离心率专题(学生版)

2/4离心率专题一、求椭圆和双曲线的离心率e（e=EQ\F(c,a)）的值；1.直接根据条件分别求出a、c，再求解e.例1、椭圆x2+4y2=1的离心率为（

）选A。（A）

（B）

（C）

（D）

2.（以椭圆为例）由条件先找出关于a、b、c的一个齐次等式，再利用a2=b2+c2得到a,c(或a,b或b,c)间的齐次等式，然后求整体求出EQ\F(c,a)（），最后用，求出离心率。例2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）（A）（B）（C）（D）解：∵2a=2(2b),∴a=2b,。故选D.例3、设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）解：因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.二、求椭圆和双曲线离心率e的取值范围。1.由条件先找出含a、b、c的一个等式（或不等式），再利用基本不等式或几何条件将上述式子变成关于a、b、c的一个齐次不等式，再利用a2=b2+c2得到a,c(或a,b或b,c)间的齐次不等式，然后求整体求出EQ\F(c,a)（）的范围，最后用，求出离心率的范围。例4、双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点分别是F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）（A）(1,3)（B）(1,3]（C）（3，+∞）（D）[3,+∞)解：∵|PF1|=2|PF2|，又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,又∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(利用三角形三边之间关系找出不等式)，∴6a≥2c,∴e≤3,又∵双曲线e>1,∴1<e≤3.故选B.2.将离心率表示成某个变量的函数，求函数值域例5.设，则双曲线的离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】Ｂ．，根据二次函数值域可得．三、专题演练1.已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为．若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6.已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD7.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）A.B.C.D.9.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是（）(A)(，+)(B)(，+)(C)(，+)(D)(0，+)10.已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．11.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为________．12.已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，则椭圆的离心率e的取值范围为.13.椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使.则椭圆的离心率e的取值范围为.14.设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.则双曲线的离心率e的取值范围为.15.已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，则双曲线的离心率e的取值范围为.16.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是________．1