安徽省2023-2024学年新高一自主招生考试数学试题 含解析

数学试题

本卷共分两大部分共计4页

温馨提示：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.试卷包括试题和答题卷两部分.请务必在答题卷上答题，在试题卷上答题无效.

3.考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回.

第I部分客观题（共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.）

1.已知实数a,b,则下列选项中正确的是（）

A.若o>b,则B.若同>/?,则/〉〃

C.若a>网，则储>〃D.若a>b,则

11ab

【答案】C

【解析】

【分析】赋值判断A,B,D,利用不等式性质判断C.

【详解】对于A选项，a=l力=-1,满足">》，此时〃=112=1,不满足故A错误；

对于B选项，a=l,b=-1,满足同>/?,此时/=132=1,不满足故B错误；

对于C选项，a>|Z?|>0,所以/>网2=/,故c正确；

对于D选项，a=l力=-1,满足。>b,此时,=1,-=-1,不满足上<1,故D错误,

abab

故选：C.

2.若x>0,y>0,S.3x-2y--y/xy,则］的值为（）

49.4

A.1B.-C.—D.1或一

949

【答案】B

【解析】

__x4

【分析】等式3x—2y=—而两边同时平方，%=y或7=3,验证即可.

【详解】由题意知，等式3x—2y=—而两边同时平方，

得9x2—13孙+4/=0,即(x_y)(9x_4y)=0,

%4

解得％=y或_=x,

y9

当x=y时，3x-2y=x,-y[xy=-x,所以与3x-2y=矛盾.

x4

所以一=x.

y9

故选：B

3.数20232°23的个位数字为()

A.1B.3C.7D.9

【答案】C

【解析】

【分析】先将20232023转化为(3+2O2O)2023,用二项式定理展开可知,20232°23的个位数字与

C黑3*32023x2020。的个位数字相同，将32023化为3x(10—1片，再将(10-1)项用二项式定理展开可

知所以32°23的个位数字与3[c；器X101X(-1)1010+C：：：；X10°X(-1)1011]个位数字相同，即可求解.

【详解】因为(2023)2023=(3+2020)2023

1202122023

=C；023x32°23X2020°+C；023x32022X2020+Cf023x3x2020+.+C就x3°x2O2O

而20201、20202、20203L202。2023个位数均为0,所以20232°23的个位数字与

C；023><32°23乂2020°的个位数字相同，而32°23=3*32°22=3X9项=3X(10—1片

101110101011

=3x[c：ouXIOx(-l)°+C；011XIOX(-1/++Cl；X10°x(-1)]

因为IO1、102L10"”个位数均为0,所以32023的个位数字与

3[C器X1O*X(-1)1010+X10°X(—1)1°口=3x1011x1—3=30327个位数字相同,

故20232023的个位数字为7.

故选：C

4.平面四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZB=30°,AB=2,则的取值范围为()

A.1<BC<V3B.*<5C<4C.百<BC<4D.73<BC<—

33

【答案】D

【解析】

【分析】如图，由题意可得创/=还尾，BF=—>结合AM=BM-2>。，CF=M—3C>0计算

33

即可求解.

【详解】如图，延长B4、CD,交于点M,延长AO.BC,交于点R,

所以AM=BAf-2=*BC-2>0,CF=BF-BC=—-BC>Q，

33

得BC>5BC(坐,所以

故选：D

5.关于尤、y的二元二次方程2型+2x—y=31正整数解的组数为（）

A.3组B.4组C.5组D.6组

【答案】B

【解析】

【分析】对2孙+2x—y=31变形为（2x—l）（y+l）=30,根据x、y为正整数求解即可.

【详解】因为2孙+2x—y=31,

所以2孙+2x—y_l=30,即2x(y+l)_(y+l)=30,

所以(2x—l)(y+l)=30,

因为x、y为正整数，

所以2x—1和y+1为30的约数，

当2尤—1=1,y+l=30时，即x=l,y=29,符合题意,

3

当2x—1=2,y+l=15时，即x=5，y=14,不符合题意，

当2x—1=3,y+l=10时，即尤=2,y=9,符合题意，

当2%—1=5,y+1=6时，即x=3,y=5,符合题意，

7

当2x—1=6,y+l=5时，即x=—,y=4,不符合题意，

2

当2x—1=10,y+l=3时，即x=],y=2,不符合题意，

当2x—1=15,y+l=2时，即％=8,y=l,符合题意，

31

当2x—1=30，y+l=l时，即x=m，y=0,不符合题意，

综上，二元二次方程2孙+2尤—y=31正整数解的组数为4组，

故选：B.

6.从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三

位数，这样的三位数的个数为()

A.40B.48C.55D.70

【答案】C

【解析】

【分析】由题意分两种情况讨论：选出的数字中含有。与不含有0.分别求出对应满足题意的三位数，结

合分类加法计数原理即可求解.

【详解】由题意知，分两种情况讨论：

若选出的数字中含有0,则0必须在个位上，

此时只需在其它6个数中选出2个，大的放在十位，小的放在百位，

共有废=15个三位数；

若选出的数字中不含有0,

此时只需在。以外得其它6个数中选出3个，最大的放在十位，其他两个放在百位和个位，

共有2C：=40个三位数，

综上，满足题意得三位数共有55个.

故选：C

7.已知实数纵b满足〃+3。-1=0，3b—1=0，且则。+工+@=()

bb

A.一百B.73C.4D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件化尸—38—1=0为+3.b1=0,得,是方程_+3x-l=0的两根,

利用根与系数关系计算即可得结果.

【详解】因为"—3人一1=0,即1一'一'=0，+3（']—1=0，

所以有：a,—是方程/+3尤-1=0的两根，所以aH—=—3,a--=—1,

bbb

所以〃+'+—3-1=—4.

bb

故选：D

8.在凸四边形ABC。中，BC=2AB=2,ZABC=ZADC=60°,则BD的最大值为（）

A.V2+1B.gC.73+1D.3

【答案】C

【解析】

【分析】如图，作八4。。外接圆圆O,当且仅当。三点共线时，3。取到最大值，结合

05LCE即可求解.

【详解】如图，AB=LBC=2,NABC=60°,

所以△ACfi是直角三角形，NC43=90°，

作ZW）。的外接圆，。为圆心，

药

延长B4，^AE=AB=1,则NEAC=90°，

所以点E在以CE为直径的圆上，故二CE5为等边三角形，

当且仅当。,0,3三点共线时，取到最大值.

此时底=5C=2,。为CE的中点，

所以OBLCE,故05=6,又OD=OC=L

所以百+1.

故选：C

第II部分主观题（共110分）

二、填空题（共10小题，每小题5分，共计50分）

[131

—X——>—X

223

9.若关于x的不等式组有且仅有四个正整数解，则实数加的取值范围为.

—x+1<m

12

【答案】咛,8）

【解析】

【分析】根据题意，求得不等式组的解集，结合题意，得到13W2m-2<14,即可求解.

131

223x>9

【详解】由不等式组，解得4cC，

1〜x<2m~2

[2

要使得不等式组的解集中有且仅有四个正整数解，则13W22<14,解得竺<机<8,

2

所以实数〃2的取值范围为[”,8）.

2

故答案为：[?,8）.

10.计算：（cos45。+sin60。尸+也-4人-卜-2倒=.

【答案】71-1

【解析】

【分析】利用特殊角三角函数值、根式与指数累的运算和绝对值求解即可.

【详解】（cos450+sin60°尸+79-4A/2-|71-2731

2

+2应-1-2若+兀

72+73

2(0一6)

+2A/2-1-2^+71

(V2+V3)(V2-V3)

=2^-272+272-1-273+71

二兀一1,

故答案：71-1

11.在实数范围内分解因式：X(X2-1)(X+2)-120=.

【答案】(X-3)(X+4)(X2+X+10)

【解析】

【分析】将原式分解成炉(炉+x+10)+x(x2+x+10)-12(x2+X+10),即可求解.

【详解】原式=犬+2/-/一2了一120

=(x4+x3+10x2)+(x3+x2+10x)-12(x2+x+10)

=X'(x2+x+10)+x(x2+x+10)—12(x?+x+10)

=(X2+X-12)(X2+X+10)

=(X+4)(X-3)(X2+X+10).

故答案为：(X+4)(X-3)(X2+X+10)

12.已知函数丁=—勺和y=x+K,其中%、k2均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象

X

有交点的概率为.

19

【答案】77

36

【解析】

【分析】根据已知条件联立两函数，解得左22上4左，结合左、左2的取值，根据古典概型求概率公式即可

求解.

区

y-k

2

【详解】根据已知条件联立《x,即—'=》+&，整理有：x+k2x+ki=0,

X

y=x+k2

因为两函数图象有交点，所以△=七2-4占20,即右224%,

224]=；2

当左=1时，K无解；当左=2时，1当左=3时，kY—1,2；

当左2=4时,=1,2,3,4•当左2=5时，k1=1,2,3,4,5,6；

当&=6时,勺=1,2,3,4,5,6；综上，满足条件的匕、42共19对，

又根据已知条件匕、42的所有取值情况为6?=36种，

19

所以两函数图象有交点的概率为P=—.

36

19

故答案为：——

36

13.已知(2.X—1)9=%+a^X+'贝!J%+。6+.

【答案】-9840

【解析】

【分析】借助赋值法，分别令x=l、彳=—1、*=0计算即可得.

【详解】令x=1,则有4+q+%+L+a9—1,

,./、9

令X——],则有4—q+2——%=(—3)，

令％=0,则有/=-1,

..f6ZQ++612L+49)+(〃0-Q1+〃2-L一。9)

故％+%+。6+/=-------------------------------------------------------------一％

1+(-3)9/、

=—--(-1)=-9840•

故答案为：-9840.

14.已知3犬+4丁+4盯一4x+2=0,贝|(》+1)分=.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】对3/+4/+4孙-4x+2=0变形为V+4盯+4/+2/-4x+2=0,配方成

(尤+2yy+2(x—丁=0,得到x=Ly=-g,进而得到答案.

【详解】因为3关2+49+4D一4x+2=0,所以/+2x2+4丁+4孙一4x+2=0,

所以无2+4xy+4y2+2x2-4%+2=0,

所以（x+2yF+2（x—1）2=0,

因为（x+2y）2»0,2（X-1）2>0,

所以x+2y=0,%-1=0,

所以x=l,y=-g,

所以（x+l）4>=（1+1）4、鸟）=工

故答案为：1

15.已知关于X的方程|3%+1|-狈+。-1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围为.

、3

【答案】—3<a<—

4

【解析】

【分析】根据已知条件分l，%>-j两种情况讨论，结合题意方程有两个不等实根，则

33

°

x=@=，x=—J均为方程的根，根据题意两种情况下a的取值范围取交集即可.

3+aa-3

【详解】根据已知条件：当xW—；时，|3%+1|-依+。-1=0为一（3x+l）-ax+a-l=0,

°

整理有一（a+3）x=2—a,若a=—3,则方程无解，若aw—3,解得％='|大，

若^〃—一2是方程的解，则a^——24-1二且aw—3,

3+a3+a3

[a-21八3〃—6+3+a„4”3（0

----+-<03

3+a3,<3（3+〃）,|3（3+（2）,解得—3<a<：

4

ciw—3aw—3aw—3

当x〉—工时，|3x+l|-ax+a-l=0为（3x+l）-ar+a-l=0,

整理有（3—a）x=—a,若a=3,则方程无解,

a1

a若'是方程的解,---->一一

若a/3,解得x=——则d-3---39

a—3a—3

aw3

a13ci+a—34-ct-3

----+->0>0>0，,3

a—33,<3（〃-3）,<3（Q-3）解得a<—或a>3；

4

aw3aw3aw3

因为关于X的方程\3x+l\-ax+a-l=Q有两个不等实根,

3

所以以上两个根都是方程的根，取交集则-3＜。＜一.

4

3

故答案为：—3＜。＜:.

4

16.如图，边长为3的正方形，E,歹分别是3C,CD上两点，且AE=5户，连接尸交于点M,若

2

图中阴影部分面积是正方形面积的耳，则的周长为.

DFC

B

【答案】3+V15##715+3

【解析】

【分析】由题意，易证MLAE，设①?=b=x(0＜x＜3),根据相似三角形的性质可得

93%r2

AM=后7、8"=后?、.=扃了，进而由阴影部分的面积建立关于“得方程’得

9+3xc/9+3x、2

*+9=9尤，表示出的周长为+3,求出(而L")即可求解.

【详解】由题意知，在吊BCF^ORtABE中，BE=CF,AB=CB,

所以八=八ABE,贝l]8E=CF,NCEB=N8E4,又/CFB=/FBA,

所以NB£A=NF8A,故NAMB=NABE=90°,即

4FAR

所以AEBABM,得丝=父，^BE=CF=x(0<x<3),

ABAM

A§29

则AE=49+£，所以

得BM=。AB2-AM?=A,所以EM=JBE?-BM?=1,

V9+X2y/9+x2

所以阴影部门的面积为s=SmABFD-SABM+SBME=1(OF+AB)AD-^AM-BM+^EM-BM

:(6-+

22^772797729+V

XS=--32=6,所以.(18-3尤+3/-2公,

329+x2

整理得X?—9%+9=0，得f+9=9x,

9+3%

所以的的周长为A"+B"+3=R+3,

2

又(9+E3x)2=9(9^+x)+^54%=9+彳54x厂9+54x=凡所以9用+3x尸后r—，

9+3x

故.A3”的周长为+3=715+3.

故答案为：V15+3

17.如图，边长为6的正方形ABC。中，E在边4。上，MAD=3AE,〃为C。的中点，尸在线段8M

上，则EP的最小值为.

【答案】275

【解析】

【分析】依题意，当石尸_L5M时，EP最小，利用

SBEM=S正方形ABC。—SABE—DEM~BCM=-XBMXEP,求解即可.

当上时，EP最小，

因为边长为6的正方形ABC。中，£在边A。上，S.AD=3AE,M为CD的中点,

所以AB=3C=6,AE=2,Z)E=4,Z)Af=DC=3,BM=[BC?+CM。=36，

（1）当a=3,y=0时，求+4%2+4%+3的值;

(2)当-1W%W2时，二次函数y=f+ax+l的最小值为T,求a的值.

9

【答案】(1)2(2)6或一5

【解析】

【分析】把/换成—3尤-1后代入所求算式后计算即可；

先求出二次函数的对称轴，再分对称轴的值与给定区间的大小关系分别讨论最值，求出符合条件的a即可.

【小问1详解】

即尤2+3X+1=0=>炉=-3%-1S.X2+3X=-1>

又xi+4x~+4x+3—x,x2+4x~+4x+3=x(—3x—1)+4x~+4x+3—x2+3x+3——1+3—2.

【小问2详解】

2

y=(x+—)2+1--,对称轴为x=—@,

-242

①当—■!<—1时，即a»2故当x=—1时，Xnin=2—a=—4na=6符合

②当一1<2时，即-4<a<2故当》=一微■时，gin=4j=一4na=±2&'(舍去)

a9

③当—22时，即〃<-4故当％=2时，y疝=5+2〃=一4n〃=—符合

22

9

综上：〃=6或一

2

k

20.在平面直角坐标系中，直线/：y=笈+加交曲线y=-(x>0)于A、8两点，交x轴于点C,过点A作

X

AD_Lx轴于点。，且DC=20。，连接2D

(1)若A点的坐标为(1,2),求线段AB的长；

(2)若“且..A8D的面积为3,求k的值.

【答案】(1)V2

⑵6

【解析】

k

【分析】(1)将点A代入曲线y=*(x＞0)可得上=2,由点。坐标可求出点C,进而得到直线/的方

尤

程，联立方程得到点B坐标，线段A3长度即可求.

(2)由题意，由直线/的方程可依次得到点C,。,A的坐标，联立方程，借助韦达定理，可求点B的坐

标，由SABO=S4C£»-SBCD=3得到加2,由此求出々的值.

【小问1详解】

k

因为点A(l,2)在曲线丁=人(尤＞0)上，

X

所以k=2,0(1,0),

因为OC=20D,所以C(3,0),

t+m-2[t--1

由〈八得，]_，

3t+m=0[m=3

故/：y=一％+3,

y=-x+3

由2得8(2,1),

y=一

IX

所以线段A2的长为^(1-2)2+(2-1)2=V2.

【小问2详解】

,1工，1

当/=一一时，l:y=一一x+m,

33

2m

所以C(3/n,0),D(m,0),A(m,—),

3

1

y=——x+m

，31

由＜,得一九之一"X+左=0,

k3

y

X

所以XA+XB=3根，故%B=2〃Z,所以3

SABD=SACD-SBCD=--CD-(yA-yB)=--2m-(^——)=—=3,

AHUaAC"BLD2'JA，b，2'33’3

所以m2=9,

_2m2m2,

Wk=m----=----=o.

33

x+y+z=9

21.解下列关于尤、y、z方程组：\x-+y-+z2=29.

x3+y3+z3=99

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】由题意，结合平方和、立方和公式，解方程组即可求解.

x+y+z=9x+y=9-z

【详解】由炉+9+22=29,得＜x2+/=29-z2

x3+J3+Z3=99=(x+,)卜2―孙+J)=99—[3

,:2xy=(x+y)2-(%2+y2),xy=z2-9z+26,

(9-z)(29-Z2-Z2+9Z-26)=99-z3,即z3-9z2+26z—24=0，

(Z-2)(Z2-7Z+12)=0,解得z=2或3或4,

x—2x=3x-2x=4x=3x=4

y=3或＜y=2或＜y=4或,y=2或＜丁=4或,y=3

z=42=4z=32=3z=2、z=2

22.如图，圆内接四边形A8C£）中，G为对角线AC、8。的交点，过点。作OE//A5交AC于E,且

EG=GA,/在线段GD上，//AF,R=/DEF,连接CT.

D

(1)求证：ADEFs^CAD；

（2）求证：ZACB^ZDCF.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）结合题意可证明5Gg△即G,结合平行线的性质与相似三角形的判定定理即可得;

（2）借助相似三角形的性质与判定定理即可得.

【小问1详解】

DE//AB,:.ZABG=ZEDG,

ZABG=ZEDG

在.ABG和△EDG中，有<NAGB=NEGD,

GA=GE

ABG”EDG,:.AB=DE,

四边形ABED为平行四边形，

：.BE//AD,\?DAE?BEA,

ZAEB=/DEF,:.ZDAE=ZD