山东省德州市乐陵2023-2024学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

山东省德州市乐陵一中2023-2024学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知方程小|+y|y|=-1表示的曲线为y=/O)的图象，对于函数y=/(%)有如下结论：①在(―8,收)上

单调递减；②函数人＞)=/(%)+%至少存在一个零点；③丁=/(N)的最大值为1；④若函数g(x)和/Xx)图象关于

原点对称，则y=g(x)由方程引[+乂乂=1所确定；则正确命题序号为()

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.已知mb是平面内互不相等的两个非零向量，且同=1,与匕的夹角为150,则W的取值范围是()

A.(0,V3]B.[1,V3]C.(0,2]D.[6,2]

3.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春

官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(pao),竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”

为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为()

31112

A.—B.—C.—D.一

1414147

4.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则该单

位去年的水费开支占总开支的百分比为()

5.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为()

正视图侧视图

1011

A.3B.C.—D

T3-I

x+y-2W0

三的最小值为

6.已知实数x,y满足约束条件x-2y-2<0,则目标函数z=

x>l

22

A.B.

34

4J_

C.D.

32

7.关于函数/(x)=4sin[gx+q]+4cos[gx+g],有下述三个结论:

7T

①函数/■（*）的一个周期为一；

2

IT37r

②函数/（X）在上单调递增;

24

③函数/Xx）的值域为[4,4a].

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.②C.②③D.③

3

8.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是:，则判断框中应填入的条件是（

C.z>4?D.z<4?

9.已知圆锥的高为3,底面半径为6,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的

体积的比值为（）

25

D.——

9

10'下列四个图象可能是函数,二臂产图象的是（

)

1?

11.若函数/（*）=3*3+*2一：在区间3,。+5）上存在最小值，则实数。的取值范围是

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

12.已知向量匕=（1,2）,&=（2,-2）,c=（2,-l）,若0〃（2&+沙），则％=（）

11

A.—2B.—1C.------D.一

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆O：/+y=4,直线/与圆。交于尸，Q两点，4（2,2）,若4产+人。2=40,则弦PQ的长度的最大

值为.

14.在ABC中，AB=j3>BC=1,ZC=—,则AC=.

15.已知关于x的不等式》-。也x21对于任意%€(1,+8)恒成立，则实数。的取值范围为.

X

16.数列｛%｝的前几项和为S“,％=2'=(1—=log2a“，则数列<>的前〃项和7；=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)_ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c9已知ccos6-加加C=O,cosA-cos2A.

(1)求c；

⑵若。=2,求，ABC的面积SABC

1

%=—+cosa

2(a为参数).以原点。为极点，x轴

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

y=-----1-sma

2

的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.

jr

(1)设直线/的极坐标方程为，=土，若直线/与曲线C交于两点A.B,求45的长;

12

77

(2)设V、N是曲线C上的两点，若/MON=—,求AOMN面积的最大值.

2

19.(12分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机

选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：［20,30),［30,40),…，［70,80］,并绘制了如图所示的

频率分布直方图.

(1)现从年龄在［20,30),［30,40),［40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进

行座谈，用X表示年龄在［30,40))内的人数，求X的分布列和数学期望；

(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有左名市民的年龄在［30,50)

的概率为尸(X=k)(Z=0,L2,…,20).当P(X=k)最大时,求左的值.

22

20.(12分)椭圆。：「+与=l(a>b>0)的右焦点下(、历,0)过点尸且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为

a2b2

3拒.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C交于"，N两点.。为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形

OMAN面积的最大值.

21.(12分)如图，在直三棱柱—中，AB=BC=AAi=l,AC=«,点DE分别为AC和四£的中点.

(I)棱A4上是否存在点尸使得平面平面4狙？若存在，写出K4的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(II)求二面角A—BE—。的余弦值.

22.(10分)一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的”(〃eN*)

个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为5，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，

如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.

(1)当〃取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

(2)当〃=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.

【详解】

(1)当x»0,yNO时，x2+y2=-1,此时不存在图象

(2)当xNO,y<0时，y2-%2=1,此时为实轴为V轴的双曲线一部分；

22

(3)当x<0,yNO时，x-y^l,此时为实轴为x轴的双曲线一部分；

(4)当x<0,y<0时，x2+y2=1,此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分;

对于①，/Xx)在(-»,收)上单调递减，所以①正确；

对于②，函数、=/(%)与丁=一兀的图象没有交点，即/。)=/(%)+%没有零点，所以②错误；

对于③，由函数图象的对称性可知③错误；

对于④，函数g(x)和/(%)图象关于原点对称,则为W+y|N=T中用一X代替X,用代替y,可得引)+为国=1,

所以④正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.

2、C

【解析】

试题分析：如下图所示，A8=a,AD=d则AC=DB=a—b，因为a—〃与6的夹角为150，即NZMB=150°,

所以NAD5=30。，设/4=6,则0<。<150。，在三角形®中，由正弦定理得同=」人,所以

sin30°sin。

|/?|=———xsin£=2sin。，所以0＜蚓＜2,故选C.

IIsin30011

D

一，

a-bI\

\\I1

X

C

考点：L向量加减法的几何意义；2.正弦定理；3.正弦函数性质.

3、B

【解析】

分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

从“八音”中任取不同的“两音,，共有最=28种取法；

“两音”中含有打击乐器的取法共有22种取法；

—2211

一所求概率P=-=~•

2814

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.

4、A

【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费

开支占总开支的百分比.

【详解】

250

水费开支占总开支的百分比为“，“c,ccX20%=6.25%.

250+450+100

故选：A

【点睛】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

5、B

【解析】

由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图:

1112

直三棱柱的体积为一><2义2义2=4,消去的三棱锥的体积为一X—义2义1义2=—,

2323

210

...几何体的体积V=4=一,故选B.

33

点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关

键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何

体的体积.

6、B

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，目标函数z=上工的几何意义为动点M(%,y)到定点。(-1,2)的斜率，利用数形结

x+1

合即可得到z的最小值.

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

目标函数Z=冒的几何意义为动点M(%,y)到定点D(-l,2)的斜率,

当M位于时，此时的斜率最小，此时，一I25.

(2Jz-=-[7r=-4

故选B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

7、C

【解析】

437r1TT77r177r/(x)=4j^sin[；x+^|),再利用单调性

①用周期函数的定义验证.②当xe-，T时，-x+?e-，^

判断.③根据平移变换，函数/(%)=45*%+讣4时夫1+(71]的值域等价于函数

23

g(x)=4sin1171

x+4COS-X的值域，而g(x+i)=g(x),当xe[O㈤时，g(x)=40sin—X~\——再求值域.

223

【详解】

因为/[%+])=4sin17»17»171171

—xd------+4cos—xd------=4cos—XH---+4sin—XH---。/(无)，故①错误;

212212212212

t7137r,1八71In安\7兀，所以/(%)=4sin[(x+：]—4cos171171

当工£一,时，一XHE—XH——=4^/2sin|—x+—

2423122423212

1TTTT1\jrIT377

-x+—e所以/(元)在上单调递增，故②正确;

乙JL乙J乙i'+乙।

s*+f)的值域等价于函数g(x)=4singx+4cos；x的值域，易知

函数〃尤)=4+4cos———

(23

g(x+i)=gCx),故当xe[0,扪时，g(x)=4A/Isin[gx+g]e[4,4"],故③正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

8、D

【解析】

首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次

数以及i的关系，最终得出选项.

【详解】

经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，

第一次循环：S=0+-=-,z=l+l=2；

1x22

第二次循环：5=^+-^-=|,z=2+l=3;

22x33

213

第三次循环：S=—+—=-,z=3+l=4,

33x44

此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，.•"<4?,故选D.

【点睛】

题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框

和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处

理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题

中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

9、B

【解析】

计算求半径为R=2,再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.

【详解】

如图所示：设球半径为R,则尺2=（3-尺）2+6=解得R=2.

4,i321厂2X32

故求体积为：Vx=-7iR=—K,圆锥的体积：V2=-7ry/3x3=3»，故/=

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

10、C

【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由y=配空网的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，因为丁=辿鼠区为

XX

奇函数，即可得到函数图象关于(-1,0)对称，即可排除A、D,再根据x>0时函数值，排除5,即可得解.

【详解】

：y=।的定义域为{xIx。—1},

其图象可由y=510g3以|的图象沿*轴向左平移1个单位而得到，

X

...y=显空回为奇函数，图象关于原点对称，

X

：.y=皿3以+11的图象关于点(-1,0)成中心对称.

X+1

可排除A、。项.

当了>0时，y=51og3—+1|>0,.•.3项不正确.

x+1

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档

题.

11、C

【解析】

求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.

【详解】

由题意，Ax)=x2+2x=x(x+2),故人x)在(-8,-2),(0,+3上是增函数，在(-2,0)上是减函数，作出其图象如

图所示.

122

令—*3+*2---=----,得x=0或*=-3,

333

__3<a<0

则结合图象可知，\uc解得“G[—3,0),

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.

12、A

【解析】

根据向量坐标运算求得2a+b，由平行关系构造方程可求得结果.

【详解】

a=（1,2）,b=（2,—2）2a+b=（4,2）

c//（2«+Z?）.-.22=-4,解得：2=-2

故选：A

【点睛】

本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则

%=0・

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、272

【解析】

取PQ的中点为由AP2+AQ2=4O可得4以2一。加2=16,可得M在无+y+2=0上，当最小时，弦PQ

的长才最大.

【详解】

设"为P。的中点，2（AP2+AQr）=（2AM）2+PQr,即人尸十人。=2.2+2M02,

即40=232+2（。。2—。/），2Q=AM~+4-OM2,AM2-OM~=16.

设贝（1（%-2）2+（丁一2）2-（尤2+/）=16,^x+y+2=0,

所以。PQmm=2V2.

故答案为：2夜

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.

14、1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC?+AC-2=0,即可解得AC的值.

【详解】

解：AB=C，BC=1,ZC=—,

•••由余弦定理AB1=AC2+BC2-2AC.BC.cosC，

BJ^3=AC2+1-2XACX1X(-1),整理可得：AC2+AC-2=0,

2

..・解得AC=1或-2(舍去).

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

15、(-<»,-3]

【解析】

Xx-31nx__1

先将不等式^-x-alnx>l对于任意％e(1,+<»)恒成立，转化为a,,-——士工任意％e(1,+8)恒成立，设

xInx

x-3\nx__i

/(%)=-——士工，求出/(九)在。，+8)内的最小值，即可求出a的取值范围.

Inx

【详解】

解：由题可知，不等式g-X-alnxNl对于任意xe(l,+8)恒成立，

X

3

即rxe-x-1ee-x-1e-x-1,

%—........=-------------=---------------=-------------

InxInxInxInx

又因为x£(l,+8),lnx>0,

广31nx_i

：•“------对任意X£(l,+8)恒成立，

Inx

x-31nx_i

设/(x)=------------,其中

Inx

由不等式e'Nx+1,可得:,x—31nx>x-31nx+l,

1-31nx_i

x—3Inx+1—x—1.

则小--------------------------------------二—5，

Inx

当％—31nx=0时等号成立，

又因为x—31nx=0在(L+8)内有解,

：.fJ(\x)/mi,n=-3,

则aW/(x)1nm=—3,即：«<-3,

所以实数。的取值范围：(—8,—3].

故答案为：(―2―3].

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算

能力.

【解析】

解：5,,=[-3卜用,〃22时，5,1=[-'工卜”两式作差，得子=2,(〃22)，经过检验得出数列｛4｝的通

项公式，进而求得乙,g的通项公式，裂项相消求和即可.

【详解】

解：2时，S„_1=^l-^^an,

两式作差,得4=11一5]。”+1-11一万二卜，”(“22)

化简得‘包=2,(〃22),

a”

检验：当n=l时，1=弓=3g=2必=4子=2，所以数列｛叫是以2为首项，2为公比的等比数列；=2",

2=log?/=log?2”=n,

1111

C-.........=----------=-----------

nbnbn+ln(\n+l)/n〃+l

11111=1」n

—I------------F...H--------

334nn+1n+1n+1

故填：一、

n+1

【点睛】

本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重

考查运算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

TC3-^3

17、（1）—.

123

【解析】

(1)由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求315=1,结合范围5e(O,%),可求3=(,由已知利用二

倍角的余弦函数公式可得2cos2人一co%—1=0,结合范围Ae(O,7),可求A,根据三角形的内角和定理即可解得C

的值.

(2)由(1)及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】

（1）由已知可得ccosB=bsinC,

b

又由正弦定理，可得ccosB=csinB,即仞7山=1,

sinBsinC

Be（0,7r）,

-4

cosA=cos2A=2cos2A—1,即2cos2A—cosA—1=0,

又Ae（0,万）,

12万

.•.c^A=--,或1（舍去），可得A=下，

23

71

.C=7T—A—B=—.

12

（2）A=—,B=—,a=2,

v734

,.aba-sinBX72^/6

••由正弦定理.二.，可得〃-.-7=---I-，

sinAsinBsmAv33

2

A/3V2（l'x叵—屈-Q

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=----X----

22_4~

.c_1…02娓V6-V2_3-V3

..SAR0——absmC——x2x----x----------------•

c22343

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦

函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18、(1)V2;(2)1.

【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

(2)N，2，e+3；由⑴通过计算得到8=；8224113=5由126+1,即最大值为1.

【详解】

(I)将曲线C的参数方程化为普通方程为［x-工］+［丁-走］=1，

即炉+y2_%_y/3y=0；

再将九2+>2=P2,x=pCOS0fy=psin8代入上式,

得夕2-pcos0-y/3psin3=0,

故曲线C的极坐标方程为夕=2sin,

显然直线/与曲线C相交的两点中，

必有一个为原点0,不妨设。与A重合，

即=|。同=凡=2=2sin但+白］=行.

121。12J

⑵不妨设M(g,e),力2，。+3

则一0MN面积为

c1.兀1。.(q兀)。.(n兀兀)

S=—p2sin—=—•2sin0+--2sin8+—+—

222v6)I26;

=2sin+EJcos［，+1J=sin［2,+1J

当5诂［2，+，=1,即取时，.=1.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.

3

19、(1)分布列见解析,EX=：

4

(1)7

【解析】

(1)根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；X的可能取值为0,1,1,由离

散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.

(D先求得年龄在［30,50)内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出P(X=Q=C：o(0.35)&(1-0.35)25-、

令"

P3],化简后可证明其单调性及取得最大值时k的值.

P(X=k-l)

【详解】

(1)按分层抽样的方法拉取的8人中,

0.005

年龄在［20,30)的人数为x8=1人,

0.005+0.010+0.025

0.010

年龄在［30,40)内的人数为x8=2人.

0.005+0.010+0.025

0.025

年龄在［40,50)内的人数为x8=5人.

0.005+0.010+0.025

所以X的可能取值为0,1,1.

C3C05

所以P(X=0)=一

p(x=i)=^C2^cl=D15

Co?28

ClC23

p(X=2)=/^=—

3

C828

所以X的分市列为

X0

5153

P

142828

3

EX=0x—+lx—+2x

284

(1)设在抽取的10名市民中，年龄在[30,50)内的人数为X,X服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在

[30,50)内的频率为(0.010+0,025)xl0=0.35,

所以X~8(20,0,35),

所以P(X=A)=《o(0.35?(1—0.35)25-=左=0.1.2,.20).

20

P(X=k)_a0(0.35)\1-0.35)^_7(21-k)

t——ji]i心一—0.1.2,',,

P(X=k—l)C%(0.35)"i(l-0.35)2i13k

若/>1,则左<7.35,P(X=k-T)〈P(X=k)；

若/<1,则左>7.35,P(X=k-l)〉P(X=k).

所以当左=7时，P(X=Q最大，即当「(乂=左)最大时，k=7.

【点睛】

本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.

22

20、(1)土+匕=1(2)最大值2n.

86

【解析】

OA2l

(1)根据通径二=3后和c=0即可求

a

(2)设直线跖V方程为％=阳+2,联立椭圆，利用S四边形.a~SOAM+SOAN，用含M的式子表示出

S四边形OMAN-SOAM+SOAN,用r=，3疗+2换元，

_873?_873

可得、四边形=百]=-f，最后用均值不等式求解.

11t+-

t

【详解】

22

解：(1)依题意有°=,a-2^2b=瓜,所以椭圆的方程为j+J=1.

86

^21=1

(2)设直线跖V的方程为无=阳+2,联立86一，得（3,im2+4）y2+12my—12=0.

x=my+2

所以x+%=藐='.=藐二.

所以S四边形OM42V=SOAM+SOAN=­X2卬|+；*2阳%|=阳%-

=行）（必+%）2-4%%=血83m2+2

3疗+4

令1=43疗+2,贝12夜，

_873?_8732—

所以四边形。“.一”75——2,因72夜，贝心+―22夜，所以S四边形＜2遥，当且仅当.=夜，即加=0

tH—t

t

时取得等号，

即四边形OMAN面积的最大值2限.

【点睛】

考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.

311

21、(I)存在点P满足题意，且出==，证明详见解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考虑采用补