2024年高考数学一模好题分类汇编：导数及其应用含答案

2024年高考数学一模好题分类

汇编：导数及其应用

导数及导数应用

题型01导数的几何意义

题型02导数与函数的单调性

题型03导数与函数的极值、最值

题型04导数的综合应用

题型05导数的新颖题型

题型01导数的几何意义

题目回（2024下.广东.茂名市一模）曲线/⑺=ex+ax在点（0,1）处的切线与直线y=2x平行，则a=

（）

A.—2B.—1C.1D.2

题目巨］（2024下•广东・梅州市一模）已知力（2）urreN+sinic+cosir,九+1（尤）是于“（x）的导函数，即力㈤=

力⑺，力0）=%3），…,/”+10）=%3），々CN*,则拉24（。）=（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

［题目|3］（2024下.广东大湾区.校联考模拟预测）（多选）若过点（a,b）可作曲线/㈤=/nt的几条切线

（nCN）,则（）

_3_

A.若a40,则?142B.若0<@<6",且匕=a2lna，则九=2

C.若n=3,则a%。VbV2ae2+^-e-3D.过（e6）,仅可作g=/（c）的一条切线

题目区）（2024下•广东・广州市一模）（多选）已知直线"=far与曲线g=In/相交于不同两点%）,

N，曲线g=ln力在点Al处的切线与在点N处的切线相交于点P（力0,为），则（）

A.0<fc<—B.xx—exC.%+92=1+%D.2Vl

ex2Q

题目|-5~J（2024下•广东.深圳市一模）已知函数/（6）=矶力一（x—62）（巳一g）（a>0）,设曲线g=fQ）

在点（电力（词）处切线的斜率为双i=123）,若如均不相等，且口=—2,则自+4k3的最小值为

题型02导数与函数的单调性

［题目|6］（2024下•广东•茂名市一模）（多选）若/⑺=—94枭2+22+1是区间g_1）m+4）上的单

调函数，则实数小的值可以是（）

A.-4B.-3C.3D.4一,一,上

,------------1、rr—a

〔题目⑺（2024下•广东•看一模）已知0（aVL函数/Q）=9^3丰0）.

⑴求/Q）的单调区间.

（2）讨论方程/（2）=a的根的个数.

［题目8■2024下•广东•东莞）已知函数/（t）=（l+ln/K汽

（1）讨论/（①）的单调性；

（2）若方程/（力）=1有两个根x19力2,求实数Q的取值范围，并证明：/便2>1-

•••

题型03导数与函数的极值、最值

题目9（2024下•广东•佛山禅出T：若函数/3=心/+十+3aWO）既郁及大值也有极小值，则

下列结论一定正确的是（）

A.a<0B.6<0C.a&>—1D.a+b'X）

期口小（2024下•广东•广州市二中模拟）已知函数/⑸=/—--^—x2-bx（a,bER）没有极值点，则

2（Q+1）

的最大值为（）

Q+1

A•亭B-fCeD4

亶1口口（2024下•广东•深圳市一模）（多选）设a>Lb>0,且Ina=2—b,则下列关系式可能成立的是

（）

A.a=bB.b—a=eC.a=20246D.ab>e

回卫］（2024下•广东•佛山拜城一模）若函数/Q）=+痴―吟生—a（aCR）有2个不同的零

点,则实数a的取值范围是.

题目I13］（2024下■广东・广州市一模）已知函数/（c）=COST+xsmx,xE（―兀,兀）.

（1）求/（为的单调区间和极小值；

⑵证明：当TC［0,乃）时，2/（/）We"+e『

MS

［题目|14］（2024下•广东大湾区•校联考模拟演测）设函数f㈤=In/+a（z—1）（2—2）,其中a为实数.

⑴当a=l时，求/Q）的单调区间;

（2）当了㈤在定义域内有两个不同的极值点g应时，证明：/（g）+f（x2）＞^-+ln^.

yib

蜃团工（2024下•广东弗州市一模）已知函数/⑸=ac—十―（a+l）lmr（aCR）.

⑴当。=一1时，求曲线4=/（力）在点（e,/（e））处的切线方程；

（2）若/（力）既存在极大值，又存在极小值,求实数Q的取值范围.

•••

［题目［16］（2024下•广东•百校联考）已知函数/（Z）=ex-ln（x—巾）（其中e为自然对数的底数）.

（1）当m=—1时，求/（a?）的最小值；

（2）若对定义域内的一切实数为都有/（⑼>4,求整数m的最小值.

（参考数据：/。3.49）

遒U亘（2024下•广东•梅州市一模）已知函数/（尤）=lnQ+l）—』粉（&>0）.

（1）若力=1是函数/（N）的一个极值点，求a的值；

（2）若/Q）>0在［0,+8）上恒成立,求a的取值范围；

（3）证明：（需y°2S>e（e为自然对数的底数）.

•••

题型04导数的综合应用

［题目|18］(2024下•广东•广州天河区一模)已知函数/(c)=Inc+2x-b(b>2).

(1)证明：/(*)恰有一个零点a,且aC(l,b)；

(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线

法”.任取立住(l,a),实施如下步骤:在点(%f(g))处作/Q)的切线，交①轴于点(电,0)：在点

(电,/(电))处作了(功的切线，交多轴于点(附0)；一直继续下去，可以得到一个数列｛0｝，它的各项是

f(x)不同精确度的零点近似值.

⑴设瑞^产仪叫)，求g(cn)的解析式；

(ii)证明：当©C(l,a)，总有xn<xn+1<a.

［题目〔19］(2024下•广东•深圳市一模)已知函数/(①)=矶/—l)e"+i—22In2—/(aeR).

⑴当a=0时,求函数/O)在区间［e71］上的最小值;

(2)讨论函数/(①)的极值点个数；

(3)当函数/(0无极值点时,求证：asinA>§.

MS

题型05导数的新颖题型

题目|20］(2024下•广东•暮曷)对于函数y=f(x)，把/(⑼称为函数夕=/(*)的一阶导，令/'(c)=g(c),

则将g'⑸称为函数y=f(G的二阶导，以此类推…得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用［/'(力

表示.

(1)已知函数/(2)=ex+ainx-d,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.

(2)现定义一个新的数歹U：在沙=/(力)取S=/(1)作为数列的首项，并将/(1+力］”,n>1作为数列的

第九+1项.我们称该数列为y=f(x)的“八阶导数列”

n

①若函数g(c)=x(n>1),数列｛册｝是夕=。(立)的“九阶导数列”，取空为｛an｝的前九项积，求数列

｛台｝的通项公式.

②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“八阶导数列”为严格减数列且为无穷

数列，请写出它并证明此结论.(写出一个即可)

MS

蜃叶口(2024下•广东•广州市二中模拟)数列｛册｝严格减数列且为无穷数列，满足条件.

若力=加时，函数/(力)取得极大值或极小值，则称馆为函数/(/)的极值点.已知函数/(2)=In/+

一7—，g(2)=Vox，其中Q为正实数.

x-Ya

(1)若函数/(乃有极值点，求a的取值范围；

(2)当电>g>0,g和0的几何平均数为J嬴，算术平均数为Bi署.

①判断，g—了与电和电的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；

lnx2—lna;i

②当a>1时,证明：y(x)Wg(x).

MS

题耳叵〕（2024下•广东•茂名市一模）若函数/（①）在［a,b］上有定义，且对于任意不同的［a,b］,都

有|/（伤）一/3）Vk\X1-x2\，则称/㈤为［a,b］上的“类函数”.

2

（1）若/（切=看+=判断/Q）是否为［1,2］上的“3类函数断

（2）若fQ）=a（x-l）e工一金-xlnx为［l,e］上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

（3）若/㈤为［1,2］上的“2类函数”，且/⑴=*2），证明：V电,x2e［1,2］,1（亚）一V1.

MS

导数及导数应用

题型01导致的几何意义

题型02导数与函数的单调性

题型03导致与函数的极值、最值

题型04导数的综合应用

题型05导数的新颖题型

题型01导数的几何意义

蜃团工（2024下•广东•茂名市一模）曲线/（c）=1+ac在点（0,1）处的切线与直线y=2c平行，则a=

（）

A.—2B.—1C.1D.2

【答案】。

【解析】

【详解】因为曲线/（力）=e*+QN在点（0,1）处的切线与直线g=2%平行，

故曲线/（/）=已|+0/在点（0,1）处的切线的斜率为2,

因为/'（力）=6"+Q,所以/'（0）=e°+a=1+a=2,

所以Q=1,

故选：C.

题目0）（2024下•广东•梅州市一模）已知力（力）=力/+5由力+以九名,九+1（力）是力（力）的导函数，即力（①）=

―0），/3（/）=力（④），…，九+13）=尤3），心CN*,则力024（0）=（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【解析】

【详解】解：因为力（力）=/£*+sin/+cosN,

所以力（力）=f；（①）=（x+l）ex+cosx—sinrc;

力（2）=力（力）=（%+2）e,一sine—cosx;

力（2）=月（力）=（x+3）e,一cos/+sinre;

f5（x）=力（力）=（x+4）e,+sinc+cosx;

,,，

由此规律可得：/2024（/）=f2023（x）=（/+2023），*—cos/+sin2.

所以由2024（0）=（0+2023）e°-cos0+sinO=2023-1=2022.•••

故选：8.

[题目|1](2024下•广东大湾区•校联考模拟覆测)(多选)若过点(a,b)可作曲线/(力)=/n工的n条切线

(九6八0，则()

_3_

A.若Q<0,则n<2B.若OVQVe?,且b=(121rlQ,则n=2

C.若n=3,则a'naVbV2QC2+^-e-3D.过(e6),仅可作g=/(c)的一条切线

【答案】ZBO

【解析】

【详解】设切点(a?o,Xolna?o)，则/(0)—2glng+g,

切线为g一局lng=(2glng+/())—g),

代入(a,b)整理得(2%()lng+g)Q—斓ng—b=0,

令g[x)=(2/lnc+x)a—rc2lna;—x2—b,

g{x}=(21nrc+3)a—2/1HN—3X=(21nc+3)•(Q—%),

_3.

2

令g{x}=0得伤=Q,x2=e.

当Q40时，/G(0,e,g\x)>0,所以g{x}在(0,e上单调递增，

xE(e2,+8),/(/)VO,所以在(e2,+8)上单调递减，

g(ef=—2a-e奇+/eT—b,在(0,+8)两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，

所以至多有2个零点，故A正确；

当Qe(0,e时，xE(0,Q)和力e(e、,+oo)时，g[x}VO,所以g[x}在(0,a),(e亍,+8)上单调递减,

xG（a,e之），03）>0,所以g（0在（Q,e2）上单调递增,

/_3^\_A1

g[a}—a2lna-b,gye=—2ae^+—,e-3—fe,

当b=a2lna时，g（Q）=0,所以g（e'）>0,

结合图象，值域为（一oo,—2Qe.+1•e-3—b]，所以n=2,B正确;

若?i=3,则g（Q）<0<g（e,即a2lna<b<—2ae^+-1-e-3,

同理当a>e亍时，g（e<0<g（Q）,即一2aeT+^-e-3<b<a12l*na,C错误;

_3.

若Q=e"时，g'Q）&0,gQ）单调递减;

结合图象，g®E（—oo,b）,

则当一b>0时，g{x}有1个零点，即bV。，。正确,

故选：ABD.

［题目|4］（2024下•广东•广州市一模）（多逸）已知直线g=k力与曲线g=In力相交于不同两点M（xi,yi）,

N，曲线。=ln%在点7W处的切线与在点N处的切线相交于点「（g,%）,则（）

A.0<fc<—B.力便2=e四）C.yi+旷1+%D.y1y2V1

e

【答案】ZCD

【解析】方法一：过（0,0）作g=Ina;的切线，切点设为（g/ng）,g'=工,k=工切线g—lng=

x23

工（7-2；3）,过（0,0）,则一lng=L（-a；3）,则x3=e

力3/3

切线的斜率为（0,!），人对.

eve7

在TVf处切线：y=—x—1+Ing,在N处切线y=-x—1+lnx2

Xix2

<1

9一五c+lnNiTlnx2—inx1lnx2—lnx1

i，则x0=----------=力巡2-----------

y=-x—1+\nx2电一力2一为

l”2X1x2

k=In*2m3,g=x1x2k,即力便2=exxQ,B错\

x2—Xik

%_Inrci_Ing.】_】

rv———,••—9

XiXix2

1lnx—inx1r力21n%2-Nzlnci+c21nrq—cjn/i

Uo=----2巡2-----2------1-FInXi—l=--------------------------------1

◎x2—xr力2一名1

比21n/2一力Jn力1力21口/2—力Jn/i

----------------l,y+l

力2一610N2f

,,,,（Ing+lng）侬一州）xlnx2—xinx2+x2\nx—xinx

yi+V2=lng+lng=--------------------21111

xi—XxX2—Xr

/21口力2—力Jn力i

"）+1,c对.

X2—Xi

•••

J,

对于。二2-：>标,电红3<一,即

lnx2—ynx1g一力1叩2力便2

:.XiX2V1,即标/口2V1,**•kxikx2<1，即9曲V1,。对.

方法二:二；：二，令如=1皿93=?

g（力）在711处的切线方程为y=—（x—+lng=」■力+In/「1①

在N处的切线方程为g=」-c+hi/2—1②

力2

由k%=Inx=>k=有两个不等实根为1,劣2,作出g=的

xx

大致图象如下

A正确.

e

=

x+kxx—kx20=>g=kx^,••x^—-^-rr0>eg,8错.

对于。，由x0=kgg知,0=—,k/i%2+lng—1=kx1-\-kx2—l=%+仍一1

Xi

%+夕2=1+%，C正确•

对于。，由kxr=Infc+ln/i=ink+y产In%,同理Ink+y2=iny2

・•・皿例一改今%统飞一1>VW2=>yiV2<1,D正确.

选：ACD.

［题刖5］（2024下•广东•深圳市一模）已知函数/（力）=。（力一g）（力—/2）（力一g）（Q>0）,设曲线y=f（x）

在点（为,/（词）处切线的斜率为双i=l,2,3）,若如均不相等，且防=—2,则自+4网的最小值为

【答案】18

【解析】

【详解】由于y(rr)=a(x—Xi)(x—rr2)(x—x3)(a>0),

故f'(x)=a[(x—x1)(X—X2)+(x—X2)(x—x3)+(劣_g)(a;_%i)],

故41=Q(g—/2)(21一23)/2=Q(力2—g)(22—◎)，k3=。(3一力1)(出3一62)，

则（+七+士111

a(g—g)(劣1一63)。(力2—劣3)(22—力1)Q(g—g)(g—g)•••

=（g—g）+⑶―g）+但—g）=°

a（±i-o；2）（叫一薪）（磔一的）

由后=-2,得*+*=]~，

代<1儿3乙

由k2=-2,即k2—Q（力2—力3）（12—力1）V0,知名2位于伤,g之间，

不妨设0V电Vg,则卜1>0,网>0,

当且仅当1,即自=6,向=3时等号成立,

〔自十及32

故则3+4上的最小值为18,

故答案为：18

题型02导数与函数的单调性

〔题目〔6〕（2024下•广东成名市一模）（多选）若/⑺=—枭2+22+1是区间（山—1,山+4）上的单

调函数，则实数小的值可以是（）

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】CD

【解析】

【详解】由题意，f（x）=—x2+x+2=—（x—2）（力+1）,

令f，（x）>0,解得一1V/V2,令/（i）<0,解得2<—1或%>2,

所以/（乃在（-1,2）上单调递减，在（-oo,-l）,（2,+oo）上单调递减，

若函数f（①）=―^-X3+^-X2+2X+1在区间（772—1,771+4）上单调，

o/

_1_1

「二c，解得5或??2>3或mG0,

?n+4&2

即m4一5或nz>3.

故选：CD.

题目区（2024下•广东•南一模）已知0<aV1,函数/（⑼=丰0）.

（1）求/（⑼的单调区间.

（2）讨论方程/（⑼=a的根的个数.

【答案⑴.减区间为：（一8,0）,（0,1）;增区间为：（1,+8）.（2）.0

【解析】

【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.

MS

(2)利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.

【小问1详解】

X-a

因为/(工)=肉

a__ex-a-2x—a___e_x—aae:~a(x—1)

所以：/(%)

由/'(2)>0=力>1,又函数定义域为(—oo,0)U(0,+oo),

所以函数在(—8,0)和(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

【小问2详解】

x-a

因为OVaVl,所以：当x<0时，/(力)=-----V0,方程/(力)=a无解;

x

当力>0,函数在(0,1)上递减,在(l,+oo)递增，

所以/(^)min~/(I)=ae1-a>ae°=a,所以方程/(力)=a无解.

综上可知：方程/(2)=a的根的个数为0.

〔题目812024下•广东•东莞)已知函数/(/)=(l+lnx)eln^.

(1)讨论/(田)的单调性；

(2)若方程/(尤)=1有两个根22,求实数a的取值范围，并证明：工便2>1.

【答案】(1)/(乃在(0,1)上单调递增，(1,+8)上单调递减，

(2)见解析

【解析】

【小问1详解】

由题意可得①>0,」一>0,所以a>0,

ax

f(x)=(i+in/)』”』i"的定义域为(o,+oo),

春•a力—(1+Inc)•a

又/(⑼一直。，由/'(①)=0,得2=1,

(ax)2ax

当ovcvi时,f®>o,则/⑺在(0,1)上单调递增,

当①>1时，,㈤<0,则f(x)在(1,+co)上单调递减,

【小问2详解】

由」±1些=1,得1+\nx、氏/、1+Inx

-------=a,仅g(x)=

axx-----------------x

x-(l+lnx)—]mr

g{x}=—，由g'(4)=0,得力=1,

X2T2

当0V"V1时，g'3)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增,

当工>1时，g'(x)V0,则g(x)在(1,+>)上单调递减，•••

又=0,g（l）=1,且当力趋近于正无穷，g（c）趋近于0,

所以当OVQVI时，方程三皿=Q有两个根，

x

、十口口—~,、、兀c11+lng1+lnx2

证明：不妨设—Vx2，则0V的V1<T2,--------=--------,

Xix2

设h{x}=g{x）—g（，）—、+I）—/（1—Inc）,

h!（x）=—与包■+111力=/「7」11%>0,所以九（力）在（0,+8）上单调递增,

x2x1

又九⑴=0,所以九Qi）=g（g）—g（」~）v0,即g（g）<g（」~），

又g（伤）=9（72）,所以g（x2）vg（」-）,

又名2>1,~~>1,g（c）在（1,+8）上单调递减，所以力2>――，

力］X-［

故1逆2>1-

题型03导数与函数的极值、最值

南回回（2024下•广东•佛山禅城一模）若函数/⑺=almr+&+与aw0）既有极大值也有极小值，则

力X

下列结论一定正确的是（）

A.a<0B.6<0C.ab>—1D.a+&>0

【答案】C

蜃回①］（2024下•广东•广州市二中模拟）已知函数/⑺=/—--^—x2-bx（a,bER）没有极值点，则

2（Q+1）

的最大值为（）

a+1

A.手B-f4D.f

【答案】B

【详解】函数/（力）=ex——-x2—bx没有极值点，

2（Q+1）•••

f(x)=ex-----—b=0,或/'(力)40恒成立，

由g=e2指数爆炸的增长性，/Q)不可能恒小于等于0,

/(%)=ex-->0恒成立.

令以n)=ex---J~TX一b,则〃(力)=ex----,

CLIJ.dIJ.

当Q+1V0时，〃(力)>0恒成立，h(*)为R上的增函数,

因为exE(0,+oo)是增函数，(—8,+oo)也是增函数，

所以，此时以力)E(—oo,+oo),不合题意；

②当Q+1>0时，〃(6)=ex---中l为增函数，由h!⑸=0得力=—ln(a+1),

令h'(x)>0<=^>%>—ln(Q+1),h\x)<<—In(a+1)

/.h(x)在(—oo,—In(a+1))上单调递减，在(—ln(Q+1),+8)上单调递增，

。

当力=—ln(a+1)时，依题意有h(x)min=h(—\n(a+1))=—+叱^1)—匕)(),

dIJ.CLI

a1ln(a+1)

a+1a+1

bvln（a+1）+1

a+1>0

a+1、（a+I）?

Iri7]

令Q+1=X（X>0）,U（6）=--------（X>0）,

x2

则〃'（「）=>一（M［+l）・2力=（2hi7+l）

令?/（/）>0<==>0Vn令?/（力）VO,解得力

Veve

所以当力=时，u{x}取最大值

故当。+1=6=乎，即。=返一l,b=乎时，一^取得最大值高

7e262CL~r12

综上,若函数加为没有极值点，则三丁的最大值为气

故选：B.

［题目|11］（2024下•广东•深圳市一模）（多选）设a>1/>0,且Ina=2-b,则下列关系式可能成立的是

（）

A.a=bB.b—a=eC.a=2024&D.ab>e

【答案】A。

【解析】

【详解】由于Ina=2—b,知6=2—Ina,及其Q>1,6>0,则b=2—Ina>0,解得1VaV

•••

对AB,b—Q=2—Ina—Q,设函数/(Q)—2—Ina—a,1a<Ce2,f'(a)——--1V0,

a

故f(a)在(l,e2)上单调递减，则一e2=/(e2)</(a)</(l)=1,即—e2Vb—aV1,故Z对右错；

对。，由于lVaVe?,2=2—Ma,设g(Q)=2Tna/<°<62,0⑷=-Q当3

aQaa

故g(a)在(l,e2)上单调递减，0=g(e?)<g(a)Vg(l)=2,故之G(0,2),

若Q=2024b,O=Gye(0,2),故。对；

a2024

对D,ab=Q(2—Ina),设九(Q)=a(2—Ina),aE(l,e2),h\a)=2—(Ina+1)=1—Ina,

令//(a)=0,则a=e,则QG(l,e),h\a)>0,则aG(e,e2),h'(a)<0,

22

则h(a)在(l,e)上单调递增，在(e,e)上单调递减，/imax(a)=e,无(1)=2,/i(e)=0,故h(a)E(0,e],即0

Vab<e，故。错误.

故选：AC.

趣亘J©(2024下•广东•佛山禅城一模)若函数/(0=eQn工+此一0詈—a(aCR)有2个不同的零

点,则实数a的取值范围是.

【答案】(0,1)U(1,+8)

【解析】

【详解】由函数/(re)=e"(lna;+x)—a(生皂+1)=(Ina?+⑼(e"——(a?>0),

设gQ)=Incc+2,可得g(x)=—+1>0,g(x)单调递增,

且g(,)=Tn2+5<0,g⑴=0+1>0,

所以存在唯一的xrE(0,1)，使gQi)=0,即lng+g=0,

令ex——=0,即a=xex,

设无(力)=跣”,可得"(力)=(N+l)e*>0,则h(x)在(0,+oo)上单增，

又由八(0)=0且/一+8时，h(x)7+00,

X2

所以当aG(0,+oo)时，存在唯一的T2E(0,+co)，使九(力2)=Q，即Q=x2e,

若力产g时，可得°,则In/i=—,可得名产e~X1,所以名代的=1,

[a=/传

所以Q=1,

综上所述，实数Q的取值范围为(0,1)U(1,+00).

故答案为：(0,1)U(l,+oo).

题目I13](2024下•广东・广州市一模)已知函数/(力)=COSN+resin/,力E(―兀,兀).

⑴求/（力）的单调区间和极小值；

⑵证明：当力G[0,7：）时，2/（力）Wex+e-x.•••

【解析】

(1)/(%)=—sinx+sinx+xcosx=xcosx=0=2=0或合或一与

当一兀Vn<—时，/'(I)>0,/(rr)7;当一^VcV0时，/'(力)<0,/(rr)/;

当0V力V■时，f(力)>0,/(/)/;当请■V/V兀时,/(力)V0,/(rc)/;

・•・/（①）的单增区间为（一兀，J），（0,y）；单减区间为（一争0）,（三兀）

/(力)极小值=/(0)=L

⑵当力G［0,7r)时，令F(z)=e*+e—°—2(COSN+rrsin力),

F，(x)=e*—22cos/>ex—e~x—2x

xxxxxx

令8(i)=e-e--2xf^(x)=e+e--2>2^e-e--2=0

:.p(力)在［0,7r)上7,(p(x)>0(O)=0,F\x)>0,F(x)在［0,7t)上7

・・.FO)>F(0)=0,证毕！

〔题目|14］（2024下•广东大湾区•校联考模拟演演I）设函数八①）=Int+以t—1）（t—2）,其中a为实数.

（1）当Q=1时，求/（力）的单调区间；

⑵当/（力）在定义域内有两个不同的极值点名1，电时，证明：/（◎）+/（力2）＞亮+1口鲁.

yio

【答案】（D/3）的单调递增区间为（o,2

（2）证明见解析

【解析】

【小问1详解】

/㈤的定义域为(0,+8),/㈤=1+(2.-3)=2万一?+1,

令f(x)=(2c—l)3—l)=。,得<或2=1,

x2

£G(o.y)u(1,+co)时,F3)>o,①e懵1)时，/㈤<o,

所以/（*）的单调递增区间为

【小问2详解】

2。/2—3。力+1

f'(x)=

X

由f（x）在（0,+8）上有两个不同的极值点XlfX2,

2a#0

Xi+x2=4>0o

故2a/—3a/+1=0有两个不同的正根，则有,-i2c，解得a>9

叩2=蚩>09

A=9a2—8a>0•••

因为/(Xi)+/(力2)—In(力网)+Q(冠+忌)—3aQ1+62)+4a

7

=InQi62)+Q[(力i+力a)2—Zgg]—3a(6i+g)+4a=—ln(2a)+—a—1,

设g(Q)-—ln(2a)+[a-1,Q>[,

则g'(a)=：-十=乌卢>0,故g(a)在借，+8)上单调递增,

又g(a)>g岛=-1喏+/=卷+1端，

故/3)+/(g)>,+1“看・

［题目［15］(2024下•广东•梅州市一模)已知函数/(%)=Q%—1―(Q+l)ln/(a6R).

(1)当。=一1时,求曲线9=/(力)在点(e,/(e))处的切线方程；

(2)若/Q)既存在极大值，又存在极小值,求实数a的取值范围.

【答案】⑴沙二(与―1)力—|"；

(2)(O,l)U(l,+8).

【解析】

【小问1详解】

当a=-1时，函数/3)——X—工求导得/'(%)=占一1,则/(e)■—1,而/(e)=—e——,

xx2e2e

所以曲线y—f{x)在点(e,/(e))处的切线方程为y—

2

e

【小问2详解】

函数/(6)=ax—-—(a+l)lnx的定义域为(0,+co),

x

1a+lax2—(Q+l)x+1(ax—1)(/—1)

求导得『3)――丁=-------------=一―

当a40时，arc—1V0,由/'(%)>0,得0V力VI,由/(力)V0,得c>1,

则函数/Q)在(o,i)上递增，在(1,+8)上递减，函数/Q)只有极大值/(1)，不合题意；

当a>0时，由/'(%)=0,得力=1或6=工，

a

①若0<工<1,即0>1,由f'3)>0,得0V/V工或力>1,由/'(二)V0,得工V/V1,

aaa

则函数/(%)在(0,十),(1,+8)上递增，在(十,1)上递减，

因此函数/(⑼的极大值为/(十),极小值为/(1),符合题意；

②若上>1,即OVaVl,由『(力)>0,得0V/V1或力>工，由/'(二)V0,得1V/V工，

aaa

•••

则函数/Q)在(0,1),(，,+8)上递增，在(1,十)上递减，

因此函数/㈤的极大值为f⑴,极小值为/(十)，符合题意；

③若工=1,即a=l,由/3)>0在(0,+co)上恒成立，得/(⑼在(0,+co)上递增,

a

函数f(x)无极值，不合题意,

所以a的取值范围为(0,1)U(1,+00).

题目叵］(2024下•广东•百校联考)已知函数/(c)=e-ln3—巾)(其中e为自然对数的底数).

(1)当?7l=—1时，求/(C)的最小值；

(2)若对定义域内的一切实数土,都有/Q)>4,求整数m的最小值.

(参考数据：3.49)

【答案】⑴1(2)1

【解析】

【小问1详解】

m=-l时，/(①)=e"—ln(a;+1)，故f(x)=ex---

因为y=因,y=_］在(-l,+oo)上均为增函数，故/(工)在(―l,+oo)上为增函数，

而f(0)=0,故当(0,+8)时，/'(］)>0,当,6(-1,0)时，/'(2)<0,

所以/(田)在(—1,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，

故/(c)min=/(0)=L

【小问2详解】

由/(x)的定义域为(m,+co),f'(x)=e"-----—,x>m,

x-m

x

因为y=e,y=—xm在(m,+co)上均为增函数，故/(①)在(m,+oo)上为增函数，

而/'(6+1)=e1m1+1-^———>1-Y=0,

\m\+1—mi

当力一7n(从M的右侧)时，/'(2)一一8,故/'⑺在(m,+oo)上存在一^零点g,

且力G(m,g)时，<0;xE(g,+8)时,『(力)>0;

故/(力)在(zn,g)上为减函数，在(力o，+8)上为增函数，

故/⑸min=/(/o)=e/°—