湖北省宜昌市秭归县第二中学2023-2024学年数学高一下期末质量检测试题含解析

湖北省宜昌市秭归县第二中学2023-2024学年数学高一下期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是60m，则河流的宽度等于（）A．m B．m C．m D．m2．过点且与直线垂直的直线方程为（）A． B．C． D．3．下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面4．函数（，）的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B． C． D．5．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（）A．522 B．324 C．535 D．5786．已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（）A． B． C． D．7．已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（）A． B． C． D．8．函数的图象（）A．关于点（－，0）对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称9．已知直线与圆C相切于点，且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（）A． B．C． D．10．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．12．已知正数、满足，则的最小值是________．13．若数列满足，且，则___________.14．已知等差数列则．15．已知为等差数列,,前n项和取得最大值时n的值为___________.16．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（）的一段图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域.18．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求证：．19．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．组号分组频数频率第1组5第2组①第3组30②第4组20第5组10（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率．20．请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北力有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？21．设a为实数，函数，（1）若，求不等式的解集；（2）是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）写出函数在R上的零点个数（不必写出过程）．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，最后利用进行求解即可.【详解】在直角三角形中，.在直角三角形中，.所以有.故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，考查了数学运算能力.2、A【解析】

先根据求出与之垂直直线的斜率，再利用点斜式求得直线方程。【详解】由可得直线斜率，根据两直线垂直的关系，求得，再利用点斜式，可求得直线方程为，化简得，选A【点睛】当直线斜率存在时，直线垂直的斜率关系为3、D【解析】

利用定理及特例法逐一判断即可。【详解】解：如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线相交、平行或异面，故A不正确；过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直，不正确．反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，那么可以找到无数个平面与已知平面垂直，故B不正确；如果这两条直线都在平面内且平行，那么这直线不平行于这个平面，故C不正确；如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行，所以这两条直线共面，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了线线平行的判定，面面垂直的判定，线面平行的判定，线面垂直的性质，考查空间思维能力，属于中档题。4、A【解析】

利用，求出，再利用，求出即可【详解】，，，则有，代入得，则有，，，又，故答案选A【点睛】本题考查三角函数的图像问题，依次求出和即可，属于简单题5、D【解析】

根据随机抽样的定义进行判断即可．【详解】第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），则满足条件的6个编号为，，，，，则第6个编号为本题正确选项：【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．6、A【解析】由，即，所以，由向量在向量方向上的投影为，则，即，所以，故选A．7、D【解析】

根据对称中心，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；将所给区间代入求得的范围，与的单调区间进行对应可得到结果.【详解】为函数的对称中心，解得：，当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时单调递增，正确本题正确选项：【点睛】本题考查正切型函数单调区间的求解问题，涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式；关键是能够采用整体对应的方式，将正切型函数与正切函数进行对应，从而求得结果.8、A【解析】

关于点（－，0）对称，选A.9、C【解析】

先代入点可得，再根据斜率关系列式可得圆心坐标，然后求出半径，写出标准方程．【详解】将切点代入切线方程可得：，解得，设圆心为，所以，解得，所以圆的半径，所以圆的标准方程为．故选：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．10、B【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数,周期为【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.12、.【解析】

利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【详解】，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13、【解析】

对已知等式左右取倒数可整理得到，进而得到为等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到的通项公式，从而求得结果.【详解】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于形式的递推关系式，采用倒数法来进行推导.14、1【解析】试题分析：根据公式，，将代入，计算得n=1．考点：等差数列的通项公式．15、20【解析】

先由条件求出，算出，然后利用二次函数的知识求出即可【详解】设的公差为，由题意得即，①即，②由①②联立得所以故当时，取得最大值400故答案为：20【点睛】等差数列的是关于的二次函数，但要注意只能取正整数.16、【解析】

由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．【详解】由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【点睛】本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）由函数的一段图象求得、、和的值即可；（2）由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得的最大和最小值即可．【详解】解：（1）由函数的一段图象知，，，，解得，又时，，，，解得，；，函数的解析式为；（2）当时，，令，解得，此时取得最大值为2；令，解得，此时取得最小值为；函数的值域为．【点睛】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．18、(1)见详解；（2）见详解.【解析】

（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是菱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．【详解】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19、（1）人，，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.【解析】

（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入第二轮面试的人数．（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为人，②第组的频率为，频率分布直方图如图所示，

（2）因为第组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第组：人，第组：人，第组：人，所以第组分别抽取人、人、人进入第二轮面试．（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，则从这六位同学中抽取两位同学有种选法，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，其中第组的位同学中至少有一位同学入选的有种，分别为：，，，∴第组至少有一名学生被考官面试的概率为．【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．20、在线段上取点，过点分别作墙的平行线，建一个长、宽都为17米的正方形，教学楼的面积最大【解析】

可建立如图所示的平面直角坐标系，根据截距式写出AB所在直线