浙江省湖州市某中学2024届高三年级下册新高考模拟数学试题（解析版）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试模拟测试卷

（浙江省湖州二中模拟试卷）

数学试题

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

TTA=y=J2x-%],5={y=2,xeRi%efftAlUB

L已知全集0=氏集合।1J,则“XCQA44,是

,4例"0},,的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.

【详解】由A=y=：2x—d]可得2X—可20,解得0WXW2,

所以A={xk）WxW2},B={y|y>0},.,.^4={%|%<0或%>2},（+74）。5={%|xwO},

故选：C

2.若向量a涉满足|a|=4,|Z?|=3,且（2a—3加―（2。+加=61,则a在6上的投影向量为（）

A.——bB.——bC.—bD.——b

2333

【答案】D

【解析】

【分析】由向量数量积的运算律可得a2=-6,再由投影向量的定义求£在办上的投影向量.

22

详解】由（2a—3勿・（2a+Z?）=4a-4a-b-3b=61，则。和=-6，

由a在6上的投影向量巴2•女-=--X—Z;=——Z?.

\b\\b\333

故选：D

（、2

3.数列口｝满足。"+1=—，且。1=4,则4023+。2024=（）

a”

95

A.-B.4C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由题中递推公式可求出数列｛4｝为周期为2的周期数列，从而可求解.

2212,21

【详解】由题意知%=/所以q=4吗=二鼠%=—=4,%=—=--,

a?乙

所以可得｛。“｝是周期为2的周期数列，则%）23+“2024=4+“2=万.故A正确.

故选：A.

4.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5,且三人的测试

结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀

等级的概率为（）

,157517

A.—B.-C.-D.—

298829

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件概率的计算公式计算得解.

【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件AB,C,三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件

D,

P（A）=0.6,尸（3）=0.7,P（C）=0.5,

P（D）=P（ABC<JABC<JABC）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.4x0.3x0.5+0.4x0.7x0.5+0.6x0.3x0.5=0.29,

P（BD）=P（ABC）+P（ABC）=0.3x0.4x0.5+0.3x0.5x0.6=0.15,

/「、P（BD）0.15_15

:.P（B\D）=\/

v17P（D）029-29

故选：A.

5.某小区内有一个圆形广场，计划在该圆内接凸四边形A3CD区域内新建三角形花圃曲和圆形喷

泉.已知NA=120，AB=3m,AD=5m,圆形喷泉内切于△BCD,则圆形喷泉的半径最大值为

()

A.7mB.—A/SITIC.—\/3niD.—y/3m

362

【答案】C

【解析】

【分析】由余弦定理可求得5D的长，由圆内接四边形的几何性质可得NC=60，设30=7%,CD=n,

由余弦定理结合基本不等式可求得相+〃的最大值，再利用等面积法可求得△3CD内切圆半径的最大值,

即为所求.

【详解】在中，由余弦定理，

可得BD=A/AB2+AD2-2AB-ADcos120=J32+52+2x3x5x1=7,

因为四边形A3CD为内接四边形，且NA=120，所以，ZC=60.

,几n八八八rmi+人H…工用/rrt/cBC?+CD?—BD?171^—49

设JBC=HZ,CD=n,贝！J由余弦TE理知cos60=------------------------=-----------------

2BC-CD2mn

设△BCD内切圆半径为小

所以加2+〃2_49=加〃.所以（加+〃）2—49=3mn.

又知力g」wsin60=3±Z.'，即j_.W+〃）2—49.走=加+〃+7「

222322

所以厂=——（m+zz-7）•

232

因为(根+扑)-49=3m^<—(m+n),所以冽+〃<14.

7L

所以〃阳+〃—7)<(6，当且仅当机=〃=7时取得等号.

因此，圆形喷泉的半径最大值为友m.

6

故选：C.

6.已知直线BC垂直单位圆。所在的平面，且直线2C交单位圆于点A,AB=BC=1,P为单位圆上除

A外的任意一点，/为过点P的单位圆。的切线，则()

A.有且仅有一点P使二面角3-/-C取得最小值

B.有且仅有两点尸使二面角3-/-C取得最小值

C.有且仅有一点尸使二面角3-/-C取得最大值

D.有且仅有两点尸使二面角3-/-C取得最大值

【答案】D

【解析】

【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判

断.

【详解】过A作40U于连接MB、MC,如图所示，

因为直线垂直单位圆。所在的平面，直线/在平面内，且直线BC交单位圆于点4

所以AC，/,平面AMC,AMAC=A,所以//平面AMC,

平面AMC,所以ILMB,

所以NBMC是二面角3—/—C的平面角，

设=ZAMC^a,ZAMB=/3,AM=t,则9=。一〃,

由已知得fe(O,2],AB=BC=1,

2_1

2八1八(tana—tan6，t

tana=—,tanp=一，tan"=tan(。一//=---------------=J=-；----

v7夕

ttl+tana・tan1+%+2

令〃‘）=不，则,⑺=

22

r+2入2

当/£（0,夜）时，/⑺>0,/（f）单调递增，当/e（、历,2]时，/"）单调递减,

/（2）=|>/（0）=0

所以fe（O,2],当”0时,/（/）取最大值，没有最小值,

即当f=0时tan。取最大值，从而。取最大值,

由对称性知当/=血时，对应尸点有且仅有两个点,

所以有且仅有两点P使二面角B-l-C取得最大值.

故选：D.

V2y2

7.设耳,工分别为椭圆C:二+=l（a〉6〉0）的左，右焦点，以巴为圆心且过工的圆与尤轴交于另一

a

点、P,与y轴交于点。，线段。区与C交于点A.己知.AP月与.牝1的面积之比为3:2,则该椭圆的

离心率为（）

D*

人|B.V13-3C.6-1

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可

计算离心率.

【详解】由题意可得居（—c,。）、与（c,0）,3=2c,

2

则以耳为圆心且过E的圆的方程为（x+c）+/=4c2,

令x=0,则力=±辰，由对称性，不妨取点。在x轴上方，即尸（0,、瓦）

贝Uy-6c=--x,即y=-y/3x+6c,

有S=；义2c义gc=瓜2,贝IsA”=mx后2=乎。2

又s”「上X4c-即有孚/=2%’即"W。，

代入/°&：y=—6%+6。，有^^。=一6.+&，即5=；。,

fl3不\flY

即A—C.——C在椭圆上，故J4，

IJ丁+^^-1

化简得82c2+27a2c2=16a2b2,由侵=片—。2,

即有(4-c2)c2+27a2c2=16fl2(«2-c2),

整理得04一44a2c2+16/=0，即e4—44e2+16=0，

有e?=44-"42»16=22_6而螳=44+"42-4><16=22+6而,

22

由22+6屈〉1，故舍去，BPe2=22-6^/13;

则e=,22—6而=’(而—3『=而—3.

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆

基本量a,6,c的方程，利用/=/+62和e=£转化为关于e的方程，通过解方程求得离心率.

a

13

8.设。=$1110.2,/?=0.16,。=—In—,贝U()

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】构造/(x)=sinx—(龙—尤2),无目0,0.2],二次求导，得到单调性，得到sin0.2—0.16>0,再变

形得至ijc=』ln上山，故构造Mx)=，ln(l+x)—In(l—x)]—siiw,x40,0.2],求导得到其单调性，比

较出c>〃，得到答案.

【详解】设/(x)=sira—e[0,0.2],/'(x)=cosx-l+2x,

设g(x)=/'(x)，g'(x)=-sinx+2>。，所以g(x)]g(0)=°,

所以函数/(x)在[0,02]上单调递增,

所以/(0.2)=sin0.2-(0.2-0.22)=sin0.2-0.16>/(0)=0,即a”.

,口……1]31,1.211+0.2

根据已知得c=—In—=—ln—=—In-----，

2220.821-0.2

可设/z(%)=；[in(1+x)—In(1—尤)]-sinx,x<0,0.2],

则/(x)=±1

二+-COSX=-~COSX>0,

')2ll+x1-x1-X

所以函数人(可在[0,0.2]上单调递增,

所以力(0.2)>.0)=0,即c>a

综上，c>a>b.

故选：D.

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出

函数的单调性，从而比较出代数式的大小.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知函数/(x)=sin|x+四1cos|x+四|+sinxcosx,贝！|()

B'点[I'”是函数图象的一个对称中心

A.函数“X)的最小正周期为2兀

JTSJT

C.函数/(%)在区间上单调递减D.函数/(光)的最大值为1

OO

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二倍角公式及辅助角等公式化简得到了(%)=等

sin2x+：，借助三角函数的性质逐一判

断即可.

71兀.1.In兀71）1.c

【详解】结合题意：/(x)=sinXH---COSXH---+smxcosx=—sm2x+—+—sm2x,

442I2J2

1c1•c也

即外力=—cos2%+—sin2x=sin2x+J

22~T

对于选项A:由/(%)=¥sin2兄+百可得①=2,所以7=@2兀=兀,故选项A错误;

4

对于选项B:将x=—工代入sin[2x+：j得:

82

^sink71+兀sin0=0,所以点［］,()］是函数/(可图象的一个对称中心,

2

故选项B正确;

71产也sint，

对于选项C:对于/(x)=sin2x+—j,令/=2%+四，则

44-2

L,,7711557兀1c71兀3兀6Bjr3冗

因为]£—，所以％=2%+：£—,而y—在sin/在上单调递减,

8'8oo4222

jr5兀

所以函数〃尤)在区间上单调递减,故选项C正确;

OO

对于选项D:对于sin2汨,当2%+'=2kn+—,keZ,

42

jr1x1=也，故选项D错误.

即x=A兀+可,左,=

22

故选：BC.

10.对于无穷数列｛4｝,给出如下三个性质：①卬<0；②对于任意正整数都有4+4<q%+S，

对于任意正整数”，存在正整数/,使得%+,>%定义:同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足

性质①和③的数列为常数列”，则下列说法正确的是()

A.若｛。“｝为“s数列”，贝M。”｝为数歹U”

B.若a“=(-；)"则｛a〃｝为“f数列”

C.若a“=2〃-3,则｛4｝为“s数列”

D.若等比数列｛4｝为发数列”则｛q｝为“s数列”

【答案】C

【解析】

【分析】设。"=-2〃-3,可判定A错误；对于%=(一｝",分”为奇数和九为偶数，不存在/eN*，使

得(―3)"'>(—；)"，可判定B错误；若4=2〃-3,推得满足①②，可判定C正确；

设4=(-2)”,取〃=l,s=2,可判定D错误.

【详解】设4=—2〃—3,此时满足。］=一2-3=—5<0,

也满足Vn,5GN*,a〃+s——2(“+s)—3,a“+as——2n—3—2s—3=—2("+s)—6,

即Vn,seN*,an+s>an+as,｛aJ为“s数列”，

因为4+r=-2("+/)-3=-2"-2/-3=4-2/<%,所以A错误；

若为=(一；厂，则4=(一；尸=一(<0,满足①，

a“+i=(—；严，令(一g严>(一

若“为奇数，此时(—；)"<0,存在feN*，且为奇数时，止匕时满足(—；)>'>0〉(—g)J

若“为偶数,此时(―；)"〉0,则此时不存在feN*，使得(—；)"">(—；)"，所以B错误；

若。“=2〃-3,则。“=2-3=-1<0,满足①，

Vn,5eN*,an+s=2(n+s)-3,an+as=2"-3+2s-3=2("+s)-6,

因为2("+s)—3>2(〃+s)—6,所以V〃,seN*,an+s>an+as,满足②，所以C正确；

不妨设a“=(-2)",满足％=—2<0,且V〃eN*，an=(-2)",

当“为奇数，取，=1,使得a〃+1=(—2)"+i>a〃；

当”为偶数，取/=2,使得%+2=(-2)"2〉4,所以｛%｝为“/数列”，

但此时不满足V〃,s£N*,an+s>an+as,不妨取〃=l,s=2,

—

则％二—2,6i2=4,Q3=8,而4+2=—8<—2+4=q+%,

则｛%｝为“S数列"，所以D错误.

故选：C.

11.已知函数“力及其导函数/'(%)的定义域均为R,若是奇函数，/(2)=-/(1)^0,且对任

意X,yeR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f(%)f(y),则()

A.r(l)=1B."9)=0

2020

C.»(k)=lD.㈤=T

k=lk=l

【答案】BD

【解析】

【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.

【详解】令x=y=l,得/(2)=2/⑴/'⑴，因为〃2)=—/⑴。0,

所以/'。)=—；，所以A错误；

令y=l,得〃x+l)=〃力广⑴+广(力/(1)①,所以〃1—力=〃­)」()+广(_力〃1),

因为是奇函数，所以/'(%)是偶函数，

所以“1—%)=—/(%)/⑴+广(力/⑴②，由①②，

得〃x+l)=2〃x)/⑴+/(1)=-/(%)-/(I),

即/(x+2)=_/(x+l)_/(x),

所以/(x+3)=_/(x+2)_/(x+l)=/(x+l)+/(x)_/(x+l)=/(%),

所以/(x),/'(九)是周期为3的函数，所以〃9)=〃0)=0,

20

X“ZH〃1)+〃2)+"3)]X6+[41)+〃2)]=0,

k=l

所以B正确，C错误；

因为广(2)=/(—1)=/⑴=-g,

在①中令x=0得/(l)=/(O)/'(l)+/'(O)/(l),

所以/'(0)=1,

20

£>”)=[/⑴+r⑵+r(3)]x6+[/⑴+〃2)]=—i,所以D正确.

k=\

故选：BD.

【点睛】对于可导函数7(%)有：

奇函数的导数为偶函数

偶函数的导数为奇函数

若定义在R上的函数八％)是可导函数，且周期为T,则其导函数/'(九)是周期函数，且周期也为T

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若(x?—2x+2)、=4/Q+qx+，则生=•

【答案】-592

【解析】

【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.

【详解】卜2-2x+2)5表示5个因数(f-2%+2)的乘积.而生为展开式中炉的系数，设这5个因数

(炉―2%+2)中分别取/、一2兀、2这三项分别取，，，上个，所以，+/+左=5,若要得到含了5的项，则

由计数原理知i,j,k的取值情况如下表：

X2-2x2

i个j个上个

050

131

212

由上表可知生=C；(-2)5+C\C：(-27"-3+c3C(-2)1-23-1=-32+(-320)+(-240)=-592.

故答案为：-592.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的，，/次正确分类，另外一点值得注意的是在分

完类之后，每一类里面还要分步取必、—2%、2这三项.

13.将正方形A3CD沿对角线6D折起，当AC=2b时，三棱锥A-BCD的体积为迪，则该三棱锥外

3

接球的体积为

32兀

【答案】

【解析】

【分析】取3D的中点。，根据正方形的性质可知点。为三棱锥外接球的球心，设Q4=R>0,

NAOC=。e(0,兀)，根据锥体的体积公式结合余弦定理列式求解即可.

【详解】取的中点。，连接。4OC,

由题意可知OA=OB=OC=OD,即点。为三棱锥外接球的球心，

设OA=R>0,ZAOC=6>e(0,7i),

因为。AL&ZOCLBZ),且。4,0Cu平面OAC,可得8D1平面OAC,

可知三棱锥A—58的体积乙BcL2%。Ac=2xmR彳RxRxsin3‘

即工A，xsin0=生8,可得R3*sin。=46，

33

在,AOC中，由余弦定理可得AC?=042+002—204。。.cos。,

即12=黯+R2—2R.R.cose,即6=在2—尺2cose,

R=2

7?3xsin0=473

联立方程《解得＜2兀，

6=R2-R~COS，(7=---

13

44,7r

所以该三棱锥外接球的体积为=

32兀

故答案为:亍

【点睛】关键点睛：根据正方形的性质分析可知：8。的中点。即为三棱锥外接球的球心，进而分析求解.

14.正方形A3CD位于平面直角坐标系上，其中A(l/)，3(-1/)，C(-l,-l),£>(1-1).考虑对这个正方

形执行下面三种变换：(1)L-.逆时针旋转90°.(2)R：顺时针旋转90。.(3)S：关于原点对称.上述

三种操作可以把正方形变换为自身，但是A,B,C,。四个点所在的位置会发生变化.例如，对原正方

形作变换R之后，顶点A从(1,1)移动到(1,T),然后再作一次变换S之后，A移动到(T,l).对原来的正方

形按内,a2,L,4的顺序作人次变换记为q%外,其中qe{L,R,S},i=l,2,.如果经过上次

变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是心恒等变换.例如，RRS是一个3-恒

等变换.则3-恒等变换共种；对于正整数〃，恒等变换共种.

【答案】①.6②.3，(T)"+3：

4

【解析】

【分析】根据3-恒等变换必定含S可列举求解；作用一次S变换相当于两次L变换；作用一次7?变换相当于

三次L变换.我们记L为数字1,S为数字2,R为数字3,作用相应的变化就增加相应的数字.那么如果

作了几次变换44。“(其中包含。个L、q个S、r个R),当夕+2q+3r是4的倍数时，就能得到一个

联恒等变换.我们假设作了〃次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0,1,2,3的情况数分别为4,

b“，c”,4.求得a“=bn_x+c“_i+d『i，b“=+cn_x+dn_x,cn=4T+bn_x+dn_,,dn=4T+bn_,+cn_x,

从而可得a“+i=2a“+3a,i，利用构造法求得+a“=3",从而有(―1)向。“+1-(—1)"4=-(一3)",再利

3.(-1)"+3”

用累加法求得an=，二.

【详解】3-恒等变换必定含S,所以一共有ZZS,LSL,SLL,RRS,RSR,SRR这6种3-恒等变换；

注意到，作用一次S变换相当于两次L变换；作用一次R变换相当于三次L变换.我们记L为数字1,S为

数字2,R为数字3,作用相应的变化就增加相应的数字.那么如果作了〃次变换册(其中包含。个

L、q个S、/个R),当。+2q+3r是4的倍数时，就能得到一个恒等变换.我们假设作了几次变换之

后得到的相应数字除以4的余数是0,1,2,3的情况数分别为a“，bn,cn,dn.

把这n次变换分解成n-l次变换和第n次变换，

假设经过几次变换之后余数为0.如果经过n-1次变换后的余数是0,则第〃次变换余数不可能为0；如果

经过n-l次变换后的余数分别是1,2,3,则第九次变换余数必须分别为3,2,1.其他完全类似，因此

aC

n~bn_i+n_1+dn_[,

aC

b"=n-l+n-1+*_[,

Ca

n=n-\+b"_[+dnl,

4,=*+%+*.

把后三个式子相加可得〃+cn+dn=34_]+2(%+*+或_1)，

代入第一个式子可得。“+1=2。“+3a,i,oan+1+an=3(%+*).

所以{4+1+为}是公比为3的等比数列.

己经算出。3=6，而2-恒等变换有LR,RL,SS这三种，故。2=3.因此，%+4=9,从而

,!-2H-2

an+l+an=(a3+«2)x3=9x3=3".

两边同乘(—1严,可得(―1严—(―1)"。“=—(―3)".

根据累加法可得(—1)'%—(—1)24=—3)&=3)-2)=_9-(-3)-

1-(-3)

故答案为：6；3，(T)"+3"

4

【点睛】关键点睛：

这道题的关键是要注意到作用一次S变换相当于两次L变换；作用一次R变换相当于三次L变换.我们记

L为数字1,S为数字2,R为数字3,作用相应的变化就增加相应的数字.那么如果作了〃次变换4为an

(其中包含2个L、夕个S、厂个A),当。+2q+3r是4的倍数时，就能得到一个恒等变换.假设作了

〃次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0,1,2,3的情况数分别为bn,cn,4,.把这〃次变换

分解成n—1次变换和第〃次变换，从而得到an=bn_x+cn_x+dn_x,bn=an_x+cn_1+dn_{,

J=，〃一i+bn_]+dn_{,dn—ctni+bn_i+cn_],进而得到"〃+i—2a〃+3a.T，至此思路就清晰明朗了.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=asin2x+cos2x,且/--.

(1)求函数八％)的解析式;

(2)。为坐标原点，复数Z]=-2—4i,Z2=—2+/(f)i在复平面内对应的点分别为A,B,求；。钻

面积的取值范围.

【答案】(1)/(x)=-2sin[2x-巳]；

(2)[2,6].

【解析】

【分析】(1)根据-B是/(%)的对称轴，结合对称轴处/(%)取得最值，计算即可；

(2)根据复数的几何意义，建立三角形面积关于/的三角函数关系，求函数值域即可.

【小问1详解】

V/(x)<聿)，即当》=一巳时函数/(%)取到最值，

又7(x)=asin2尤+cos2x=^cr+lsin(2x+。)<J"+1>

其中tane=—(aH0),

=6t2+1,代入得asin21一£]+cos21一=a2+1,

，出lY2

即----ciH—=a~+l,解得(Q+A/^)=0»a=-y/3

、22J

/(x)=-V3sin2x+cos2x=-2sin12x—：)；

【小问2详解】

由⑴可得：/(x)=-2sin^2x-^,

由复数的几何意义知：4(—2,T),B(-2,/(r))

•••SAABC=1x2x|AB|=\AB\=|/(/)+4|=-2sin+4,

7T7T7L

当2,——=2kji——,keZ,即，=E--，时，So”有最大值6；

626

TTTTTT

当2%—=2kitT—,keZ,即1=EH—,左cZ时，S0AB有最小值2；

623

,,^AOAB£[2,6].

16.如图，在四棱锥P—ABCD中，B4_L平面A3CD,AD±CD,AD//BC,BC=4,

K4=AD=CD=2,点E为尸。的中点.

(2)求点8到直线ED的距离；

(3)求直线依与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵2&

(3)逅

3

【解析】

【分析】(1)取PB的中点产，证得麻//AD且历=A£>,得到以四边形ADE尸为平行四边形，得出

DE//AF,结合线面平行的判定定理，即可得证；

(2)取的中点G,证得PAJ_AD,PAJ_AG,以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量

DB=(2,-4,0),DE=(1,-1,1),结合1=|。3卜也。3,。石，即可求解；

(3)由(2)中的空间直角坐标系，求得向量产5=(2,—2,—2)和平面PCD的一个法向量为“=(0,1,1),

结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：取P3的中点尸，连接因为E为尸C的中点，所以EF//BC,

又因为3C//A。且AO=^8C,所以呼//AD且石户=A。，

2

所以四边形ADE尸为平行四边形，所以。石//",

因为平面RIB,Mu平面？A3,所以DE//平面？A3

【小问2详解】

解：取的中点G,连接AG,因为AD//3C且40=工3。，

2

所以AO//CG且AO=GC,所以四边形AOCG为平行四边形，所以CD//AG,

因为ADLCD,所以ADLAG,

又因为R4J_平面A3CD，4。,47匚平面人3。。，所以。A_!A£>,PAJ.AG,

以A为坐标原点，以AG,AD,AP所在的直线分别为苍y,z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，可得3(2,—2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),则E(l,l,l),

所以£>3=(2,—4,0),DE=(1,—1,1),贝/。q=(2,—4,0)=2追

DBDE3-J6

可得8503,0石=言^=小，所以sinDB,。石=[=，

\DB\\DE\，15V15

则点B到直线ED的距离为sinDB,DE=2显底=272.

11V15

【小问3详解】

解：由(2)中的空间直角坐标系，可得P(0,0,2),

所以P5=(2,-2,-2),DP=(0,-2,2),DC=(2,0,0),

n-DP=-2y+2z=0

设平面PCZ)的法向量为〃=(x,y,z),则<，

n-DC=2x=0

取y=i,可得x=o,z=i,所以〃=(o,i,i),

设直线PB与平面PCD所成角为。，

II\nPB1-2-2176

则sin3=cosn,PB\=L-——=-L-----L=,

11\n\\PBV2X2A/33

所以直线P3与平面PC。所成角的正弦值为好.

3

17.某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了

更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷

调查，据统计，有;的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊

花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是

否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.

(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；

(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向

到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两

44

种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为二，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选

择“单车自由行”的概率为,，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为工，如

43

此往复.

(i)求甲第二天选择“单车自由行”的概率；

(ii)求甲第九(〃=1,2,L,16)天选择“单车自由行”的概率只，并帮甲确定在2024年“清明文化节”

的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.

【答案】(1)4(2)(i)-；

3

【解析】

【分析】(1)由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；

(2)(i)利用互斥事件加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率.；

(ii)由题意，求匕与月」的关系，通过构造等比数列，求出〃，再由匕求出对应的机

【小问1详解】

21

由题意，每位游客得1分的概率为:，得2分的概率为占，

随机抽取三人，用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3,4,5,6,

P（X=

P（X=5）=C；x

所以三人合计得分的数学期望为4.

【小问2详解】

41

第一天选择“单车自由行”的概率为彳，则第一天选择“观光电车行”的概率为《，

若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为--

4

若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为工，则后一天选择“单车自由行”的概

3

率为3,

41121

(i)甲第二天选择“单车自由行''的概率尸=《X-----1——X—=—•

4533

4

(ii)甲第〃(〃=1,2,,16)天选择“单车自由行”的概率匕，有4=1，

1952

贝।Pn=~^Pn-l+-=^-1+~(〃=2,3,…,16),

••七-2=-露心「2;

P--

又•••丹-包=生。，(

72)

1n=2,3,,16,

1785p8121

Q1285

・••数列门一二是以一为首项，以为-一公比的等比数列，

由题意知，需匕>i—匕，即匕>5，

828f5丫t15丫-85康(〃)

----1-——.......>—,即|-------->----------==1,2,,16,

1785112)2112)34x28

显然〃必为奇数，偶数不成立，

当〃=1,3,5,』5时，有［9丫>Y_=W即

可，

U2J34x2856

”=1时，1〉工成立；

56

仙f5Y25255-

〃=3时，一=>---=——成山

{12J14428056

［5丫—625_625<625_5

〃=5时，［12)144x14420736'700056，则〃=5时［9］>2-不成立,

(12)56

又因为单调递减，所以〃>5时,>3不成立.

156

综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天.

52

【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用全概率公式得到匕=-五月_i+§,从而利用数列的

相关知识求得匕，从而得解.

22

18.己知椭圆。：土+匕=1,是椭圆外一点，过尸作椭圆C的两条切线，切点分别为

164

直线MN与直线0P交于点Q,A,B是直线0P与椭圆C的两个交点.

（1）求直线0P与直线肱V的斜率之积;

（2）求_41加面积的最大值.

【答案】⑴一I

⑵6A/3

【解析】

【分析】（1）设P（Xo，〉o），Ng,%）,根据导数的几何意义可求得椭圆的切线方程，从而可

得/“N：$+早=1，再根据斜率