徐州市沛县2024届高三年级上册期初数学模拟测试（一）

沛县2024届高三年级上学期期初模拟测试（一）

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|%2w4},集合B={x|xeN*且x—lea},则B=（）

A.[0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

2.已知复数Z],Z2满足Z1+z2=izltzf=2i,则=（）

A.1B.V2C.V3D.V5

3.设a,0均为锐角，则“a>2£”是“sin（a-S）>sin0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.某圆锥体积为1,用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面

和下底面半径之比为点则该圆台体积为（）

A.-B.-C.-D.—

8422

5.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时

期的文物,现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，

上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体II是棱台，下面的几何体山也是棱台，几何体III的

下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的4倍，若

几何体I、II、III的高之比分别为3:3:5,则几何体I、II、III的体积之比为（）

**

A.3:6:10B.3:9:25C.3:21:35D.9:21:35

6.若ae(0,力晨兴=|,则cos(a+?=()

A.—B.—C.-D.1

222

7.已知在RtAABC中，CA=CB=2,以斜边力B的中点。为圆心，4B为直径，在点C的另一

侧作半圆弧48,点M在圆弧上运动，则方•前的取值范围为()

A.[0,2+2V2]B.[0,4]

C.[0,6]D.[2-2V2,4]

8.设a=4?4,ft=—,c=-,贝U()

e22e

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分..在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分

9.已知向量五=(1,3)是=(2,-4),则下列结论正确的是().

A.(a+K)1aB.|2a+b\=V10

c.向量五花的夹角为斗D.3在五方向上的投影向量是VTUa

4

10.已知点P(2,4),若过点Q(4,0)的直线/交圆C：0—6)2+y2=9于A,B两点,R是圆C上

一动点，则()

A.|4B|的最小值为2芯B.P到2的距离的最大值为2强

C.丽•丽的最小值为24-6岔D.|PR|的最大值为4企-3

11.已知0为坐标原点，椭圆C:《+?=l(a>2/).过点M(VXl)作斜率分别为子和一日的

两条直线4，12,其中匕与C交于P,Q两点，1与C交于S,T两点，且加=2南，贝U()

A.C的离心率为手B.\ST\=6

c工+上=工+工D.P,Q,S,T四点共圆

\MP\\MQ\|MS|\MT\

12.已知数列｛aj｛.｝的项数均为k(k为确定的正整数，且:22),若丁+。2+•••+.=

k

2卜—1,b1+b2+-+bk=3-1,则()

A.｛厮｝中可能有k-1项为1B.｛%｝中至多有k项为1

C.｛晟｝可能是以|为公比的等比数列D.｛含｝可能是以2为公比的等比数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.数列｛an｝满足的=2,即+1=迎岁即(716%*),则-,?+—=______

T2+1+'^2021

14.在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC,且N4PC=乙BPC=4ACB=30°,则直线PC

与平面ABC所成角的余弦值为

15.已知直线2%-y-2=0与双曲线C：%2-y2=1交于点4(%]%),耿物力)•尸(久3，丫3)为

c_b—*点，且%iv%3＜%2，＜丫3vy?,9则的面积最大值为.

16.已知函数/(X)=嘎£是定义在R上的奇函数，当久6[1,2]时，2++2》＞0恒

成立，则机的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.已知等差数列｛a九｝和等比数列｛,｝满足，%=2,瓦=1,a2+a3=10,b2b3=-a4.

⑴求数列｛%J,｛喝｝通项公式

(2)设数列｛cn｝中满足cn=an+bn,求和q+c3+c5+…+c2n-i

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且附丫一闻="1).

smC+smB

⑴求B;

(2)若鬻+普=4,求当的值.

tanAtanCsinC

19.中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前

使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现

了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革,

极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对

于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数

据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于尤(年份)的线性回归方程为歹=4.7x

-9495.2,且销量y的方差欧=50,年份x的方差为或=2.

(1)求y与尤的相关系数厂，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

购买非电动汽车购买电动汽车总计

男性302050

女性153550

总计4555100

能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关？

(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4

人，记这4人中，男性的人数为X,求X的分布列和数学期望.

参考公式；

⑴线性回归方程：y=bx+a,其中片=鼻等生豆，a=y-bx；

(ii)相关系数：r=।X­("),若厂>0.9,则可判断y与无线性相关较强;

J制2歹尸

2

(iii比2n(ad-bc)其中〃=〃+/?+

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'c+d.

附表:

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510,828

20.在四棱锥P—48CD中，CD//AB.AD=DC=CB=1,AB=2,AC1PB.

⑵若PB1BC,直线PB与平面P4C所成的角为30。，求P。的长.

21.已知双曲线C：弓―[=l(a>0,6>0)的右焦点为F,左顶点为A,且|F川=2+代,

az

F到C的渐近线的距离为1,过点B(4,0)的直线/与双曲线C的右支交于P,Q两点，直线AP,

AQ与y轴分别交于N两点.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若直线M3,的斜率分别为k2,判断七e是否为定值.若是，求出该定值；若不是,

请说明理由.

22.已知函数/(久)-ex+(2—a)cosx.

(1)若f(x)在[0,+8)单调递增，求a的取值范围;

(2)当x20时，/(%)>a(x-1)+3,求°的取值范围.

数学期初模拟测试(一)参考答案:

1.CvA={x|x2<4}=[-2,2],8={x|x6N*且久一1ea},

B={1,2,3},

2.A设z2—a+bi(a,bGR),

因为餐=2i,所以a?—炉+2abi=2i,

••・/；？铲解得{广：或忆一：

i2ab=2i匕=1i匕=—1

所以z2=1+i或Z2=-1—i.

因为Z]+z2=izv所以Zi=早

当z2=1+i时,

_l+i_(l+i)(-l-i)

Z1--1+i-(-l+i)(-l-i)-i,则|z/=1；

当Z2=—1—i时，

­=

Z1=-------则|z/=1;

1-l+i(-l+i)(-l-i)

3.C因为a,£均为锐角，所以OVa<$OV^V]

当a>2/?时，—

由函数y=sin%在(-1,/)上单调递增，所以sin(a-/?)>sin^,

故"a>2/是“sin(a-夕)>sin/T的充分条件.

当sin(a—B)>sin/?时，由0Vav]0</?<p则一]<一S<0,所以一]<a—0<p

因为函数丫=sin%在(一^3)上单调递增，所以a-0>0,即a>2/7,

故“a>2夕”是“sin(a-S)>sin/的必要条件.

综上所述，“a>2/T是“sin(a-0)>sin'的充分必要条件.

4.A设小锥体的底面半径为厂，大锥体的底面半径为2厂，小锥体的高为九，大锥体的高为为

2/1,

则大圆锥的体积即为立以2厂)2-2/l=1,整理得三口2,h=-

3389

即小圆锥的体积为:

O

所以该圆台体积为1-;=9

88

5.D设上面的六棱柱的底面面积为S,高为3根，由上到下的三个几何体体积分别记为彩匕，匕，

贝UK=3mS,

匕

=?S+4S+x3m=7mS,

；（

=S+4S+x5m=—mS,

3

si.n2^a-cos2acl-tan2a

可得3（1+tan2a）=8x=8X£^，

sin2a+cos2a

可得3（1+tan2a）2=8—8tan2a,

解得taMa=工，因为a€（0,巴），所以tana=更，所以a=H所以cos（a+巴）=cos^=工.

3\2/36\6/32

因为直角三角形ABC为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系,

其中C(0,0),4(2,0),8(0,2),

而以力B为直径的圆的方程为：%(%-2)+y(y-2)=0,

整理得到：(久一1)2+@—1)2=2,

设则由=(小,九),£?=(2,0),故而•刀=2zn,

因为M在半圆上运动变化，故OWmWl+VL

故而的取值范围为：［0,2+2夜］,

8.C设/⑺=竽则/(无)=鬻,

当x>e时,尸(为<0,函数单调递减，当0<x<e时，/0)>0,函数单调递增，

故当x=e时，函数取得最大值/(e)=

因为a=—=辱=/停)力=9=竽=/(4),。=；小)，

2

e<—<4,

2

当x>e时，/0)<0,函数单调递减，可得/(4)</([)<7(e),

即b<a<c.

9.AC对于A,a+b=(3,-1),由(a+b),a=3x1+(—1)x3=0,则(a+b)-La,故

A正确；

对于B,2五+3=2(1,3)+(2,—4)=(4,2),\2a+b\=V42+22=2^5,故B错误；

对于C,a-h=lx2+3x(-4)=-10,|a|=Vl2+32=V10,|h|=yj22+(-4)2=2遍，

则cos值0=言今==_4,即向量五,3的夹角为手，故C正确；

对于D,3在五方向上的投影向量是萼五==五=-乙故D错误.

\a\210

10.ABC如图，当直线/与久轴垂直时，I&BI有最小值，且最小值为2匾，所以A正确；

当直线I与PQ垂直时，P到I的距离有最大值，且最大值为|PQ|=2遮，所以B正确.

设R(6+3cos0,3sin0),则所•而=(2,-4)•(4+3cos43sin0_4)=6cos6»-12sin0+24,

所以而•丽=64cos(8+0)+24,所以丽•市的最小值为24-6有，所以C正确；

当P,C,R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r=4/+3,所以D错误；

故选：ABC.

11.ABD依题意m=2丽=(2企,2),gp?(2V2,2),

所以嗜+念1,解得a=4(负根舍去)•

所以椭圆C:±+《=1,则b=c=2V2,e=苧=".

16o4Z

依题意可知直线4的倾斜角a为锐角，且tana=j,

sina_V2也、

cosa-T角牟得cosa=而,sina=店.

｛sin2a+cos2cr=1

直线"的倾斜角S为钝角，且tan£=-产,

，sinj?_V2

由cose2解得cos'=-噂,sin£=%

sin2s+cos2s=1

x=V2+—pt

设直线4的参数方程为｛f（t为参数），

"1+型

由（‘+后”+“F）=1整理得/+2V3t—9=0,

168

解得"=-3V3,tP=V3（不妨设）.

设直线G的参数方程为｛f（t为参数），

（y=i+取

由位高"+：+T）=1整理得/-9=0,

解得玄=3,%=—3（不妨设）.

所以|ST|=\ts-tT\=6,B选项正确.

当+心=:+二=逋，E+4=C选项错误.

\MP\\MQ\由3V39|MS|\MT\3

V3x3A/3=\MP\■\MQ\=\MS\•\MT\=3x3=9,

所以摆=鼠，而NSMQ=NPMT,所以ASMQ〜△PM7,

所以NMSQ=NMPT,所以P,Q,S,T四点共圆.

（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由|MP|•\MQ\=|MS|•|MT|判断出P,Q,S,7四点共

圆）所以D选项正确.

12.AC由题意可得Gt]+0,2+…+Glfc—2k—1①，a[+（124—+以-1=2ki—1②,

①-②得以=2^1,同理可得瓦=3小1,

所以数列{an},{6n}中仅有1项为1,

因为kN2,所以B错误；当k=2时，A正确;

£=所以当kN2时，｛用｝是以|为公比的等比数列，C正确，D错误；

13.空空由时+1=anGieN*)得：&±1=%生，

n+1nvJ

2021n+1ann+1

11

an=工x-x-x回x%x%=2"-f—x—x-xx-x2)=(n+1)-2"-；

设=Q]+g--+%,

n2

贝US”=2X2°+3X21+4X22+.••+n-2-+(n+1)-2“T,

123n

2Sn=2X2+3X2+4X2+…+n-2^+(n+l)-2,

—Sn=2+21+22+-+2n-1-(n+1)-2n=2+zaRf一缶十1).2n=2+2n-

1—2

2—(n+1)-2n=—n-2n,

nn

・•・Sn=n-2,即由+a2+…+an=n-2,

.・.S2021=2021x2202i,。2022=2023x22021,

2021

.a2022_2O23X2_2023

2021

•・a1+a2+---+a202i2O21X22021,

故答案为：鬣.

14.渔/记AB的中点为。，连结PD,CD,过P作PE1CD交CD的延长线于E,如图，

因为4C=8C,4APC=LBPC,PC=CP,所以AaPC三ABPC,则Pa=PB,

又。为AB的中点，所以AB1PD,

因为CDCPD=D,CD,PDu面PCD,所以AB1面PCD,

又PE/PCD,所以4B1PE,

因为PEICD,CDnAB=D,CD,ABc^ABC,所以PE1面ABC,

所以NPCE为直线PC与平面ABC所成角的平面角，

不妨设AC=BC=PC=m,

在△ABC中，AACB=30°,贝！MB?=4C2+BC2-2AC-BCCOS30°=(2—B)M2,BD2=

OB?=平M2,

在RtaBCD中，CD2=BC2-BD2=—m2,

4

在APBC中，Z.BPC=30°,贝!|BC2=PC2+PB2-2PC-PBCOS30°,

22

即62—m+pg—V3m-PB,故P8=V3m,

在RtAPB。中，PD2=PB2-BD2=3M2-彳病=若12,

22+V3210+^37

PC2+CQ2一小+其小一丁加

所以在△「£1£>中，cos/PCD=1

2PCCD

2xmx呼m

又(1+V3)2=4+2V3=2x(2+V3),贝!|1+旧=奁乂V2+V3,即,2+g=臀,

所以SPCD=-熹=-熹=-F，

所以COSNPCE=cos(it—/-PCD)——COS/.PCD=巫J,

故直线PC与平面ABC所成角的余弦值为"名

故答案为：渔产.

15.依题意，%VV丫2

所以A。。"(")，MB|=灼+(丁=子为定值，

由于%1<%3<%2，yi<y3〈y2，所以P在双曲线48两点间的曲线上，P在第一象限,

当P距离最远时，三角形PZB的面积取得最大值，

设直线2%-y+t=0与双曲线C：x2-y2=1相切于P点，

2

由，：1。消去y并化简得3/+4tx+t+l=0,

由4=16t2-12(t2+1)=4t2-12=0解得c=-V3(正根舍去),

故切线方程为2x—y—V3=0,

直线2x-y-2=0与直线2x-y-V3=0的距离为亨，

所以的面积最大值为3x当x，磬=三”

23V53

16.(-5-2V6,+8)因为函数/(%)=喔/是定义在R上的奇函数，

所以/(0=0,即靠^=0,解得：a=l.

又/(—1)=—/(I),所以W+W=。，解得：b=l.

所以人支)=W-

作)=再1=1-国？

因为y=2工在xG[1,2]上单增，所以y=2尢+1在xe[1,刀上单增,所以y=表在工G[1,2]上

单减，所以/O)=W=1一岛在久e[L2]上单增，所以/(久)>/(I)=W=!>0-

所以要使2+m/(x)+2X>0恒成立，只需小〉芳=_(2弋)：+2)恒成立.

因为y=2"在久G[1,2]上单增，所以2<2X<4,所以1<2X-1<3.

令t=2工一l,t€[1,3].

记八(t)=_(2弋,：+2)=_(t+2,+3)=_«+g+5)w—(2Jo<|+5^=-2V6-5(当且

仅当t=5，即[=伤6[1,3]时2等号成立)，

所以/l(t)max=_2V6—5.

所以m>-2V6-5.

即m的取值范围为(一2逐-5,+8).

17.【详解】(1)设等差数列｛5｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q,

则a2+CI3=a】+d+的+2d=4+3d=10,解得d=2,

•••an=ar+(n—l)d=2+2(n-1)=2n,

・3

..b2b3=biqbiq2=q=-a4=-8,解得q=-2,

•••bn=瓦q九t=(一2)九一1，

n-1；

即。九=2n,bn=(—2)

(2)由(1)得c九=2九+(―2)九一1,

a

•••Cl+C3+C5d--Fc2n-l=(。1+03"!----1"2n-l)+(瓦+63d----Fb2n_1)

_九(。1+。2/一1)+biQ_q2n)_九(2+4九-2)+l-(_2严_2九2+£1_工

—21-q2-21-(-2)2—33，

18.(1)由以smcsin』)=二一口可得。(sinC—sin/)=(c-b)(sinC+sinB),由正弦定理得

sinC+sinB

a(c—a)=(c—b)(c+b),

即a2+c2—F=ac,由余弦定理得cosB=贮士好=工，因为0<B<n,可得B=二

2ac23

/C、./A,—、.z°、,tanBsinB(cosA,cosC\sinBsinM+C)

(2)sin(i4+C)=sin(7r—B)=sinB,贝U---1-----=---------1----=-------------=

tanAtanCcosB\sin/sinC/cosBsinAsinC

--1----s-i-n-2B-=---1---b2=.4,

cosBsinAsinCcosBac

2

2222

又B=I，可得层=2ac,又由(1)a+c—b=ac,得Q?+c—Sac=0,所以(/)—

3仁)+1=0,所以2=型与所以当=学.

\c/c2sinC2

19.(1)相关系数为

果：式々一元)(%一夕)

7=—

J-Ma—君2£匕(力一份2

_£1式/一无)(力一歹)式%l%/=67^1_g退

S^iCxi-x)2JxlliOi-y)2眄g

所以r=4.7xJI=4.7x|=0.94>0.9,故y与x线性相关较强.

(2)零假设为Ho：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.

,n(,ad-be)2100x(30x35-20x15)2

2_______________________L________=________________________《9091

"y—(a+%)(c+d)(a+c)(b+d)—50x50x45x55

所以依据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断Ho不成立，

即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

(3)11人中，男性车主11x£=4人，女性车主llx||=7人,

则X的可能取值为0,1,2,3,4,故

P(X=0)=^=《，P(X=l)=^=ji,P(X=2)=等=||,

P(X=3)=^=装，「(*=4)=圣=击，

L[]XOOOOU

20.(1)在平面四边形A3C。中，CD||AB,AD=DC=CB=1,AB=2,所以四边形ABCZ)

是等腰梯形，过点C作CE14B于E,因为四边形ABC。是等腰梯形，

所以BE=|,4E=|,CE=^BC2-BE2=Jl2-(|)2=*

AC=y/AE2+CE2=J(|)2+(y)2=V3,

所以+8。2=AB2,所以ACIBC,

又ACLPB,BCCPB=B,BC,PBu平面PBC,所以AC1平面PBC,

又ACu平面PAC,所以，平面PAC_L平面PBC.

(2)1BC,AC1PB,BCPiAC=C,BC,ACu平面ABCD,

所以PB1平面4BCD,由(1)知，AC1BC,以C为原点，建立空间直角坐标系C—盯z,

如图所示

则C(0,0,0),4(百,0,0),B(0,l,0),£>(y,-j,0),

因为4cl平面PBC,PB1BC,可设PB=a(a>0),所以P(0,l,a),贝(J

CA=(V3,0,0),CP=(0,1,a)，

设平面B4c的法向量为元=(久,y,z),则

｛元•B—0,即｛严r一°八，令丫=口，贝k=o,z=—1,所以元=(0,a,—1),

n-CP=0y+az=0

因为直线P8与平面P4C所成的角为30。，

所以sin30。=|cos(丽，元=工，解得a=%或a=—百(舍)，

ava2+l2

所以P(0,l,旧)，又D片,一30)，

所以PD=J(0-y)2+(1+1)2+(V3-0)2=V6.

21.(1)由题意得|R4|=a+c=2+F(c,0),渐近线方程为y=±：K,

则F(c,O)到渐近线的距离为熹不*=b=l,

又因为。2=。2+炉,

所以a=2,b—1,c-V5,

2

故双曲线C的标准方程v为y2=1.

4

(2)设直线Z：%=my+4,-2<m<2,尸Q(%2，V2)，

x=my+4,

{E_y2_i得(租2—4)y2+8my+12=0,

所以治+为=一段，九%=岛・

因为直线4P的方程为y=言(％+2),

2yl2y2

因为的=等=—黑？%2+2__丫2

-4—2(%2+2)'

所以七七=y，2_%为

2

4(%1+2)(%2+2)4(my1+6)(my2+6)4[my1y2+6m(y1+y2)+36]

12

=____________3____________=_工,

』127n248m2\-I2m2-48m2+36m2-144—48,

即七七为定值-总

22.(1)•••/(%)=e*+(2-a)cosx,/(久)=ex+(a-2)sinx,

要使/(%)在[o,+8)单调递增，只需v%e[o,+8),((%)之o恒成立.

即V%6[0,+oo),ex+(a-2)sinx>0,

又ex〉。，...i+空型竺NO,即生2史竺；

exex

当。=2时，/'(%)=ex>0符合题意，故a=2；

当a>2时，2-。<0,"〈华；

2-aex

当a<2时，2—a>0,—>

2-aex

令g(久)=—(^^o)>

excosx-exsinxcosx-sinxV2

•••g'O)=FC0Sx+z.

当2/CTI—^<%+J<2fcn+(fcEZ)时，cos(%+：)之0,

即久6\2kn—宇,2Mi+：](fc6Z),cos(%+：)N0；

当2/CR+]<x+^<2fcn+,(kWZ)时,cos(%+：)40,

即久E[2fcn+2fcn+(fcGZ),COS(%+：)40；

•,标>0，x-0，

・•・xe[0,；]u[2ku—2kn+(fceN*),grM>0；

xE[2/m+42/cn+EN)时，g'(%)<0；

所以g(x)在［。用，［2依1一片,2Mi+；］(k6N*)上单调递增;

在［2/CIT+；,2析1+闿(keN)上单调递减.