知分别为随机事件的对立事件，则下列说法正确的是（）．A. B.C.若独立，则 D.若互斥，则【答案】BCD【解析】【分析】结合互斥事件对立事件的定义根据条件概率公式判断．【详解】选项A中：故选项A错误选项B正确选项C中：独立，则，则故选项C正确选项D中：互斥，则根据条件概率公式故选项D正确故选：BCD11.如图在四棱锥中底面为平行四边形底面，则（）．A. B.与平面所成角为C.异面直线与所成角的余弦值为 D.二面角的正弦值为【答案】ABD【解析】【分析】连接由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得于是可建立空间直角坐标系根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】连接因为设由余弦定理得所以，则则即又底面底面所以如图以为原点分别为轴建立空间直角坐标系则对于A所以，则所以故A正确对于B又因为底面所以是平面的一个法向量所以则与平面所成角正弦值为即与平面所成角为故B正确对于C则则异面直线与所成角的余弦值为故C错误对于D设平面的法向量为，则令，则设平面的法向量为，则令，则所以令二面角所成角为，则则平面与平面的夹角的余弦值为所以故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则（）A.函数在R上单调递增，则B.当时函数的极值点为－1C.当时函数有一个大于2的极值点D.当时若函数有三个零点，则【答案】ACD【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A利用导数与函数的极值点之间的关系判断BC对于D作出函数大致图象判断的范围进而根据可得到由此采用换元法并构造函数从而证明判断D.【详解】对于A由可得若函数在R上单调递增，则恒成立即恒成立故故经验证时仅在时取等号适合题意故函数在R上单调递增，则A正确对于B当时仅在时取等号在R上单调递增函数无极值点B错误对于C由于当时，则不妨取且或时函数当时函数故是的极小值点且由于，则，则C正确对于D当时,,当或时当时函数则在上单调递增在上单调递减且故可作出其大致图像如图：函数有三个零点即函数的图象与直线有三个交点不妨设由于而且故由图象可知考虑到当m趋近于0时会趋近于无限小趋近于0故猜测下面给以证明：由题意可知故设，则故则要证明即证即设故故在上单调递增故即成立故而故成立D正确故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识同时注意数形结合以及构造函数等方法难点在于判断时要首先判断出三者的范围进而数形结合合理猜测进而利用构造函数的方法加以证明.三填空题（本题共4小题每小题5分共20分．）13.若的展开式中第5项的二项式系数最大写出一个符合条件的n的值是_________．（写出一个满足条件的n的值即可）【答案】7（答案不唯一：789均可）【解析】【分析】分为奇数和偶数两种情形结合二项式系数的特征即可得结果.【详解】当为偶数时若第5项二次项系数最大当为奇数时若第45项二次项系数最大合乎题意若第56项二次项系数最大合乎题意故的值为：789故答案为：7（答案不唯一：789均可）14.某人投篮命中的概率为0.6投篮14次最有可能命中_______次．【答案】8或9【解析】【分析】易知投篮命中次数服从二项分布设最有可能命中m次于是解出不等式即可得到答案.【详解】投篮命中次数设最有可能命中次，则或．最有可能命中8或9次．故答案为：8或9.15.已知数列的项数为且，则的前n项和为_______．【答案】【解析】分析】根据倒序相加法求得再根据二项式系数和公式即可求解.【详解】因为又所以又因为所以即.故答案为：.16.设函数若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】设利用导数求出的单调区间即可求出其最大值依题意有且仅有两个整数满足即可得到且从而求出参数的取值范围.【详解】设，则在上单调递增在上单调递减时函数取极大值即最大值又直线恒过定点且斜率为要使有且仅有两个整数满足即有且仅有两个整数满足且解得即.故答案为：．四解答题（本题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．）17.已知等式．（1）求的值（2）求的值（3）求【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令将式子转化为再写出展开式的通项即可求出（2）令计算可得（3）将两边对求导再令计算可得.【小问1详解】因为令，则所以又展开式的通项为令解得所以.【小问2详解】因为展开式的通项为所以所以令可得所以.【小问3详解】对两边同时对求导可得令可得.18.已知数列的前n项和为且满足．（1）求数列的通项公式（2）设的前n项和为求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用替换原式中的然后两式作差结合与的关系即可得到为等差数列从而得到其通项（2）由（1）的结论求得及代入化简得到的式子再裂项相消即可求出结果.【小问1详解】因为当时两式作差得即又所以当时又当时解得可知数列是以首项为1公差为2的等差数列所以即【小问2详解】由（1）知所以.19.设函数．（1）若求函数的单调区间（2）若函数恰有一个零点求实数的取值范围．【答案】（1）递增区间为递减区间为（2）.【解析】【分析】（1）利用导数研究的符号即可得的单调区间.（2）讨论结合的极值要使恰有一个零点有极大值小于0或极小值大于0即可求参数范围.【小问1详解】由题设而，则由于的关系为：极大值极小值递增递减递增所以的递增区间为递减区间为【小问2详解】当时由（1）极大值极小值要使有且仅有一个零点所以或解得所以当时单调递增显然有且只有一个零点符合题意当时递增区间为递减区间为极大值极小值要使有且仅有一个零点所以或解得所以综上：.20.如图四面体中为的中点．（1）证明：平面（2）设点在上若与平面所成的角的正弦值为求此时点的位置．【答案】（1）证明见解析（2）为的四等分点且靠近点位置【解析】【分析】（1）根据已知关系有得到结合等腰三角形性质得到垂直关系结合线面垂直的判定即可证明（2）根据已知求证两两垂直从而建立空间直角坐标系结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为为的中点所以在和中所以所以又为中点所以又平面所以平面.【小问2详解】因，则由且所以是等边三角形由且为的中点所以在等腰直角中，则故又且以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则所以设面的一个法向量为，则取，则又设所以设与平面所成的角的正弦值为因为所以所以解得所以为的四等分点且靠近点位置.21.甲乙两队进行排球比赛每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜比赛结束）比赛排名采用积分制积分规则如下：比赛中以或取胜的球队积3分负队积0分以取胜的球队积2分负队积1分已知甲乙两队比赛甲每局获胜的概率为乙每局获胜的概率为．（1）甲乙两队比赛1场后求乙队积3分的概率（2）甲乙两队比赛2场后求两队积分相等的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜分别求出其概率进而可求出结果（2）设第场甲乙两队积分分别为，则2由两队积分相等可推出再分四种情况并结合独立事件的概率公式即可得解．【小问1详解】（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜当乙队以3：0获胜时当乙队以3：1获胜时所以甲乙两队比赛1场后乙队积3分的概率为.【小问2详解】记“甲乙比赛两场后两队积分相等”为事件设第场甲乙两队积分分别为，则2因两队积分相等所以即，则而所以．22.已知函数.（1）当时求的最值（2）当时记函数的两个极值点为且求的最大值.【答案】（1）无最大值.（2）