湖南省九校联盟2024届高三年级下册第二次联考数学试题

湖南省2024届高三九校联盟第二次联考

数学

由长沙市一中常德市一中湖南师大附中双峰县一中桑植县一中

武冈市一中湘潭市一中岳阳市一中株洲市二中联合命题

炎德文化审校、制作

命题学校：长沙市一中审题学校：双峰县一中

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.对两个变量％和y进行回归分析，得到一组样本数据（%,%）,（%,%），…，（怎，笫），下列统计量的数值能

够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（）

A.平均数B.相关系数厂C.决定系数尺2D.方差

2.已知｛凡｝是等比数列，5,是其前几项和.若。1=3总=552,则为的值为（）

A.2B.4C.±2D.+4

3.关于复数z与其共辄复数彳，下列结论正确的是（）

A.在复平面内，表示复数z和彳的点关于虚轴对称

B.z-z>0

C.z+N必为实数，z—N必为纯虚数

D.若复数z为实系数一元二次方程狈2+公+c=。的一根，则彳也必是该方程的根

22

4.已知M为双曲线土-乙=1上一动点，则M到点（3,0）和到直线x=l的距离之比为（）

36

A.lB，72C，V3D.2

5.如图，在四面体P—A3C中，平面A3C,AC，CB,PA=AC=23C=2,则此四面体的外接球表

面积为（)

p

A.3兀B.9兀C.36兀D.48兀

6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入大额存款劭元，按照复利计算10年后得到

的本利和为40,下列各数中与4k最接近的是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.已知函数/（x）=sin（0x）+Gcos（ox）,若沿％轴方向平移〃龙）的图象，总能保证平移后的曲线与直线

y=l在区间[0,可上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数。的取值范围为（）

A\-之8、「010、C「,[1-0,4八jD.J[2,4八）

8.过点P（-l,0）的动直线与圆C:（x—of+（y—2）2=4（。〉0）交于AB两点，在线段AB上取一点。，使

112,,「

得囱「回「正到，已知线段忸0的最小值为及，则。的值为（）

A.lB.2C.3D.4

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列函数的图象与直线y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=Inx

C.y=sinx+lD.y=x3+l

10.在中，角A,8,C所对的边分别为a,。,c,且c=Z?（2cosA+l）,则下列结论正确的有（）

A.A=2B

B.若a=6b，贝hABC为直角三角形

C.若ABC为锐角三角形，—------匚的最小值为1

tanBtanA

D.若ABC为锐角三角形，则金的取值范围为(42其

a

11.如图，点P是棱长为2的正方体ABC。—的表面上一个动点，尸是线段4耳的中点，则

A.若点尸满足APJ.BC，则动点P的轨迹长度为4后

B.三棱锥A-尸与，体积的最大值为当

C.当直线AP与AB所成的角为45时，点尸的轨迹长度为兀+40

D.当P在底面ABCD上运动，且溶足〃平面4cA时，线段产尸长度最大值为20

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

—1XgP

12.对于非空集合P,定义函数%（x）=,''已知集合A={x[0<x<l},8={x|/<x<2f},若存在

[1,XGP,

xeR,使得以（%）+%（£）>0,则实数力的取值范围为.

22221

13.已知椭圆[+与=15〉人〉0）与双曲线二―==1,椭圆的短轴长与长轴长之比大于一，则双曲线离

a"b'a~b~2

心率的取值范围为.

14.函数/（x）=e&nx-ecosx在（0,2兀）范围内极值点的个数为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（木小题满分15分）

如图所示，半圆柱的轴截面为平面8C是圆柱底面的直径，。为底面圆心，44]为一条母线，E

为CG的中点，且AB=AC=A&=4.

(1)求证：OEAB1；

(2)求平面A耳E与平面30E夹角的余弦值.

16.(本小题满分15分)

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有4B,C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游

戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且

获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的

奖励基金如下表：

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

(1)求甲按“A6,C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率;

(2)甲决定按或者两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期

望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.

17.(本小题满分15分)

已函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c&R),其图象的对称中心为(1,一2).

(1)求a-b—c的值；

(2)判断函数的零点个数.

18.(本小题满分17分)

已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足2s〃+%=3；数列｛2｝满足勿+4+1=2〃+1,其中4=1.

(1)求数列｛。/，｛包｝的通项公式；

(2)对于给定的正整数，(，=1,2,♦,〃)，在%和4+1之间插入，个数使如£1，

。2,…,%，q+1成等差数列.

(i)求4=。11+。21+。22++Cn\+Cn1++Cnn；

m+2

(ii)是否存在正整数机，使得-------黑③恰好是数列｛为｝或｛2｝中的项？若存在，求出所有满足条

b-1------------

2Tm-3

件的加的值；若不存在，说明理由.

19.(本小题满分17分)

直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=疗+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义

为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某

条直线.

(1)若圆£：必+丁=1是直线族枢x+〃y=l(%“eR)的包络曲线，求利,72满足的关系式；

(2)若点尸(毛，为)不在线族：Q(2a—4)x+4y+(0—2)2=0(。eR)的任意一条直线上，求为的取值范

和直线族。的包络曲线石；

(3)在(2)的条件下，过曲线E上两点作曲线上的切线I］，，其交点为P.已知点若

A,5c三点不共线，探究ZPC4=ZPCB是否成立？请说明理由.

湖南省2024届高三九校联盟第二次联考

数学参考答案

命题学校：长沙市一中审题学校：双峰县一中

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的每个这项中，只有一项

是符合题目要求的）

题号12345678

答案CCDCBDAA

1.C【解析】平均致与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的就计量：变量y和x之间的相关系

数”的绝对值总大，则变量y和尤之间线性相关关系越强；用决定系数R来刻画回归效果，R越大说明拟合效

果总好：综上选C

2.C【解析】S4=5S2,化简得毋一q1=5矶q），整理得1+/=5,.-.q=±2,又

1-q1-q

%-％=a/一％=3,ax-1,a2=aiq=±2.故选C.

3.D【解析】对于选项A,表示复数z和N的点关于实轴对称，故错误：对于选项仇选项G当z=0时均

不成立，故错误.故选。

4.C【解析】取双曲线上一点（石,0）,则2=卜％）2+02,故选c

5.B【解析】将四面体P-A3C补形成长方体，长、宽、高分别为2,1,2,外接球直径等于体对角线长故

2R=,所以外接球表面积为S=4兀斤=9兀.故选B.

6.D【解析】存入大额存款1元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为旬首项，1+3%为公比的等比

数列，，所认%（1+3%）1°=q0,可得

10210

包=（1+3%）=C10+Cox0.03+CQX0.03++C；°xO.O3«1.34,故选D

7.A【解析】由题知，/（x）=2sin[ox+]J,若沿x轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的函数

g（x）=2sin（（z>x+^）,令g（x）=l,即sin（0x+°）=；,由正弦曲线性质知，sinx=1■至少有2解，至

多有3解，则自变量》的区间长度在2兀到.之间，耶2兀,，。兀<与，那选A.

8.A【解析】圆心C（a,2）,半径为2,所以圆与了解相切，设切点为".则加（。,0）,连接PM,则

\PM\=a+l,贝U|PM|2=|PA||Pfi|=(a+l)2.

设AB的中点为。，连接CD,则CDLAB,

语圆心C列直线AB的距离为d,则Q,d<2,\P^+\PB\=\PD\+\AD\+\PD\-\AD\=2\PD\

11_2,，_(a+1)2_(«+l)2

由网+画一匣i可得ID/J_&+1)2+4_/

(tz+1)~ID„i(a+1)2

因为0”d<2.所以,PQ\<I2=■

V(a+1)+4-0J(a+l)2+4-4

(a+1)2rr

因此/,^==(2,解得：。=1,故选A.

7(«+l)+4-0

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案ACABDCD

9.AC【解析】选项A中，y=e*与y=x+l相切于点（0,1）；选项8中，y=Inx与y=x+1没有交点;

选项C中，y=sinx+l与y=x+l相切于点(0,1)；选项。中，y=%工+1与y=%+1有三个交点，

(0,1),(1,2),(-1,0),均不是切点.

10.ABD【解析】对于A-ABC中，由正弦定理得sinC=2sirLBcosA+sinB,由sinC=sin(A+5),得

sinAcosB—cosAsinB=sinB.Bpsin(A—=sinB,由0<A,_B<TI,贝iJsinB〉。，故0<A—3<兀，所

以A—5=5或+3=即A=25或4=兀（舍去），即A=2B,A正确:

对于8,结合4=25和正弦定理知，一=芭丝=”-3053=@，又0<43<兀，数

sinAsin2BsinB2

7171

A=2B=-.C=~,8正确;

32

TTJTTT

对于C,在锐角AfiC中，0<3<一,0<A=23<—,0<。=兀一33<一,即

222

71„7TA/3„,

一<JB<一,—<taiiiB<1•

643

,,111l-tan2Bl+tan2B「上廿、口

故-----------=----------------=--------->11,。错误；

tanBtanAtanB2tanB2tanB

对于D,在锐角.ABC中，由巴<5（色，正<cos3<y5.

6422

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB___1

—=------=--------=------------------------------=zcosn----------.

asinAsin2Bsin2B2cos5

c（Ji2百）

由对勾函数性质知，一e—,D正确；故选ABD.

aI23J

11.CD【解析】对A,易知与Cd.平面ABG2，Ae平面A3G2,故动点P的轨迹为矩形A§G2，动

点P的轨迹长度为40+4,所认A错误；

对B因为匕一心向=%_明4,而.AB】，的面积为定值2JL要使三棱锥尸-AB］。1的体积最大，当且仅当

点P到平面AAA距离最大，易知，点C是正方体意向到平面A5］。距离最大的点，

（匕—pgJmax=%-破4=|，8错误；

对C：连接AC,AB「以8为圆心，85］为半径画弧与C，如图1所示，

当点P在线段AC,A片和弧4c上时，直线AP与AB所成的角为45，

又AC=办笈+叱=&4=2叵AB［=小AB?+BB；=（4+4=20,

弧8。长度1x兀x2?=兀，故点P的轨迹长度为兀+4近，故C正确；

对D；取AA，RD,DC,CB,BB{,AB的中点分别为Q,R,N,M,T,H,

SQR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM,如图2所示,

因为bT〃2CRT面D［BIC,u面231c,故fT〃面2耳。，

TM//B.C,面231cBeu面D］用C,故7M〃面。4。；

又FTcTM=T,FTTMu^FTM,故平面尸7M〃面。4。；

又。/〃NM,QR//TM,RN//FT,故平面厂力3衣。与平面厂力欣是同一个平面.

则点P的轨迹为线段MV：

在三角形引VM中，

FN=yjFH2+HN2=V4+4=2^2;FM=^FH2+HM2=74+2=屈;NM=&

则同以2+上加2=8=印2,故三角形RVM是以NTTWN为直角的直角三角形；

故FPa=FN=2叵,故EP长度的最大值为2忘，故D正确.故选：CD.

n

四2

三、填空题(本大题共3小题，年小题5分，共15分)

12.(0,1)【解析】由题知：人(力+人(％)可取±2,0,若以(%)+%(%)>().则以(力+%(%)=2,即

集合AC3W0,得0<1<1,郎方的取值范围为(0,1).

sinvC0SXsinx+cosTsinxcosx

14.2［解析】/'(x)=e-cosx+esin%=e-—：—I--------

e-sinxecCOSx

/-TTXJT

当无时，fr(x)>0；当xe7t,—时，/(%)<0；

当xe]m，7t]时，"=5皿；和"=cosx均为单调减函数，又y=£在〃e(-1,1)上是单调增函数，根据复合

函数单调性可知0(x)=噤+缕;为减函数丁=esmx+ssx〉0,又尸(W]<0,/(2兀)〉0,故函数f\x)

ee<2；

在该区间上存在一个零点，该零点为函数/（X）的极值点;

从而函数/（%）在（0,2兀）内一共有2个极值点.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.【解析】（1）由5c是直径可知AB，AC,则A5C是是等腰直角三角形，故AOJL3C,

由圆柱的特征可知3片，平面A5C,又AOC平面A3C,所以B与LA。，

因为83]c=B,BB},BCu平面BCCXBX,则AO±平面BCCXBX,

而OEu平面BCCiB],则AO±OE,

因为AB=AC=A4,=4,则BC=血AB=4夜,「.402=+BO2=24,

OE2=OC-+CE2=12,B/2=EC；+BC2=36=BQE2,

t。+

所以4。LOE,

因为40_LOE,AO±OE,AOnBQ=O,AO,BQu平面ABXO,

所以OE,平面A耳。，又AB】u平面A耳。，故。ELAB].

（2）由题意及（1）易知A&,AB,AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系,

则4（4,0,4）,E（0,4,2）,0（2,2,0）,所以股=（4,0,4）,AE=（0,4,2）,AO=

（2,2,0）,

由⑴知49,平面片。E,故平面30E的一个法向量是40=（2.2,0）,

设”=（%,y,z）是平面A与E的一个法向量,

n-AB,=4X+42=0,

则有取z=-2nx=2,y=l,所以〃=（2,1,_2）,

n-AE=4y+2z=0,

设平面ABXE与平面B,OE夹角为氏

限A。_6

所以cos。=cos（n,AO

|n|-|AO|-272x32

则平面A与E与平面B{OE夹角的余弦值为叵.

2

16.【解析】1)设“甲按”，B,。的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E,

则尸(E)=0.8x0.5x0.5+0.8x0.5x0.5=0.4；

贝UX的所有可能取值为0,1000,3000,6000,

p(x=0)=1-0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8x(l-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8x0.5x(1-0.5)=0.2

尸(X=6000)=0.8x0.5x0.5=0.2

所以石(X)=0x0.2+1000x0.4+3000x0.2+6000x0.2=2200；

则Y的所有可能取值为0,3000,5000,6000,

p(y=0)=0.5,

尸(F=3000)=0.5x(l-0.5)=0.25,

P(y=5000)=0.5x0.5x(1-0.8)=0.05

尸(F=6000)=0.5x0.5x0.8=0.2

所以石(F)=0x0,5+3000x0,25+5000x0,05+6000x0,2=2200.

参考答案一：由于£>(X)=22002x0.2+12002x0.4+8002x0.2+38002x0.2=4560000,

Z)(y)=22002X0.5+8002x0.25+28002x0.05+38002x0.2=5860000,

由于D(y)>D(X),所以应该安装“A,3,c”的顺序猜歌名.

参考答案二：甲按“C,B,A”的顺序猜歌名时，获得。元的概率为0.5,大于按照“A,B,。'的顺序猜歌名时

获得。元的概率，所以应孩按照“A,B,的顺序猜歌名.

其他合理答案均给分，

17.【解析】(1)图为函教了(龙)的图象关于点(L—2)中心付称，故y=/(x+l)+2为夺函数,

从而有/(x+l)+2+/(—x+l)+2=0,即/(x+l)+/(—x+l)=-4.

f(x+1)=(x+1)3+a(x+1)2+3(x+l)+c=%3+(Q+3)x2+(2a+Z?+3)x+a+3+c+l,

f(1—x)=(1—+a(l—x)~+3(1—x)+c=—+(a+3)x2—(2a+/j+3)x+a+Z^+c+l.

2a+6=。，a=-3,

所以《解得故j=B

2a+2b+2c+2——4,

(2)法一：由(1)可知，/(x)=x3-3x2-cx+c,/,(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

当6—3时，/(%)为单调增函教，/(1)=-2<0,

,6)=c4-3c4-c3+c..9c4-3c4—c3+c=6c4—c3+c=4c4+卜，-/)+仔+c)>0,

函数7(%)有且仅有一个零点；

当—3<c<0时，/'(x)=0有两个正根玉<%，满足％+X3=2,玉・工2=—；>0,且3x；-6%-c=0,

数了(%)在区间(口,％)上单调递增，在区间,9)上单调递减，在区间(％，+。)上单调递增，

/(xj=xf_3x；-1)(3尤;=-2玉(龙；—3X]+3^<0,/(3)=-2>0,

函数7(%)有且仅有一个零点；

当C=0时，"力=%3—3%2有两个零点

当c>0时，/'(%)=0有两个根石<0<%2，满足%+兀2=2,%•々=—■|<0,

函数/(X)在区间(y,玉)上单调递增，在区间(玉,9)上单调递减，在区间(%,+8)上单调递增，

/(^)>/(0)=00,/(^)</(1)=-2<0,

函致/(%)有且仅有三个零点；

综上，当c>0时，函数7(%)有三个零点；当c=0时，函数了(九)有两个零点；当c<0时，函数/(%)有

一个零点

3—12

法二：由(1)可知，/(X)=^-3X2-CX+C,/(1)=-2^0,今〃%)=0,则.J一“

x-1

r3-3r2

可以转化为V=。与y=两个这数图象交点的个数,

x-1

322

x_3xz、,2x（x-3x+3）

今"（x）=1（xHl）'则1（x）=（1）2~-，

故/z（x）在区间（-。,0）上单调递减，在区间（0,1）上单调递增在区间（L+。）上单调递增,

当x单调递增+8时，h（x）=犬（1）>X2,A（X）趁于+8；可0）=0;

当尤趋于1且比1小时，M%）趋于+00：当X趋于1且比1大时，//（无）趋于-力：

2

x(x-3)>^-X2,/2(X)趋于+”.

当X单调递增+“时，/z（x）=

x-1

所以，当c>0时，有三个交点；当c=0时，有两个交点；当c<0时，有一个交点.

综上，当c>0时，函数了（九）有三个零点；当c=0时，函数/（九）有两个零点；当c<0时，函数/（%）有

一个零点.

注意，如果是保留参数6,则答案为:

当6>0时，函数八力有一个零点；当6=0时，函数4》）有两个零点；当6<0时，函数九）有三个零

点.

18.【解析】（1）由2s=3①，当〃..2时,2S“T+O“T=3②，

①-②得2an+an-an_x=O..\an=2）,

当Yl—\时，2%+Q]=3,..q=1,

.•・｛。”｝是首项为1,公比为g的等比数列，故怎

由勿+4+1=2〃+l③.由4=l

得8=2,又n+1+a+2=2九+3④.

④-③得a+2-勿=2,

｛d｝的所有奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2,公差为2的等差数列.

得Z?2M=l+(〃—l)x2=2〃一1,62n=2+(〃—l)x2=2〃,/.b〃=〃(〃EN*)

n-l

,*

综上：an=,bn=n(neN

(2)(i)在。〃和4+i之间新入二个数0,或2,…,c加,使。九,％,%2,…,c〃九,。〃+1成等差数列,

n—1

设公差为4,则%+1一%2

4

n(n+2)-1n+13"5+1)

2k§_n2n(n+1)2n

则C.=4+姐,=3”(“+1广・才成一三

3"(n+l)23V

12

++%2++Cnn=2—1—7+

332

则'=212

-rH-T++

3233、

⑤-⑥得：g(=211n12〃+3

—I—++=1-可，

3323^

7

n-1

)，又T=2"+3

(ii)由(1)也二n(neN)"22x3"

4T+L

4+2m-l+3m+]

由已知

加一］_包土3吁1+3"，

2T「3

_-iiom+l

假设"T”是数量列｛4｝或也｝中的一项,

m-1+3m

不妨设"L1+3"=左(左〉0,〃zeN*

),二(左_1)(m_1)=(3—左)位,

机-1+3”\

n-l

因为L03">0®eN*，所以1<£,3,而4”1，

m+1

m_i+3.、

所以〃z1十,不可能是数列｛4｝中的项.

m-l+3w

_i3m+1、

假设m+是｛(2｝中的项,则左eN*.

m-1+3m

当左=2时，有机一1=3很，即千=1,令/W)=h"W+l)-/(m)=升—千=3，〃+i,

当加=1时，/(1)</(2)；当祖.2时，f(m+1)-/(m)<0,/(I)<f(2)>f(3)>f(4)>,由

]-ryi_1

/⑴=0"(2)=3知k=1无解•

_13m+1,、

当左=3时，有加—1=0,即加=1.所以存在m=1使得7?1"上+J=3是数列也｝中的第3项.

机一1+3”

故存在正整数m=1使得-------素行是数列｛2｝中的第3项.

b-1-------

m

2Tm-3

19.【解析】⑴由定义可知，7nx+“、