广东省佛山市顺德区龙江镇2024年中考数学模拟试题含解析

广东省佛山市顺德区龙江镇2024年中考数学模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到

结果如下表所示：

成蟆/分3637383940

人数/人12142

下列说法正确的是（）

A.这10名同学体育成绩的中位数为38分

B.这10名同学体育成绩的平均数为38分

C.这10名同学体育成绩的众数为39分

D.这10名同学体育成绩的方差为2

2.已知点A、B、C是直径为6cm的。O上的点，且AB=3cm,AC=3&cm,则NBAC的度数为（）

A.15°B.75°或15°C.105°或15°D.75°

或105°

3.如图，已知AE垂直于NABC的平分线于点。，交BC于点,E，CE=^BC,若AABC的面积为1,则△C0E的

11

C.一D.—

810

4.如图，将△A3C沿着。E剪成一个小三角形AOE和一个四边形沙砂CB,^DE//BC,四边形各边的长度

如图所示，则剪出的小三角形AOE应是（）

AA

5C514C

A.B.C.9个$D.6个、^

61-JJ-66

5.若正六边形的边长为6,则其外接圆半径为（）

A.3B.372C.373D.6

6.纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米,那么用科学记数法表示该种花粉

的直径为（）

A.3.5x104米B.3.5义1。7米c.3.5义10一米D3.5x10-9米

7.已知关于x的方程好+3工+〃=0有一个根为-2,则另一个根为（)

A.5B.-1C.2D-5

8.图为一根圆柱形的空心钢管，它的主视图是（）

0

a

nB0C©°

9.如图，在△ABC中,NC=9（F,NB=30o,AD是4ABC的角平分线,DE」-AB,垂足为点E,DE=1,则BC=()

AEB

A.&B,2C.3D6+2

10.如图，在AABC中，点D为AC边上一点，ZDBC=ZA,BC=血,AC=3则CD的长为()

/B

12

A.1B.-C.2D

22

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图所示，P为Na的边OA上一点，且P点的坐标为（3,4）,0!|sina+cosa=.

12.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则

所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.

(以上材料来源于《古证复原的原则》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)

请根据上图完成这个推论的证明过程.

证明：S矩形NFGD=SAADC-(SAANF+SAFGC),

S矩形EBMF=SAABC—(+)・

易知，SAADC=SAABC,—,=・

可得s矩形NFGD=S矩形EBMF・

13.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2,点A(-3,0),B(0,6)分别在x轴，y轴上,

反比例函数y=&(x>0)的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为

x

14.如图，点M、N分别在NAOB的边OA、OB上，将NAOB沿直线MN翻折，设点O落在点P处，如果当OM=4,

ON=3时，点O、P的距离为4,那么折痕MN的长为.

P

15.如图，5。是。。的直径，NCAD=30。，则NA的度数为

B

16.在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=那么点C叫做线段AB的黄

ABAC

金分割点.若点P是线段MN的黄金分割点，当MN=1时，PM的长是

17.阅读下面材料：

在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：NAC3是△A3C的一个内角.

求作：

小明的做法如下：

如图

①作线段AB的垂直平分线四

②作线段BC的垂直平分线n,与直线m交于点0；

③以点0为圆心，OA为半径作小ABC的外接圆；

④在弧AC3上取一点P,连结AP,BP.

所以NAP5=NACB.

老师说：“小明的作法正确.”

请回答：

(1)点。为ZkABC外接圆圆心(即04=03=00的依据是；

(2)NAP5=NAC5的依据是.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC

的顶点A、C的坐标分别为(-4,5),(-1,3).

请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；请作出AABC关于y轴对称的AA'6'C'；

点8,的坐标为.AABC的面积为.

19.（5分）画出二次函数y=（x-的图象.

20.（8分）某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏，A型灯每盏进价为30元，售价为45元；B型台灯每

盏进价为50元，售价为70元.

（1）若商场预计进货款为3500元，求A型、B型节能灯各购进多少盏?

根据题意，先填写下表，再完成本问解答：

型号A型B型

购进数量（盏）X—

购买费用（元）——

（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利

最多？此时利润为多少元？

113

21.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-§x+2的图象交x轴于点P,二次函数y=-5X2+5X+/”的

图象与x轴的交点为（不，0）、（X2,0）,且1：+々2=17

（1）求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标.

131

（2）若二次函数y=-+不X+?〃的图象与一次函数》=-]x+2的图象交于A、B两点（点A在点3的左侧），在

x轴上是否存在点V,使得是以N43M为直角的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

3

22.（10分）如图，在△ABC中，BC=12,tanA=—,ZB=30°；求AC和A3的长.

4

B

23.(12分)给出如下定义：对于。O的弦MN和。O外一点P(M,O,N三点不共线，且点P,O在直线MN的异

侧)，当NMPN+NMON=180。时，则称点P是线段MN关于点O的关联点.图1是点P为线段MN关于点O的关

联点的示意图.

在平面直角坐标系xOy中，OO的半径为1.

(1)如图2,已知M(巫，走)，N(也，-42),在A(1,0),B(1,1),C(、回，0)三点中，是线段

2222

MN关于点O的关联点的是；

(2)如图3,M(0,1),N(且，--),点D是线段MN关于点O的关联点.

22

①NMDN的大小为；

②在第一象限内有一点E(Qm,m),点E是线段MN关于点。的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E

的坐标；

③点F在直线y=--x+2上，当NMFNNNMDN时，求点F的横坐标x的取值范围.

03

24.(14分)如图，在△ABC中，ZC=90°,以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别

交AC、AB于点E、F.

(1)若NB=30。，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形.

(2)若AC=6,AB=10,连结AD,求。O的半径和AD的长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

试题分析：10名学生的体育成绩中39分出现的次数最多，众数为39；

第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：:1二=39；

方差=-[(36-38.4)2+2X(37-38.4)2+(38-38.4)2+4x(39-38.4)2+2x(40-38.4)2]=1.64；

10

，选项A,B、D错误；

故选C.

考点：方差；加权平均数；中位数；众数.

2、C

【解析】

解：如图1.；4。为直径,AZABD=ZACD^90°.在RtAABD中,AD=6,AB=3,则/BZM=30。，ZBAZ)=60°.在

中，AZ>=6,AC=3y/2,ZCAD=45°,则NBAC=105°；

如图2,.为直径，ZABD=ZABC=9d°.在RtAABD中，4。=6,AB=3,贝!|NBZM=30°,ZBAD=6O°.在RtAABC

中，AO=6,AC=3正，NCAZ)=45°,则NR4c=15°.故选C.

点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是

解题的关键，注意分情况讨论思想的运用.

3、B

【解析】

先证明AABD也4EBD,从而可得AD=DE,然后先求得△AEC的面积，继而可得到ACDE的面积.

【详解】

VBD平分NABC,

:.ZABD=ZEBD,

VAE±BD,

/.ZADB=ZEDB=90°,

又；BD=BD,

/.△ABD^AEBD,

；.AD=ED,

VCE=-BC,AABC的面积为1,

3

11

••SAAEC=—SAABC=—，

33

又；AD=ED,

.11

:.SACDE=—SAAEC=­t

26

故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积之比等于底边长度之比是解题的关键.

4、C

【解析】

利用相似三角形的性质即可判断.

【详解】

设AD=x,AE=y,

,JDE//BC,

：.AADEsAABC,

.AD_AEDE

,,耘一就一瓦’

•%-；6

**x+12y+1614'

.\x=9,y=12,

故选：c.

【点睛】

考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5,D

【解析】

连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边

形的外接圆半径.

【详解】

如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，

，ZAOF=10°,VOA=OF,AAOF是等边三角形，/.OA=AF=1.

0

所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为i.

故选D.

【点睛】

本题考查了正六边形的外接圆的知识，解题的关键是画出图形，找出线段之间的关系.

6、C

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axnr,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

35000纳米=35000x10-9米=3.5x10-5米.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axW,其中代同＜10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

7、B

【解析】

根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，

本题得以解决.

【详解】

・•,关于X的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,设另一个根为m,

解得，m=-l,

故选B.

8、B

【解析】

试题解析：从正面看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，

故选B.

9、C

【解析】

试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=L根据RtAADE可得AD=2DE=2,根据题意可得△ADB为等腰三角

形，贝（1DE为AB的中垂线，贝！］BD=AD=2,贝!JBC=CD+BD=1+2=1.

考点：角平分线的性质和中垂线的性质.

10、C

【解析】

CD46

根据NDBC=NA,ZC=ZC,判定△BCDs/\ACB,根据相似三角形对应边的比相等得到代入求值即可.

76

【详解】

VZDBC=ZA,ZC=ZC,

/.△BCD^AACB,

.CDBC

••--,

BCAC

.CD_y[6

ACD=2.

故选:C.

【点睛】

主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

【解析】

根据正弦和余弦的概念求解.

【详解】

解：；P是Na的边OA上一点，且P点坐标为(3,4),

.•.PB=4,OB=3,OP=,JpB2+OB2=732+42=5,

dPB4OB3

故sina=-----=—,cosa=-----二一,

OP5OP5

7

:.sina+cosa=—,

5

7

故答案为不

【点睛】

此题考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是找出所求角的对应边.

12、SAAEFSAFMCSAANFSAAEFSAFGCSAFMC

【解析】

根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论.

【详解】

S矩形NFGD=ShADC-(SAANF+SAFGC)，S矩形EBMF=SAABC-(SAANF+SAbCM)・

易知，SAADC=SAABCfSAANF=SAAEF9SAFGS&FMC，

可得S«NFGD=S矩形

故答案分别为SAAEF,SAFCM>SAANF,SAAEF,SAFGC>SAFMC.

【点睛】

本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题

型.

13、(-2,7).

【解析】

解：过点。作。歹，x轴于点尸，则NAO3=NOE4=90。，

：.ZOAB+ZABO=90°,

•・•四边形A5CD是矩形，

：.ZBAD=90°fAD=BC9

:.ZOAB+ZDAF=9Q°,

：.ZABO=ZDAF9

/\AOB^ADFA9

：.OAzDF=OB：AF=AB：AD,

*：AB：BC=3：2,点A(-3,0),B(0,6),

：.AB：AD=3z2,04=3,OB=6f

：.DF=2,AF=4,

・•・OF=OA+AF=79

・••点刃的坐标为:(-7,2),

14

・・・反比例函数的解析式为：y=-—①，点。的坐标为：-（4,8).

X

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

b=6

则《解得:

_4k+b=8

b=6

二直线8c的解析式为：尸-Jx+6②,

xy==-72或1fxy==1-4i

联立①②得:（舍去）,

点E的坐标为：（-2,7）.

故答案为（-2,7）.

14、2y/3-y/5

【解析】

由折叠的性质可得MNLOP,EO=EP=2,由勾股定理可求ME,NE的长，即可求MN的长.

【详解】

设MN与OP交于点E,

•••点O、P的距离为4,

AOP=4

•••折叠

.\MN±OP,EO=EP=2,

在RtAOME中，ME=7（9M2-（9£2=273

在RtAONE中，NE=qoM-OE，=非

：.MN=ME-NE=2班-小

故答案为26-君

【点睛】

本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键.

15、60°

【解析】

解：；BD是。。的直径，

，NBCD=90。（直径所对的圆周角是直角），

VZCBD=30°,

.\ZD=60o（直角三角形的两个锐角互余），

•••/A=ND=60。（同弧所对的圆周角相等）；

故答案是：60。

16、有T

2

【解析】

设PM=x,根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可.

【详解】

设PM=x,则PN=Lx,

-PMPNgx1-x

由----二----得，一二----，

MNPM1x

化简得：x2+x-l=0,

解得：刈=避二i,X2=miu（负值舍去）,

22

所以PM的长为.

2

【点睛】

本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AOBC）,且使AC是AB和BC的比例

中项，叫做把线段AB黄金分割.

17、①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换同弧所对的圆周角相等

【解析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论.

（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论.

【详解】

（1）如图2中，

C

TMN垂直平分AB,EF垂直平分BC,

.*.OA=OB,OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），

.\OA=OB=OC（等量代换）

故答案是：

（2）AB=AB，

：.ZAPB=ZACB（同弧所对的圆周角相等）.

故答案是：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；（2）同弧所对的圆

周角相等.

【点睛】

考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)见解析；(2)见解析；(3)B'(2,l)；(4)4.

【解析】

(1)根据C点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可；

(2)首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可;

(3)根据点B'在坐标系中的位置写出其坐标即可

(4)利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可.

【详解】

解：⑴如图所示:

(2)如图所示：

(3)结合图形可得：B'(2,l)；

(4)S3c=3义4一;x2x3-gxlx2—gx2x4=12-3-1-4=4.

【点睛】

此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置.

19、见解析

【解析】

首先可得顶点坐标为(1,0),然后利用对称性列表，再描点，连线，即可作出该函数的图象.

【详解】

列表得：

X・・・-10123・・・

y・・・41014・・・

如图:

VA

【点睛】

此题考查了二次函数的图象.注意确定此二次函数的顶点坐标是关键.

20、(1)30x,y,50y；(2)商场购进A型台灯2盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875

元.

【解析】

(1)设商场应购进A型台灯x盏，表示出8型台灯为y盏，然后根据“4,3两种新型节能台灯共100盏”、“进货款

=A型台灯的进货款+5型台灯的进货款”列出方程组求解即可；

(2)设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根

据一次函数的增减性求出获利的最大值.

【详解】

解：(1)设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为y盏，根据题意得：

龙+y=100

130x+50y=3500

"75

解得：〈cu-

[y=25

答：应购进A型台灯75盏，5型台灯2盏.

故答案为30x；y；50j；

(2)设商场应购进A型台灯x盏，销售完这批台灯可获利j元，则(45-30)x+(70-50)(100-x)=15x+l-20x=

-5x+l,即y=-5x+l.

型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，.•.100-W3x,...应2.

'：k=-5<0,y随x的增大而减小，.♦.x=2时，y取得最大值，为-5x2+1=1875(元).

答：商场购进A型台灯2盏，5型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，(2)

题中理清题目数量关系并列式求出X的取值范围是解题的关键.

1332532592

21-,（1）y=--X2H—x+2=（x--）2H---,顶点坐标为（一，—）；（2）存在，点M（—，0）.理由见解析.

22282827

【解析】

（1）由根与系数的关系，结合已知条件可得9+4机=17,解方程求得m的值，即可得求得二次函数的解析式，再求得

该二次函数图象的顶点的坐标即可；（2）存在，将抛物线表达式和一次函数y=-gx+2联立并解得x=0或?，即可

得点A、3的坐标为（0,2）,（―,由此求得尸8=攻3,4尸=2师，过点5作交x轴于点M,

399

&Pop7092

证得△APOs△MP3,根据相似三角形的性质可得±二=—,代入数据即可求得MP=一，再求得OM=一，

MPPBT1T1

92

即可得点M的坐标为（一，0）.

27

【详解】

（1）由题意得：X1+X2=3,X1X2=-2m,

XI2+X22=（xi+xz）2-2x1X2=17,即：9+4m=17,

解得：m=2,

13325

抛物线的表达式为：y=--X2+-X+2=（x--）2+—,

2228

顶点坐标为（士3，—25）；

28

（2）存在，理由：

将抛物线表达式和一次函数y=-gx+2联立并解得：x=0或?，

_117

.,.点A、5的坐标为（0,2）、（—,一）,

39

一次函数7=-gx+2与x轴的交点P的坐标为（6,0）,

117

,点P的坐标为（6,0）,8的坐标为（一，一），点5的坐标为（0,2）、

39

PB=1（11-6）2+（--0）2二，

V399

AP=J&+安=2回

过点B作BM±AB交x轴于点M,

VZMBP^ZAOP^90°,ZMPB^ZAPO,

：.AAPO^/\MPB,

2而6

.APOP

二MP而,

"MP-PB7

9

70

：.MP

27

7092

:.OM=OP-MP=6------=—

2727

**•点M(—>0).

27

【点睛】

本题是一道二次函数的综合题，一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的较大坐标.相似三角形的判定与性质,

题目较为综合，有一定的难度，解决第二问的关键是求得PB、AP的长，再利用相似三角形的性质解决问题.

22、8+6-y/3•

【解析】

如图作于77.在RtABHC求出CH、BH,在RtAACH中求出A"、AC即可解决问题;

【详解】

解：如图作于H.

在RtABCH中，'：BC=12,ZB=30°,

1,----「

：.CH=-BC=6,BH=yjBC2-CH2=673»

*上3CH

在RtAACH中，tanA=—=-----,

4AH

：.AH=8,

S]AH2+CH2=10»

【点睛】

本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于

中考常考题型.

23、(1)C；(2)①60；②E(6，1)；③点F的横坐标x的取值范围走金诏君.

2

【解析】

(1)由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心，巫为半径的圆上，所以点C满足条件；

2

(2)①如图3-1中，作NHJ_x轴于H.求出NMON的大小即可解决问题；

②如图3-2中，结论：4MNE是等边三角形.由NMON+NMEN=180。，推出M、O、N、E四点共圆，可得

ZMNE=ZMOE=60°,由此即可解决问题；

③如图3-3中，由②可知，AMNE是等边三角形，作AMNE的外接圆。O，，首先证明点E在直线y=-1x+2上，设

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直线交。O,于E、F,可得F(且，-),观察