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文档简介
选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练(29)
一、单选题
1.已知以厂为焦点的抛物线/=4%上的两点A,8满足赤=3而,则点A的横坐标为()
.4
A.1B.-C.2D.3
3
2.已知抛物线。:犷=2°吠0>0)上一点加«),2夜)至憔点F的距离,|=|%,则。=()
A.1B.2C.4D.5
3.已知点P是双曲线£:=-匕=1的右支上一点,心/为双曲线E的左右焦点,的面
1691212
积为20,则下列说法正确的是()
①点尸的横坐标为日
②△尸P尸的周长为竺
123
③△尸尸尸的内切圆半径为1
12
④4FPF的内切圆圆心横坐标为4
12
A.②③④B.①②④C.①②③D.①②
4.已知双曲线C:=-"=l(a>b>0)的左、右焦点分别为勺、F尸是双曲线C上的一点,且
a2b212
7a2+/?2TTIT
Q—―,0满足NF1P2=B,=则双曲线c的离心率为()
216,2
\7
V10口而「2x/10八底
AA.-------D.C.----------D.
2255
5.已知抛物线产=4x的焦点为尸,过点F的直线I交抛物线于A,3两点,延长尸3交准线于点C,
\BF\
若1301=213/I,则的值是()
\AFI
A.—B.—C.LD.—
4323
6.已知。为坐标原点,点M在双曲线C:x2—>二九(九为正常数)上,过点加作双曲线。的某
一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ONH"M的值为()
x
A.-B.XC.2XD.无法确定
2
7.在平面直角坐标系尤。丫中,M为双曲线三-丝=l(a>0,b>0)上一点,厂是该双曲线的焦点,
〃2匕2
且满足⑸d=bM,若的面积为02,则双曲线的离心率为()
A.0B.店C.272D.3
8.抛物线12=2py(p>0)与椭圆*+1-=1交于A,5两点,若“08的面积为仄'(其中。为坐标原
点),贝IJP=()
A.2B.3C.4D.6
9.已知椭圆C:=+”=1(。泌>0)的左右顶点分别为A和5,P是椭圆上不同于A,5的一点.设直
Q2b2
线AP,BP的斜率分别为加,%则当m3-++c(lnlml+lnl“l)取最小值时,椭圆C的离
b\5mn)mn2
心率为()
A.述B.±C.3D.1
3525
10.已知双曲线C:工-丝=1(“>0,6>0)的左焦点为尸,过尸且斜率为1的直线分别与C的两条渐近
G2/72
线交于4,8两点,若B为4尸的中点,则该双曲线的离心率是()
A.万B.2C.石D.而
11.设厂(。,0)为双曲线E:工-"=1(a>0力>0)的右焦点,圆尤2+产=02与E的两条渐近线分别
42力2
相交于4B两点,。为坐标原点,若四边形。4总是边长为4的菱形,则E的方程为()
A.=-丝=1B.三-丝=1
6226
c.卫-21=iD,三—竺=1
123412
12.已知双曲线C:三-丝=1(“>0力>0)的左,右焦点分别是尸,F,点尸是双曲线C右支上异于顶
a2Z?212
点的点,点H在直线x上,大eR.若5加+4汴+3雨=0,则
21
双曲线c的离心率为()
A.3B.4C.5D.6
94
13.已知双曲线C:史-E=i(a>o,b>。)的左、右焦点分别为尸,F,过点/且斜率为的直
〃2。21217
线与双曲线在第二象限的交点为A,若(尸尸+//)・b•=(),则双曲线C的渐近线方程是()
1212
A.y=+—xB.y=±-xC.y=+>j3xD.y=+---x
34/3
14.已知双曲线c:二-£=l(a>0,b>0)的左右焦点分别为f肖,〃为C左支上一点,N为线段“
。2b2122
上一点,且尸为线段的中点.若忸1=4181(。为坐标原点),则C的渐近线方
程为()
A.y=±xB.y=+>/2x
C.y=±y/3xD.y=±2x
15.过双曲线三-g=l(a>0,6>0)的右焦点尸作一条渐近线的垂线,垂足为A,交另一条渐近线
〃2b?
于8点,且8尸,=2E4,则该双曲线的离心率为()
A.—B.亚C.向D.—
32
二、填空题
16.已知双曲线二-竺=l(a>0,6>0)的中心为O,左焦点为尸,左顶点为A,点P为双曲线右支
42/72
上一点,直线OP交双曲线于另一点Q,若直线AQ恰好平分线段PF,则该双曲线的离心率为
17.已知厂是抛物线xz=4y的焦点,8(0,-1),A为抛物线上任意一点,当需取最小值时,|人冏=
18.直线y=W无交椭圆C:二+匕=l(a>b>0)于A,B两点,|AB|=4石.厂是椭圆的右焦点,
若则。=.
19.已知点尸为双曲线三一2i=lQ>0,6>0)的右焦点,过尸作一条渐近线的垂线,垂足为4若
。2/?2
△04尸(点。为坐标原点)的面积为2,双曲线的离心率ee[而,府],则a的取值范围为,
20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸,A为C上一点,以尸为圆心,E4为半径的圆交C
的准线于B,。两点,若A,F,B三点共线,且14/1=3,则抛物线C的准线方程为.
21.已知双曲线C:兰-竺=1(。>0,6>0)的右焦点为/,。为坐标原点,直线/、/为双曲线C的
。2拉12
两条渐近线,过点尸的直线/与渐近线/平行,且/与双曲线。交于点尸,若直线。尸的斜率为直线,
12
的斜率的g,则双曲线C的离心率为.
22.如图,已知抛物线C:w=4x的焦点为尸,抛物线C的准线/与x轴相交于点A,点。(。在
第一象限)在抛物线C上,射线尸。与准线/相交于点B,BQ=2QF,直线AQ与抛物线C交于另
\PQ\15Pl
一点P,则
TAQ\\PF\
y
23.已知产是双曲线三-E=i(a>o2>o)的右焦点,过点尸作渐近线的垂线W(点X为垂足),并
<22枚
交双曲线的右支于点4若A为线段用的中点,则双曲线的离心率为___________.
24.设尸J1是双曲线己蔗-言=13>0,。>0)两个焦点,0为坐标原点,p在C上,|0刊=|。々|,
且尸々与。的一条渐近线平行,则。的离心率为.
三、解答题
25.已知椭圆C:二+”=l(a>b>0),离心率e=遗,且过点1?'.
02及2I2J
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线x=l上有一点P,且与x轴交于。点,过。的直线/交椭圆C于A,B两点,交直线
x=3于M点,是否存在实数大,使得3+脸=九勺.,恒成立?若存在,求出实数大的值;若不存在,
PAPBPM
请说明理由.
26.已知椭圆C:=+二=1(。>6>0)的四个顶点围成的四边形的面积为2、?,右焦点尸到直线
〃22
尤-y+2=0的距离为2点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点加(-3,0)的直线/与椭圆C相交于A,8两点,过点尸作直线/的垂线,垂足为N(点A,
2
B在点N之间).若AA尸M与ABFN面积相等,求直线/的方程.
22
27.已知A,B分别为椭圆C:三+竺=lQ>b>0)的左右顶点,厂为右焦点,点尸为C上的一点,
P尸恰好垂直平分线段08(。为坐标原点),|PF|=-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过尸的直线/交C于M,N两点,若点。满足OQ=OM+ON(Q,M,N三点不共线),求
四边形OMQV面积的取值范围.
28.已知椭圆C:竺+”=1电>6>0)的左、右焦点分别为々,/,左、右顶点分别为A,8,忸川=2,
a2b21212
\AB\=4.
(1)求椭圆C的方程.
()过尸的直线与椭圆交于两点(均不与重合),直线与直线交于点,
22CM,NA,BMBx=4G
证明:A,N,G三点共线.
29.已知双曲线E:=-21=lQ>0,b>0)的右焦点为歹,离心率e=2,直线/:x=叵与E的一
〃2匕2C
条渐近线交于Q,与无轴交于p,且忸。|=百.
(1)求E的方程;
(2)过下的直线/'交E的右支于A,B两点,求证:PF平分/APB.
30.已知点尸(无①在椭圆C:=十二=1(。>6>0)上,且椭圆C的离心率为也,若过原点的直
Q2/?22
线交c于A,8两点,点A在第一象限,轴,垂足为。,连接3。并延长交C于点E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:AB1AE.
31.在平面直角坐标系xOy中,尸,A分别是椭圆广三+#=1(4>0)的左焦点和下顶点,点
42
E-五-乎]在椭圆「上.
(1)求椭圆「的方程及点£4的坐标;
(2)椭圆「上是否存在两点M,N,使得AAMN的三条高线交于点若存在,求出此时所
在直线的方程,若不存在,说明理由.
32.设椭圆C:=+匕=1(°>/,>0),O为原点,椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B,点。(02),
CL2/72
椭圆C的离心率为正,>ZOAB-ZODA.
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)不与%轴平行的直线/与椭圆C交于不同点尸、Q,已知点尸关于了轴对称点为点",点。关
于原点的对称点为点N,且。、M、N三点共线,求证:直线/过定点.
33.已知椭圆C:二+竺=l(a>b>0)的离心率为:点在椭圆C上.
a2b22t2J
(I)求椭圆c的方程;
(2)若过点8(4,0)作直线/交椭圆C于不同于A的。,E两点,记直线DA,胡的斜率分别为上水,
12
试问:k+k是否为定值?若是,求出定值,若不是,请说明理由.
12
34.已知椭圆E:上+"=1(°>6>0)的离心率为且,且过点其下顶点为点A.若斜率存
a2b22I2)
在的直线/交椭圆E于尸,。两点,且不过点A,直线ARAQ分别与x轴交于M,N两点.
(1)求椭圆E的方程.
(2)当M,N的横坐标的乘积是g时,试探究直线/是否过定点,若过定点,请求出定点坐标;若
不过,请说明理由.
35.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=+"=l(a>b>0))的离心率为正,短轴的一个端点的
〃2b22
坐标为(0,-1).
(I)求椭圆C的方程.
(2)点F为椭圆C的右焦点,过C上一点A(x,y)(x,y/0)的直线/:%%+2yy=2与直线1°:X=2
11111112
交于点为尸,直线Ab交。于另一点8,设A5与。尸交于点。.证明:
7C
(i)ZAFP=-;
2
(ii)。为线段AB的中点.
36.已知椭圆E:二+”=1(°>6>0)的上顶点为7(0,1),且7与椭圆£的两个焦点构成一个等腰直
CL2/72
角三角形.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若不过点(|,。]的动直线与E交于点48点河满足。4@=-焉求T到直线距
离的最大值.
37.已知定点4。,T),5(0,1),曲线L上的任一点M都有词2月
(1)求曲线乙的方程;
(2)点。(-2,-2),动直线/恒过点N(0,2),与曲线L交于C,。,设直线02,32,N0的斜率分别
为证明:成等差数列.
123kkk
132
38.如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过
椭圆的另一个焦点.已知椭圆C:=+"=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,左、右顶点分别为
a2b212
A,B,一光线从点勺(-1,0)射出经椭圆C上尸点反射,法线(与椭圆C在尸处的切线垂直的直线)
与x轴交于点。,已知忸勺|=2近,|华卜如.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过门的直线与椭圆C交于M,N两点(均不与A,B重合),直线MB与直线x=4交于G点,证
明:A,N,G三点共线.
39.设椭圆C:=+*=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸,F.已知C的离心率为L,过焦点歹
〃2从1222
的直线/交C于A,B两点,当焦点勺到直线/的距离最大时,恰有|44|=2.
(1)求C的方程;
(2)过点(。力)且斜率为石的直线交C于E,F两点,E在第一象限,点尸在C上.若线段EF
的中点为",线段的中点为N,求尸面.丽■的取值范围.
40.已知产为抛物线(7:》2=2勿(。>0)的焦点,直线/:y=2x+l与C交于A,8两点且
\AF\+\BF\=20.
(1)求C的方程.
(2)若直线〃?:y=2x+f(f/l)与C交于M,N两点,且AM与BN相交于点T,证明:点T在定
直线上.
41.已知椭圆C:=+二=1(。>6>0)的离心率为直,点A,B分别为C的上下顶点,点。(。』)为
42/725
A8的四等分点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点。的直线/与C交于异于A,8的E,尸两点,且直线AE,BF交于点M,证明:点
M在定直线上.
42.已知点尸为椭圆C:±+竺=13>6>0)的右焦点,椭圆上任意一点到点/距离的最大值为3,
〃2/72
最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(2)若M为椭圆C上的点,以"为圆心,板长为半径作圆若过点与-1,0)可作圆M的两条
切线为切点),求四边形面积的最大值.
43.已知。”>0,曲线「由曲线C:=+丝=1(”0)和曲线C:=1(”0)组成,其中曲
1a2b22aib2
线c的右焦点为々(2,0),曲线c的左焦点夕(-6,0).
1122
(1)求。,6的值;
(2)若直线/过点/交曲线C于点A,8,求AAB々面积的最大值.
211
44.已知点。是圆。:。+4)2+产=72上一动点,点4(4,0),线段的中垂线交。。于点8.
(1)求动点B的轨迹方程C;
(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为‘相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似,
且焦点在同一条直线上,曲线T经过点E(-3,0),F(3,0).过曲线C上任一点尸向曲线7作切线,
切点分别为M,N,这两条切线尸M,PN分别与曲线C交于点G,8(异于点尸).
\MNI
证明:西方是一个定值,并求出这个定值.
ICr/7I
45.如图,已知椭圆E:=+竺=1(°>b>0)的离心率为且,A,8是椭圆的左右顶点,尸是椭圆
。2bi2
E上异于A,B的一个动点,直线/过点8且垂直于x轴,直线AP与/交于点。,圆C以2。为直
径.当点尸在椭圆短轴端点时,圆C的面积为兀.
(1)求椭圆E的标准方程;
s
(2)设圆C与PB的另一交点为点R,记AAQR的面积为S,ABOR的面积为%,试判断p是
2
否为定值,若是定值,求出这个定值,若不是定值,求器的取值范围.
2
46.如图,椭圆「*+川=1Q>1)的右焦点为b,右顶点为A,满足血+血=向,其中。
为坐标原点,e为椭圆「的离心率.
(1)求椭圆「的标准方程;
(2)设M为椭圆「上的动点(异于左右顶点),直线板交椭圆「于另一点N,直线M4交直线x=2
于点P,求证:直线PN过定点.
47.在平面直角坐标系尤0y中,已知椭圆C:兰+竺=1(°>匕>0)的离心率为立,短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设尸为椭圆上顶点,点A是椭圆C上异于顶点的任意一点,直线P4交工轴于点“,点5与
点A关于1轴对称,直线尸8交了轴于点N.问:在》轴的正半轴上是否存在点Q,使得
N0QM=/0NQ?若存在,求点。的坐标;若不存在,请说明理由.
48.已知抛物线。:产=2px(p〉0),满足下列三个条件中的一个:①抛物线。上一动点。到焦点厂
的距离比到直线能:X=-1的距离大1;②点42,3)到焦点F与到准线1:X=-々的距离之和等于7;
③该抛物线C被直线〃:x-y-2=0所截得弦长为16.请选择其中一个条件解答下列问题.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)。为坐标原点,直线/与抛物线C交于N两点,直线的斜率为直线ON的斜率为
k,当k=-4时,求AOA/N的面积的最小值.
212
49.已知椭圆E:竺+丝=l(a>b>0)的离心率为它,焦距为2vL
。2人22
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点尸(1,0)的直线与椭圆交于48两点,在x轴上是否存在一个定点"0,0),使得为
定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
50.椭圆C:丑+竺=l(a>6>0)的左、右焦点分别是尸、F离心率为上,过尸且垂直于x轴的
42621221
直线被椭圆c截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知点”(0,1),若直线y=x+f与椭圆C相交于两点C,。且直线ac,HO的斜率之和为-2,
求实数『的值.
(3)点尸是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接尸尸「PF设/尸尸尸的角平分线尸河交C的
1212
长轴于点/(肛0),求利的取值范围.
【答案与解析】
1.D
【解析】
设48为丫=左(》-1),A(x,y),B(x,y),联立抛物线方程,应用韦达定理可得xx=1,根据向
112212
量的关系有l-x=3(x-1),即可求A的横坐标.
12
由题意,A、F、8共线且直线的斜率存在,可设直线A3为>=左(》-1),
联立方程消元得:上心-(2公+4)x+跄=0,且A=16左2+16>0,
[y2=4x
设A(x,y),B(x,y),贝ij无x=1.
112212
vAF=3FB,又尸(1,0),
**.\—x=3(x-1),
12
\xx=11
综上,有i二=3(x.l),可得",々=针
I12
故选:D.
关键点点睛:设直线方程及交点坐标,联立抛物线,应用韦达定理求xx,结合向量的数量关系,
12
列方程组求交点横坐标.
2.B
【解析】
由抛物线的定义可知际|=%+々,与已知条件结合得%=P,把点M的坐标代入抛物线方程即可
得解.
由抛物线的定义可知|MF|=x+2,
02
v|MF|=-x,x+=-x,即%=〃,
12oO22O1o
•.•点M(0,2正)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,;.8=2p2
解得:P=2或-2(舍去),
故选:B.
关键点点睛:本题考查抛物线的定义,解题的关键是利用抛物线定义写出+上,考查学生
02
的分析能力和运算能力,属于基础题.
3.B
【解析】
设△尸尸尸的内心为/,连接/P,IF,/F,求得双曲线的a,b,c,不妨设尸(办"),m>0,n>0,
1212
运用三角形的面积公式求得P的坐标判断①,由两点的距离公式,可得尸尸的周长判断②,设
12
的内切圆半径为r,运用三角形的等面积法,可计算r判断③,设的内切圆圆心横
1212
坐标为X,利用正切的二倍角公式可判断④.
设的内心为/,连接。,IF,IF,
1212
双曲线E:三-芝=1中的a=4,b=3,c=5,
169
对于①,不妨设尸(〃?,"),相>0,n>0,由的面积为20,可得[忸川w=c〃=5"=20,即
12
122
〃=4,由小一3=1,可得机=竺,故①正确;
1693
对于②,由尸用41且〈(一5,0),勺(5,0),得叫+%=^16+v+^+j=T+T=T,
则△尸平的周长为三+10=?故②正确;
对于③,设△PFb内切圆半径为广,由三角形等面积法得:厂(|尸尸|+忸/|+忸歹|)=2•忸川-4,即
112
1222122
onq
yr=40,解得r=5,故③错误;
ZPFFr3
对于④,设△尸P尸的内切圆圆心横坐标为心则tan—=--=--又
122x+52(x+5)
“/PFF
4122tan—/PFF/PFF1
tanZPFF=——=—=------,解得:tan—厂=一6(舍去)或tan—尸=大,
一一+58l-tanz....-22。
32
31
故——=7.求得x=4,故④正确;
2(%+5)o
故选:B
(1)坐标法是解析几何的基本方法;
(2)灵活运用定义在解析几何中是常见的思路;
(3)解析几何问题解题的关键:解析几何归根结底还是几何,根据题意画出图形,借助于图形寻
找几何关系可以简化运算.
4.D
【解析】
设|PFj=f,得到忸〈|=/+2a,在中,由余弦定理求得3骁+6af=44,再根据
\PQb=L(t+2a)2+^t2--=--t2,化简求得5f=2a,代入上式,结合离心率的定义,即可求解.
4444
如图所示,点2(1,0),所以|。勺|=?
设|尸工|=/,则叫=t+2a,
因为=NFPQ=I,可彳导/FPF=冬,
1622123
在△勺隼中,由余弦定理可得coy*上崎哥更T
即2/2+4at-4Z?2=—t2-2at,BP3t2+6at=4Z?2,
13cz
又由|PQ|2=_«+2Q)2+T2----=----t2,
4444
即4/2+4at+4〃2-3c2=c2-4优,BP8n+4at+4〃2-4c2=0,
BP8/2+4at=4c2-4。2=4/72,
所以8r2+4m=3德+6成,可得为2=2G,BP5t=2a,
7272
将夕=2。代入3/2+69=4。2,可得一。2=助2,即一=4。2-4。2,
2525
可得e=£=叵.
a5
故选:D.
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:
1、定义法:通过已知条件列出方程组,求得a,。得值,根据离心率的定义求解离心率e;
2、齐次式法:由已知条件得出关于de的二元齐次方程,然后转化为关于e的一元二次方程求解;
3、特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率
5.B
【解析】
过4,8分别作4知,8"垂直准线于“山,则有出川=⑷=由IBC1=2IB尸I可求出
।।2|CF|44
|C^=4,由于丽=(川+|4-广4+|4阴=4+|AM|'从而可求出答案・
由题意可知,P=2,则尸(1,0),准线为直线x=-l,
过A,8分别作AM,BN垂直准线于M,N,则有旧q=忸时,,
因为™,所以™,所以\B鬲C\=§2'所以氏丁2
AO
所以忸N|=|BH=§,忸c|=5,所以|CH=4,
P_M2IS44
U^\AM\\CA\'^^\AM\|CF|+|AF|4+|AF|4+\AM\5
解得|AM|=4,所以MH=4,
4
-
31
----
AF43
故选:B.
关键点睛:此题考查抛物线的定义和几何性质的应用,考查数形结合的思想,解题的关键是对抛物
线定义的理解.
6.A
【解析】
设/(九〃),即有磔一〃2=大,求出双曲线的渐近线为y=±x,运用点到直线的距离公式,结合勾
股定理可得IONI,化简整理计算即可得到所求值.
设“⑺/),即有侬—小二九,双曲线的渐近线为产土巧可得,
由勾股定理可得|CW|=JOM12TMNI2=*加2+几22")=,
可得|。用」加|=嘿.展==g.
故选:A.
思路点睛:本题先利用点到直线距离公式及勾股定理求出再利用xz-w=大解问题的.
7.A
【解析】
不妨设尸是该双曲线的右焦点,M在第一象限,延长交双曲线的左支于N点.设左焦点为勺,
则八勺在以为直径的圆上,利用双曲线的定义和勾股定理可求得|加日•吟再由AOM尸的
面积可得出。、c的齐次等式,由此可求得双曲线的离心率.
不妨设厂是该双曲线的右焦点,M在第一象限,延长M0交双曲线的左支于N点.
设左焦点为歹,则歹、/在以为直径的圆上,
11
根据双曲线和圆的对称性,圆过双曲线的左、右焦点,
则可得|嵋|一际1=2。,\MF^+\MF\2=\FF^=(2c^,
所以抽勺|一匣歹|)=|MF|2-2\MFI•|MFI+f=|FFJ2-2|MFI•|MFI,
又因为S=S=-\MF\-\MF\^2a2,
/XMNF/\MFf2'1
所以(2a)2=(2c)2-8Q2,得c=百。,所以e=—=>/^.
a
故选:A.
方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:
(1)定义法:通过已知条件列出方程组,求得。、。的值,根据离心率的定义求解离心率e的值;
(2)齐次式法:由已知条件得出关于“、。的齐次方程,然后转化为关于e的方程求解;
(3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率
8.B
【解析】
Y33Y4
由抛物线与椭圆交点的对称性,设A(x,y),(x>0),结合已知有S.=产,m+『=12,
o00AOB2Pb2P2
即可求(,进而求p值.
由抛物线与椭圆的对称性知:A,8关于y轴对称,可设4(无,y),B(-x,y),(x>0),
000
,:AAOB的面积为布,
Jx2xxy=4=B,而4+”=.+耳=12,
202P12202P2
I.由上整理得:%4-12x2+36=0,解得工2=6,贝I」P=3.
000
故选:B.
关键点点睛:根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标,结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参
数值.
9.A
【解析】
设P(x,y),利用斜率公式求得机〃,结合P(x,y)在椭圆上,化简可得相〃=---,令一=1〉1,
0000。2b
贝U/G)=t+21nL利用导数求得使了。)取最小值的乙可得/=:=2时,y+ln|m|+ln同取得最小
tbb
值,根据离心率定义可得结果.
yy2Z?2
A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则y2_________o_,而刃-—n=—e-,贝1mne------,
。。%a2xo+ax-a型一〃2。2
00
/、
又日(3———|+—+-(lnlml+lnlnl)=-3--------+——1-9b
n-
b\3mnJmn2b3b2bza
\a2JQ2
r\
令3=1>1,贝!|/⑺=一£3—3拉+3/—91n1,
b3
所以:⑺=2,一切+3-9=(fA")
2后
故/⑺=/(3),
min3
故选:A.
本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用,以及椭圆的离心率,利用导数求函数的最
值,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种
情况:①直接求出“,c,从而求出e;②构造”,c的齐次式,求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲
线的定义来求解.
10.D
【解析】
先设直线方程判断点4B位置,分别联立方程得到〃和力,再根据中点关系得到
>=2>,代入计算即得2=3,利用求解离心率即可.
ABa
设直线方程为>=x+c,依题意,点A为直线与渐近线方程y=2尤在第一象限内的交点,点8为
a
b
直线与渐近线方程y=--x在第二象限内的交点,
a
b
y=x,解得>=仔~
联立a;
ab-a
y=x+c
b
y=x,解得丁匕
联立a
y=x+c
因为5为A尸的中点所以^=北,乙2y,BP—=—,故b=3a,即2=3,
Bb-ab+aa
所以双曲线的离心率e=£=J"?+"]=J1+叵=Jl+9=V10.
〃V〃2YQ2
故选:D.
方法点睛:求双曲线离心率(或范围)的常见方法:
(1)直接法:由a,c直接计算离心率e=£;
(2)构建齐次式:利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于。,b,c的方程和不等式,利用
行=或+加和e=£转化成关于e的方程和不等式,通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范
a
围.
11.D
【解析】
根据菱形、圆的性质知c=4且△。4尸、A尸均为等边三角形,结合渐近线方程、双曲线参数关
系求“2,bi,即可求E的方程.
由四边形。AEB是边长为4的菱形,知:c=4且△。4尸、△斤均为等边三角形,而渐近线方程
、।b
为y=±T,
a
bl
**•-=tan60°=v3,又+。2=c2=16,
a
・・.〃2=4,从=12,故£的方程为^——=1.
412
故选:D
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