数学归纳法 基础练习 高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

4．4数学归纳法*4.4.1数学归纳法(1)一、单项选择题1利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)时，第一步应证明()A.f(2)＝1＋2B.f(1)＝1C.f(1)＝1＋2＋3D.f(1)＝1＋2＋3＋42已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝2(eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n))时，若已假设n＝k(k＞2且k为偶数)时等式成立，则还需要再证()A.n＝k＋1时等式成立B.n＝k＋2时等式成立C.n＝2k＋2时等式成立D.n＝2(k＋2)时等式成立3用数学归纳法证明不等式“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)<n(n∈N，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边增加的项数是()A.2k-1B.2k－1C.2kD.2k＋14(2023上海晋元高级中学期中)我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题．下列三个证明方法中，可以证明某个命题p(n)对一切正整数n都成立的是()①p(1)成立，且对任意正整数k，“当1≤i≤k时，p(i)均成立”可以推出“p(k＋1)成立”；②p(1)，p(2)均成立，且对任意正整数k，“p(k)成立”可以推出“p(k＋2)成立”；③p(2)成立，且对任意正整数k≥2，“p(k)成立”可以推出“p(2k)成立且p(k－1)成立”．A.②③B.①③C.①②D.①②③5用数学归纳法证明eq\f(2n－1,2n＋1)>eq\f(n,n＋1)对任意n＞k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为()A.1B.2C.3D.4二、多项选择题6已知关于自然数n的命题P(n)，由P(k)成立可以推出P(k＋1)成立，若P(6)不成立，则下列结论中不正确的是()A.P(7)一定不成立B.P(5)可能成立C.P(2)一定不成立D.P(4)不一定成立7(2023绍兴二模)“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x，如果x是奇数就乘以3再加1，如果x是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设k∈N*，各项均为正整数的数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，an为偶数，,an＋k，an为奇数，))则下列说法中正确的是()A.当k＝5时，a5＝4B.当n>5时，an≠1C.当k为奇数时，an≤2kD.当k为偶数时，{an}是递增数列三、填空题8用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n2”，验证不等式成立的第一步所取的第一个n0的最小值是________．9已知x＞－1且x≠0，用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n＞1时，(1＋x)n＞1＋nx”，第一步应验证的不等式为________．10用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，n≥2)”时，第一步要证的式子是________．四、解答题11用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝eq\f(1,3)n(n＋1)(n＋2).

12(2023上海进才中学期末)某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模．自2022年9月以来的第n个月(2022年9月为第一个月)产品的内销量、出口量和销售总量(销售总量＝内销量＋出口量)分别为bn，cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn＋1＝a·an，cn＋1＝an＋baeq\o\al(2,n)(其中a，b为常数)，已知a1＝1万件，a2＝1.5万件，a3＝1.875万件．(1)求a，b的值，并写出an＋1与an满足的关系式；(2)利用数学归纳法证明销售总量an一直小于2万件，判断总销量是否逐月递增，并说明理由．

4．4.2数学归纳法(2)一、单项选择题1用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是()A.3·7k+1＋6B.3·7k＋6C.3·7k－3D.3·7k+1－32(2023池州一中期中)k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)(k≥3，k∈N*)为()A.f(k)＋k－1B.f(k)＋k＋1C.f(k)＋kD.f(k)＋k－23已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为()A.2kB.2k＋2C.eq\f(k2＋k＋2,2)D.k2＋k＋24(2023海南期末)在正项数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3－eq\f(1,an)，则{an}()A.为递减数列B.为递增数列C.先递减后递增D.先递增后递减5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成()A.假设当n＝2k＋1(k∈N*)时成立，再推出当n＝2k＋3时成立B.假设当n＝2k－1(k∈N*)时成立，再推出当n＝2k＋1时成立C.假设当n＝k(k∈N*)时成立，再推出当n＝k＋1时成立D.假设当n＝k(k≥1)时成立，再推出当n＝k＋2时成立二、多项选择题6已知正项数列{an}满足an＋1＜an－aeq\o\al(2,n)(n∈N*)，则下列可用数学归纳法证明的正确的猜想是()A.an＜1B.an＞1C.an＜eq\f(1,n)D.an＞eq\f(1,n)7(2023珠海斗门一中期中)以下四个命题，其中满足“假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的是()A.2n>2n＋1(n≥2)B.2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)C.凸n边形的内角和为f(n)＝(n－2)π(n≥3)D.凸n边形的对角线条数g(n)＝eq\f(n(n－2),2)(n≥4)三、填空题8平面内有k条直线，设它们的交点个数为f(k)，若增加一条直线，则它们的交点个数最多为________．9用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．10已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为________．四、解答题11(2023北京房山期末)已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，记该数列的前n项和为Sn.(1)计算S1，S2，S3，S4的值；(2)根据计算结果，猜想Sn的表达式，并进行证明．

12(2023上海虹口上外附中月考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x为正奇数，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))，x为正偶数.))(1)依次求f(2)，f(3)＋f(4)，f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)的值；(2)对任意正整数n，记an＝f(2n-1＋1)＋f(2n-1＋2)＋f(2n-1＋3)＋…＋f(2n)，即an＝eq\o(∑,\s\up8(2n-1),\s\do8(i＝1))f(2n-1＋i).猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

【答案解析】4．4数学归纳法*4.4.1数学归纳法(1)1.Dn的初始值应为1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.2.B因为已假设n＝k(k＞2且k为偶数)时等式成立，且n只能取偶数，所以还需要证明n＝k＋2时等式成立．3.C当n＝k时，不等式左边＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)，而当n＝k＋1时，不等式左边＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k+1)，增加了eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k+1)，共2k项．4.D对于①，对任意正整数k，当1≤i≤k时，p(i)均成立，则当n＝k时，p(n)成立，故①可证明某个命题p(n)对一切正整数n都成立；对于②，因为p(1)，p(2)均成立，p(k＋2)成立，则当n为奇数时，p(n)成立，当n为偶数时，p(n)成立，所以②可以证明某个命题p(n)对一切正整数n都成立；对于③，因为p(2)成立，对任意正整数k≥2，p(k－1)成立，所以p(1)也成立．又p(k)成立，p(2k)成立，则p(2k－1)也成立，所以③可以证明某个命题p(n)对一切正整数n都成立．故选D.5.B当n＝1时，左边＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3)，右边＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)，此时左边<右边，不等式不成立；当n＝2时，左边＝eq\f(22－1,22＋1)＝eq\f(3,5)，右边＝eq\f(2,2＋1)＝eq\f(2,3)，此时左边<右边，不等式不成立；当n＝3时，左边＝eq\f(23－1,23＋1)＝eq\f(7,9)，右边＝eq\f(3,3＋1)＝eq\f(3,4)，此时左边＞右边，不等式成立，所以用数学归纳法证明结论时，对任意n＞k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为2.6.ABD由P(6)不成立，无法得出P(7)是否成立，故A不正确；P(5)一定不成立，否则P(6)成立，故B不正确；P(2)一定不成立，否则P(6)成立，故C正确；由B，C可知P(4)一定不成立，故D不正确．故选ABD.7.ACD对于A，当k＝5时，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(an,2)，,an为偶数，,an＋5，,an为奇数，)))a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝eq\f(a2,2)＝3，a4＝a3＋5＝8，a5＝eq\f(a4,2)＝4，故A正确；对于B，当k＝5时，由A知，a6＝eq\f(a5,2)＝2，a7＝eq\f(a6,2)＝1，故B不正确；对于C，因为a1＝1，所以当k为奇数时，a2＝1＋k≤2k且a2为偶数，a3＝eq\f(1＋k,2)≤k.假设当ak为奇数时，当ak≤k；ak为偶数时，ak≤2k，则当ak为奇数时，ak＋1＝ak＋k≤2k，且ak＋1为偶数；当ak为偶数时，ak＋1＝eq\f(ak,2)≤k，所以若ak＋1为奇数，则ak＋1≤k；若ak＋1为偶数，则ak＋1≤2k，所以∀n∈N*都有an≤2k，故C正确；对于D，当k为偶数时，若an为奇数，则an＋1为奇数．因为a1＝1为奇数，所以归纳可得，∀n∈N*，an均为奇数，则an＋1＝an＋k，所以an＋1－an＝k>0，所以数列{an}递增，故D正确．故选ACD.8.5当n＝2，3，4时，2n>n2不成立；当n≥5时，有2n>n2，故验证不等式成立的第一步所取的第一个值n0最小是5.9.(1＋x)2＞1＋2x10.2＋f(1)＝2f(2)因为n≥2，所以n0＝2.观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2).11.①当n＝1时，左边＝2，右边＝eq\f(1,3)×1×2×3＝2，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＝eq\f(1,3)k(k＋1)·(k＋2)，那么当n＝k＋1时，(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＋[(k＋1)2＋(k＋1)]＝eq\f(1,3)k(k＋1)(k＋2)＋[(k＋1)2＋(k＋1)]＝eq\f(1,3)k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(1＋k＋1)＝eq\f(1,3)(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]，故当n＝k＋1时，等式也成立．综上，(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝eq\f(1,3)n(n＋1)(n＋2).12.(1)由题意可得an＋1＝bn＋1＋cn＋1＝aan＋an＋baeq\o\al(2,n)，所以a2＝aa1＋a1＋baeq\o\al(2,1)＝a＋1＋b＝eq\f(3,2)，①a3＝aa2＋a2＋baeq\o\al(2,2)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)＋eq\f(9,4)b＝eq\f(15,8)，②联立①②，得a＝1，b＝－eq\f(1,2)，所以an＋1＝2an－eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n).(2)因为a1＝1∈(0，2)，a2＝eq\f(3,2)∈(0，2)，猜想：对任意n∈N*，an∈(0，2)，理由如下：假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即0<ak<2，则当n＝k＋1时，ak＋1＝2ak－eq\f(1,2)aeq\o\al(2,k)＝－eq\f(1,2)(ak－2)2＋2∈(0，2)，这说明，当n＝k＋1时，猜想也成立，故对任意n∈N*，an∈(0，2).因为an＋1＝2an－eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)，所以an＋1－an＝an－eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＝－eq\f(1,2)an(an－2)>0，即an＋1>an，可得数列{an}为递增数列，即总销量逐月递增．4．4.2数学归纳法(2)1.A假设当n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k+1－1－[(3k＋1)·7k－1]＝(3k＋4)·7k+1－(3k＋1)·7k＝[(3k＋1)＋3]·7k+1－(3k＋1)·7k＝(3k＋1)·7k+1＋3·7k+1－(3k＋1)·7k＝6·(3k＋1)·7k＋3·7k+1＝6·[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k+1＋6.因为(3k＋1)·7k－1能被9整除，所以要证上式能被9整除，还需证明3·7k+1＋6也能被9整除．2.A过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k－2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k－2个对角面，而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k－2)＋1＝k－1个对角面，于是得f(k＋1)＝f(k)＋k－1，所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)＋k－1.3.A当n＝3时，这三个平面将空间分成了8部分；若n＝k，平面将空间分成f(k)个部分，再添加1个平面，与其他k个平面共有k条交线，此k条交线经过同一个点，将该平面分成2k个部分，每一平面将空间一分为二，故f(k＋1)＝f(k)＋2k.4.A由题意，得a1＝3，a2＝3－eq\f(1,a1)＝eq\f(8,3)，a3＝3－eq\f(1,a2)＝eq\f(21,8)，且0<an≤3，显然a1>a2>a3成立；假设当n＝k≥3时，ak>ak＋1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1－ak＋2＝ak＋1－3＋eq\f(1,ak＋1)＝eq\f(1,ak＋1)－eq\f(1,ak)＝eq\f(ak－ak＋1,akak＋1)>0，所以ak＋1>ak＋2，即当n＝k＋1时也成立．故{an}为递减数列．5.B第二步假设当n＝2k－1(k∈N*)时成立，再推出当n＝2(k＋1)－1＝2k＋1时成立．6.AC因为数列{an}满足an＋1＜an－aeq\o\al(2,n)(n∈N*)，所以an＋1＜an(1－an)(n∈N*).又因为数列的各项为正，所以1－an＞0，即0＜an＜1，故A正确，B错误；猜想an<eq\f(1,n)，当n＝1时，a1＜1，a2<a1－aeq\o\al(2,1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)；当n＝2时，a2<eq\f(1,2)；假设当n＝k(k≥2)时，ak<eq\f(1,k)，则当n＝k＋1时，ak＋1<ak－aeq\o\al(2,k)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4).因为ak<eq\f(1,k)≤eq\f(1,2)，所以ak＋1＜eq\f(1,k)－eq\f(1,k2)＝eq\f(k－1,k2)<eq\f(k－1,k2－1)＝eq\f(1,k＋1).综上，an<eq\f(1,n)，故C正确，D错误．故选AC.7.AB对于A，假设当n＝k时，命题成立，即2k>2k＋1，则当n＝k＋1时，2k+1＝2·2k>4k＋2＝2k＋2＋2k＝2(k＋1)＋2k>2(k＋1)＋1，故当n＝k＋1时，命题也成立．当n＝2时，有4>5，故当n为给定的初始值时，命题不成立，故A正确；对于B，假设当n＝k时，命题成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋2，则当n＝k＋1时，2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2＋2(k＋1)＝k2＋2k＋1＋k＋3＝(k＋1)2＋(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时，命题也成立．当n＝1时，等号左边为2，右边为1＋1＋2＝4，2≠4，故当n为给定的初始值时，命题不成立，故B正确；对于C，假设当n＝k时命题成立，即f(k)＝(k－2)π，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋π＝(k－1)π，故当n＝k＋1时，命题也成立．当n＝3时，内角和为π，命题成立，故C错误；对于D，假设当n＝k时命题成立，即g(k)＝eq\f(k(k－2),2)，则当n＝k＋1时，g(k＋1)＝g(k)＋k－1＝eq\f(k(k－2),2)＋k－1＝eq\f(k2－2,2)≠eq\f((k＋1)(k－1),2)，故当n＝k＋1时，命题不成立，故D错误．故选AB.8.f(k)＋k由已知，平面内有k条直线，设它们的交点个数为f(k)，若增加一条直线，即第k＋1条直线和前k条直线都相交，增加了k个交点，此时交点个数最多，则交点个数为f(k)＋k.9.(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.因为k(k＋1)为偶数，所以3k(k＋1)能被6整除，所以(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.10.36f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，①当n＝1时，f(1)＝36是36的整数倍；②假设当n＝k时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9是36的整数倍，即f(k)＝36p(p∈N*)，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k+1＋9＝3(2k＋7＋2)·3k＋9＝3(2k＋7)·3k＋2·3k+1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋2·3k+1－18＝3f(k)＋18(3k-1－1)，由假设知f(k)是36的整数倍，又3k-1－1是偶数，所以18(3k-1－1)是36的整数倍，所以f(k＋1)是36的整数倍．综上，对一切正整数n，f(n)是36的整数倍，即f(n)能被36整除，而f(1)＝36，所以36是最大的数，即m＝36.11.(1)因为an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以S1＝eq\r(2)－1，S2＝eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(2)－eq\r(1)＝eq\r(3)－1，S3＝eq\r(4)－eq\r(3)＋eq\r