2024届四川省百师联盟高三冲刺卷数学试题（文）（全国卷）（解析版）（五）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（五）数学试题（文）（全国卷）一、选择题1.设，则（）A B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，所以．故选：B．2.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，故选：C3.函数的大致图象为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的定义域为，故排除；又，故排除；，故排除D．故选：B．4.若关于的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则实数（）A. B.1 C.或0 D.0或1〖答案〗C〖解析〗由题意，当直线垂直于直线时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以.当直线垂直于直线时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以.故选:C．5.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为命题“”为真命题，所以．令与在上均为增函数，故为增函数，当时，有最小值，即，故选：A．6.下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（）A.这8个月月销售量的极差是3258 B.这8个月月销售量的中位数是3194C.这8个月中2月份销量最低 D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份〖答案〗B〖解析〗将数据按从小到大的顺序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，对于A，极差是，故A正确；对于B，因为，所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，即，故B错误；对于C，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；对于D，这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619，故D正确．故选：B．7.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，，，所以．故选：B8.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为角的终边经过点，所以，所以.故选：D.9.某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得，所以函数的零点为，可知在上的零点依次为，若在上有3个零点，则．故选：A．10.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，也就是说当时，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故选：A11.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）A.12 B.13 C.40 D.121〖答案〗C〖解析〗设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，依题意可得，且有，所以是以为首项，3为公比的等比数列，①；又，，故有，∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，②；由①②相加减得：，；所以．故选：C．12.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，．且平面，平面，所以平面．设的外接圆的半径为，则由正弦定理可得，即，所以．设三棱锥的外接球的半径为，则，即，所以，所以外接球的表面积为．故选：C．二、填空题13.在区间上随机取一个数，若的概率为，则_________.〖答案〗2〖解析〗显然．区间长度是7，区间上随机取一个数的解集为，区间长度为，所以的概率为，所以．故〖答案〗为：214.已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数_________.〖答案〗3〖解析〗由，设，若不是函数的极值点，则必有，即，所以．当时，，故当时，，当时，，因此是的极值点，不是极值点，满足题意，故．故〖答案〗为：315.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为．记椭圆的左、右两个焦点分别为，则的面积可能为_______．（横线上写出满足条件的一个值）〖答案〗2（〖答案〗不唯一，在内的任何数都可以）〖解析〗由椭圆的面积为，得，解得，设点，显然，由，得，椭圆的上、下顶点坐标分别为，则，即，解得，半焦距，的面积，而且，因此，所以的面积可能为2.故〖答案〗为：216.如图，在中，，为边上的一点，且，则_________.〖答案〗〖解析〗由题可知，在中，由正弦定理得，即，得，又，由图可得为钝角，所以，所以，则，则，又，所以为等腰直角三角形，则．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200．（1）求出直方图中的值；（2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和恰好各一人的概率．解：（1）由已知可得，则，即，又成等差数列，，解得．（2），设中位数为，且，，解得，即中位数为71.7;平均数为;（3）由（1）知，按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在内的有人，记为，参加课外兴趣班的时长在内的有人，记为．从中随机抽取2人的所有基本事件有:，，共15种，其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和的恰好各一人的事件有:，共8种．所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和的恰好各一人的概率为.18.如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，且平面平面．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．（1）证明：连接，平面平面，平面平面，面，平面，又平面，则，是直角三角形，即．在梯形中，作于，则，则．又，则，．（2）解：，平面平面，平面平面，面，平面．由（1）知，.19.已知为正项数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前10项和．解：（1）由题意知：，即，当时，，两式相减，可得，因为，可得．又因为，当时，，即，解得或（舍去），所以（符合），从而，所以数列表示首项为3，公差为2等差数列．所以数列的通项公式为．（2）由题意得，所以，所以.20.已知抛物线的焦点为．点在抛物线上，且．（1）求；（2）过焦点的直线交抛物线于两点，原点为，若直线分别交直线：于两点，求线段长度的最小值．解：（1）因为点在上，所以，因为，所以由抛物线定义得，解得或（舍）．所以．（2）由（1）知，抛物线的方程为，．若直线的斜率不存在，则与抛物线只有一个交点，不合题意，所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，则直线的方程为，联立消去得，所以，从而有．由得直线的方程，联立解得，同理．所以令，则，所以，当且仅当即时等号成立，所以线段长度的最小值为.21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设是函数的两个零点，求证：．（1）解：当时，，则，则切线方程为，因此曲线在点处的切线方程为．（2）证明：函数是的两个零点，所以，则有，且，由，得．要证，只要证明，即证．记，则，因此只要证明，即．记，则，令，则，当时，，所以函数在上递增，则，即，则在上单调递增，，即成立.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点，直线与曲线交于两点，求的值．解：（1）将代入，得，所以直线的直角坐标方程为；由曲线的参数方程为（其中为参数），化为，平方相加得曲线的普通方程为；（2）由（1）可得点在直线上，由此可得直线的参数方程为（其中为参数），将其代入曲线的普通方程中得，设点对应的参数为，点对应的参数为，则，所以一正一负，所以.[选修4-5：不等式选讲]23.已知均为正实数，且满足．（1）求的最小值；（2）求证：.（1）解：因为均为正实数，，所以，当且仅当，即时等号成立．（2）证明：根据柯西不等式有，所以．当且仅当，即时等号成立，即原命题得证.四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（五）数学试题（文）（全国卷）一、选择题1.设，则（）A B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，所以．故选：B．2.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，故选：C3.函数的大致图象为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的定义域为，故排除；又，故排除；，故排除D．故选：B．4.若关于的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则实数（）A. B.1 C.或0 D.0或1〖答案〗C〖解析〗由题意，当直线垂直于直线时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以.当直线垂直于直线时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以.故选:C．5.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为命题“”为真命题，所以．令与在上均为增函数，故为增函数，当时，有最小值，即，故选：A．6.下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（）A.这8个月月销售量的极差是3258 B.这8个月月销售量的中位数是3194C.这8个月中2月份销量最低 D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份〖答案〗B〖解析〗将数据按从小到大的顺序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，对于A，极差是，故A正确；对于B，因为，所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，即，故B错误；对于C，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；对于D，这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619，故D正确．故选：B．7.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，，，所以．故选：B8.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为角的终边经过点，所以，所以.故选：D.9.某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，得，所以函数的零点为，可知在上的零点依次为，若在上有3个零点，则．故选：A．10.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，也就是说当时，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故选：A11.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）A.12 B.13 C.40 D.121〖答案〗C〖解析〗设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，依题意可得，且有，所以是以为首项，3为公比的等比数列，①；又，，故有，∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，②；由①②相加减得：，；所以．故选：C．12.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，．且平面，平面，所以平面．设的外接圆的半径为，则由正弦定理可得，即，所以．设三棱锥的外接球的半径为，则，即，所以，所以外接球的表面积为．故选：C．二、填空题13.在区间上随机取一个数，若的概率为，则_________.〖答案〗2〖解析〗显然．区间长度是7，区间上随机取一个数的解集为，区间长度为，所以的概率为，所以．故〖答案〗为：214.已知函数的导函数，若不是的极值点，则实数_________.〖答案〗3〖解析〗由，设，若不是函数的极值点，则必有，即，所以．当时，，故当时，，当时，，因此是的极值点，不是极值点，满足题意，故．故〖答案〗为：315.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为．记椭圆的左、右两个焦点分别为，则的面积可能为_______．（横线上写出满足条件的一个值）〖答案〗2（〖答案〗不唯一，在内的任何数都可以）〖解析〗由椭圆的面积为，得，解得，设点，显然，由，得，椭圆的上、下顶点坐标分别为，则，即，解得，半焦距，的面积，而且，因此，所以的面积可能为2.故〖答案〗为：216.如图，在中，，为边上的一点，且，则_________.〖答案〗〖解析〗由题可知，在中，由正弦定理得，即，得，又，由图可得为钝角，所以，所以，则，则，又，所以为等腰直角三角形，则．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200．（1）求出直方图中的值；（2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和恰好各一人的概率．解：（1）由已知可得，则，即，又成等差数列，，解得．（2），设中位数为，且，，解得，即中位数为71.7;平均数为;（3）由（1）知，按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在内的有人，记为，参加课外兴趣班的时长在内的有人，记为．从中随机抽取2人的所有基本事件有:，，共15种，其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和的恰好各一人的事件有:，共8种．所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和的恰好各一人的概率为.18.如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，且平面平面．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．（1）证明：连接，平面平面，平面平面，面，平面，又平面，则，是直角三角形，即．在梯形中，作于，则，则．又，则，．（2）解：，平面平面，平面平面，面，平面．由（1）知，.19.已知为正项数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前10项和．解：（1）由题意知：，即，当时，，两式相减，可得，因为，可得．又因为，当时，，即，解得或（舍去），所以（符合），从而，所以数列表示首项为3，公差为2等差数列．所以数列的通项公式为．（2）由题意得，所以，所以.20.已知抛物线的焦点为．点在抛物线上，且．（1）求；（2）过焦点的直线交抛物线于两点，原点为