9.3多项式乘多项式（解析版）

9.3多项式乘多项式多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。题型1：多项式乘多项式1．计算：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6．故答案为：x2+x﹣6．【变式1-1】若（x﹣1）（x+2）＝x2+ax﹣2，则a＝1．【分析】利用多项式乘多项式的法则，计算出（x﹣1）（x+2），根据两个多项式相等，对应项对应相等，进行求解即可．【解答】解：（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，∵（x﹣1）（x+2）＝x2+ax﹣2，∴x2+x﹣2＝x2+ax﹣2，∴a＝1．故答案为：1．【变式1-2】已知ab＝a+b+2021，则（a﹣1）（b﹣1）的值为2022．【分析】利用多项式乘多项式的法则对所求的式子进行运算，再代入相应的值运算即可．【解答】解：当ab＝a+b+2021时，（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝a+b+2021﹣（a+b）+1＝2022．故答案为：2022．【变式1-3】若P＝（x+2）2，Q＝（x+1）（x+3），比较大小：P＞Q（用“＞“或“＜“或“＝”填空）．【分析】把两个式子相减，即可判断．【解答】解：P﹣Q＝（x+2）2﹣（x+1）（x+3）＝x2+4x+4﹣（x2+4x+3）＝x2+4x+4﹣x2﹣4x﹣3＝1，即P﹣Q＝1，∴P＞Q．故答案为：＞．题型2：图形面积问题2.如图：已知长方形纸片ABCD长为3a+1，宽为b+3，裁去一个长为2a+1，宽为b+1的长方形AEFG，则剩余部分面积为ab+7a+2．【分析】根据剩余部分的面积＝长方形ABCD的面积﹣长方形AEFG的面积求解即可．【解答】解：根据题意，得（3a+1）（b+3）﹣（2a+1）（b+1）＝（3ab+9a+b+3）﹣（2ab+2a+b+1）＝ab+7a+2，故答案为：ab+7a+2．【变式2-1】图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积分别表示为S1，S2，若S＝S1﹣S2，且S为定值，则a，b满足的数量关系：a＝2b．【分析】设BC＝x，表示出S1和S2，进一步可得S1﹣S2＝（a﹣2b）x﹣2ab，根据S为定值，可得a﹣2b＝0，进一步可得a，b满足的数量关系【解答】解：设BC＝x，根据题意，得S1＝a（x﹣4b），S2＝2b（x﹣a），∴S1﹣S2＝a（x﹣4b）﹣2b（x﹣a）＝（a﹣2b）x﹣2ab，∵S为定值，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，故答案为：a＝2b．【变式2-2】用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的矩形，需要B类卡片5张．【分析】先求出长为3a+2b，宽为a+b的矩形面积，然后对照A、B、C三种卡片的面积，进行组合．【解答】解：长为3a+2b，宽为2a+b的矩形面积为（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，A图形面积为a2，B图形面积为ab，C图形面积为b2，则可知需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张．故答案为：5．【变式2-3】如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）（3）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．【分析】（1）根据长方形的面积公式进行求解即可；（2）根据长方形的面积公式进行求解即可；（3）结合（1）（2）可求得阴影部分的面积，再代入相应的值运算即可．【解答】解：（1）长方形地块的面积为：（3a+2b）（2a+b）＝6a2+3ab+4ab+2b2＝（6a2+7ab+2b2）平方米．（2）小长方形地块的面积为：2b（2a﹣b）＝（4ab﹣2b2）平方米．（3）绿化部分的面积为：6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4b2，当a＝3，b＝1时，原式＝6×32+3×3×1+4×12＝6×9+9+4＝54+9+4＝67（平方米）．题型3：项的存在问题3.若x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为﹣2．【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可．【解答】解：（x+m）（x2+2x﹣1）＝x3+2x2﹣x+mx2+2mx﹣m＝x3+（2+m）x2﹣（1﹣2m）x﹣m，∵x+m与x2+2x﹣1的乘积中不含x的二次项，∴2+m＝0，解得：m＝﹣2，∴实数m的值为﹣2．故答案为：﹣2．【变式3-1】已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x的一次项，常数项是﹣6，则mn的值为6．【分析】根据多项式乘多项式的法则进行化简，然后令含x的项的系数为零，即可得出答案．【解答】解：（x2+mx﹣3）（2x+n）＝2x3+nx2+2mx2+mnx﹣6x﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，∵展开式中不含x的一次项，∴mn﹣6＝0，解得mn＝6．故答案为：6．【变式3-2】若（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，则n的值为17．【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得m、n的值．【解答】解：原式＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4﹣（3﹣m）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n，∵展开式中不含x2和x3项，∴3﹣m＝0，n﹣3m﹣8＝0，解得：m＝3，n＝17，故答案为：17．题型4：规律题4.观察下列各式：（1）（x+2）（x+3）＝x2+5x+6（2）（x﹣4）（x﹣1）＝x2﹣5x+4（3）（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12⋯由上面计算的结果找规律，完成填空：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq；利用这个规律进行计算：（a﹣2b+2）（a﹣2b+3）．【分析】根据观察等式中的规律，可得答案．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq；（a﹣2b+2）（a﹣2b+3）＝（a﹣2b）2+（2+3）（a﹣2b）+2×3＝a2﹣4ab+4b2+5a﹣10b+6．故答案为：（p+q），pq．【变式4-1】观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立；（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy﹣y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．【分析】（1）读懂题意，按照题中的规律填空；（2）利用多项式乘以多项式计算；（3）根据规律化简式子．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案为：a2﹣ab+b2，b3；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy﹣y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝（x+y）（x2﹣xy﹣y2）﹣（x3+8y3）＝x3﹣2xy﹣y3﹣x3﹣8y3＝﹣2xy2﹣9y3．【变式4-2】若规定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n为正整数，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）计算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）试说明：f(n（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分别为多少？②试确定ab的个位数字．【分析】（1）根据新定义运算方法得出f（4，3）﹣f（3，4）＝4×5×6﹣3×4×5×6，进行计算即可；（2）根据新定义的运算方法计算1m+1[f（n，m+1）﹣f（n﹣1，m+1）]的结果，再与f（n，m（3）根据新定义的运算方法求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】（1）解：f（4，3）﹣f（3，4）＝4×5×6﹣3×4×5×6＝4×5×6×（1﹣3）＝﹣2×4×5×6＝﹣240；（2）证明：∵f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），1m+1[f（n，m+1）﹣f（n﹣1，m+1）]=1m+1×[n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m）﹣（n﹣1）×n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n﹣1+m+1=1m+1[n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1）×（m+1＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），∴f(n（3）解：①∵a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2）=13[f（1，3）﹣f（0，3）+f（2，3）﹣f（1，3）+f（3，3）﹣f（2，3）+…+f（27，3）﹣f（26，3=13[f（27，3）﹣f（0，3=13×27×＝7308，b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）=14[f（1，4）﹣f（0，4）+f（2，4）﹣f（1，4）+f（3，4）﹣f（2，4）+…+f（11，4）﹣f（10，4=14[f（11，4）﹣f（0，4=14×11×12×＝6006；②ab＝73086006，∵61的个位数字是8，82的个位数字是8，4，2，6循环，∵6006÷4＝1501……1，∴ab的个位数字是8．一．选择题（共5小题）1．若（x﹣1）（x+m）＝x2+2x﹣3，则常数m的值为（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．【解答】解：已知等式整理得：（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m＝x2+2x﹣3，∴m﹣1＝2，即m＝3，则m的值是3，故选：A．2．若（y﹣3）（y+2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（）A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝﹣1，n＝﹣6 C．m＝5，n＝6 D．m＝﹣5，n＝6【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算（y﹣3）（y+2），再根据多项式相等的条件即可求出m、n的值．【解答】解：∵（y﹣3）（y+2）＝y2+2y﹣3y﹣6＝y2﹣y﹣6，∵（y﹣3）（y+2）＝y2+my+n，∴..，∴m＝﹣1，n＝﹣6．故选：B．3．有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】计算（3a+2b）（a+b），结果中ab项的系数即为需要C类卡片的张数．【解答】解：∵（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∴需要C类卡片5张，故选：C．4．下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是（）A．﹣x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x【分析】根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积＝x2+3x+6，故选项A错误，符合题意；x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故选项B正确，不符合题意，3（x+2）+x2＝x2+3x+6，故选项C正确，不符合题意，（x+3）（x+2）﹣2x＝x2+3x+6，故选项D正确，不符合题意，故选：A．5．如图，用代数式表示阴影部分面积正确的是（）A．ac+bc﹣c2 B．（a﹣c）（b﹣c） C．ab D．ac+bc【分析】利用平移思想，阴影部分面积为长（a﹣c），宽（b﹣c）的长方形面积，据此列出代数式即可．【解答】解：由平移，可得，如图：∴S阴影＝（a﹣c）（b﹣c），故选：B．二．填空题（共5小题）6．如果（x+3）（x﹣4）＝x2﹣kx﹣12成立，则k的值为1．【分析】利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．【解答】解：∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣kx﹣12，∴x2﹣x﹣12＝x2﹣kx﹣12，∴k＝1．故答案为：1．7．对于实数a，b，c，d，规定一种运算abcd=ad﹣bc，如102(-2)=1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当(x+1)【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，利用多项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简合并即可求出x的值．【解答】解：∵(x+1)(x+2)(x-3)∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27，∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27，∴x＝22；故答案为：22．8．已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，p，q均为正整数，则m的可能值有5个．【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵p，q均为正整数，∴m为正整数，∴36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝4×9，则p+q＝13，36＝6×6，则p+q＝12，∴m的可能值有5个．故答案为：5．9．若（5x﹣3b）（ax+1）＝20x2﹣7x﹣c，则（a+c）b＝7．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行求解．【解答】解：∵（5x﹣3b）（ax+1）＝5ax2+（5﹣3ab）x﹣3b，∴5a＝20，5﹣3ab＝﹣7，﹣3b＝﹣c，解得a＝4，b＝1，c＝3，∴（a+c）b＝（4+3）1＝71＝7，故答案为：7．10．如图，请根据图中标的数据，计算大长方形的面积．通过面积不同的计算方法，可以得到的等式关系是：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2．【分析】通过长方形的面积的不同计算方法得结论．【解答】解：∵大长方形的长为：a+b+b+a+a＝（3a+2b），宽为（a+b），∴大长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）．∵大长方形的面积为：a2+ab+ab+b2+ab+b2+a2+ab+a2+ab＝3a2+5ab+2b2．∴（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2．故答案为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2．三．解答题（共6小题）11．计算：（x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣5）（x+2）．【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可．【解答】解：原式＝2x2+x﹣2x﹣1﹣（x2﹣3x﹣10）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣x2+3x+10＝x2+2x+9．12．已知：﹣x2y1+a与xby2是同类项．（1）求a、b的值；（2）计算a3+b3和（a+b）（a2﹣ab+b2）的值．【分析】（1）根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此求解即可；（2）根据（1）所求，代值计算即可．【解答】解：（1）∵﹣x2y1+a与xby2是同类项，∴b=21+a=2∴a=1b=2（2）由（1）得a=1b=2∴a3+b3＝13+23＝1+8＝9，（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（1+2）×（12﹣1×2+22）＝3×3＝9．13．在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．14．如图，某小区有一块长为（2a+4b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费200元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得出答案；（2）先求出该队需要多少小时绿化完，再乘以每小时的费用即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）＝4a2+6ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2＝（14ab﹣8b2）平方米，答：绿化的面积是（14ab﹣8b2）平方米；（2）根据题意得：（14ab﹣8