广东省湛江市2024届普通高考第二次模拟测试数学试卷(含答案)

广东省湛江市2024届普通高考第二次模拟测试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合4={2<国<4},B={x\x>-2\,则AB=()

A.(1,4)B.(-l,O)_(O,4)C.(-2,4)D.(-2,-l)(1,4)

2.如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台(设上、下

底面的半径分别为。厘米，6厘米，高为c厘米)，则该青铜器的容积约为(取兀=3)()

人.《片+觉+片)立方厘米：8.(片一函+〃)立方厘米

C.c(4+必+/)立方厘米D.c(/-必+〃)立方厘米

3.函数/(x)=4sin15x-在0,y上的值域为()

A.[—2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3,4]D.[-2百,2]

4.若复数z=(2x+M)(2x—4yi)(x,yeR)的实部为4,则点(x,y)的轨迹是()

A.直径为2的圆B.实轴长为2的双曲线

C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线

2

5.已知(1—2x)=%…，则%+〃7.=()

i=2

A.-2B.-19C.15D.17

6.当x>0,y>0时，X~^y>y/xy,这个基本不等式可以推广为当羽y>0时，

+其中2+"=1且；1>0,〃>0,考虑取等号的条件，进而可得当兀。丁

时，2x+jLiy«.用这个式子估计可以这样操作：102x92xl0+—x9=一,

222

则祈。1233.167.用这样的方法，可得病的近似值为()

6

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

7.已知函数〃x)=|2*—1|—a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则()

A.当g(x)有2个零点时,/(x)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时,/(无)有2个零点

C.当/(无)有2个零点时,g(x)有2个零点

D.当/(尤)有2个零点时,g(x)有4个零点

8.在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，以，底面ABCD,ZABD=6Q°,

PB,PC与底面ABC。所成的角分别为c,B,且1+尸=45。，则——=()

AB

A717-2n717-3„A/15-2_V15-3

2222

二、多项选择题

9.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则()

A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万

B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势

C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万

D.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万

10.已知函数〃无)的定义域为R,/(x)不恒为零，且

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),则()

A./(O)=l为偶函数

C./在％=0处取得极小值D.若=0,则〃尤)=/(x+4a)

11.下列命题为真命题的是()

A.-\/%2—4%—8A/—%+4+|%—1|的最小值是2

B.JX2-4x-8j-x+4+|x—1|的最小值是A/5

C.6-4尤-8二+4+2*-4口+2的最小值是应

D.&-4X-8口+4+&—2x-4口+2的最小值是百

三、双空题

12.若向量a=(—3,—1),/?=(%,尤一6),a//b,贝1]x=,

log-J3x=.

四、填空题

13.财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志

性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦

的一个最高点A,点A在大厦底部的射影为点。，两个测量基点5,C与。在同一水

平面上，他测得5C=102s■米，ZBOC=120°,在点3处测得点A的仰角为

e(tan6=2),在点C处测得点A的仰角为45。，则财富汇大厦的高度

0A=__________，米.

14.已知不工是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|P£「=19|P闾2,则。

的离心率的取值范围是.

五、解答题

15.甲、乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲

2

每局赢的概率均为且每局的胜负相互独立.

⑴求该比赛三局定胜负的概率；

(2)在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为X,求X的分布列与数学期

望.

16.如图，在直三棱柱ABC—a31cl中，AC=4G=3,44=4夜，。为A片的中

点.

(1)证明：用。〃平面AG。；

(2)若以ABi为直径的球的表面积为4871,求二面角C-AD-C的余弦值.

17.在〃个数码1,2,3,〃之2)构成的一个排列//…，”中，若一个较

大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如上〉/；，则L与八构成

逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为/…力)，例

如，7(312)=2.

⑴计算7(51243);

(2)设数列｛4｝满足%+i=a“1(51243)—7(3412),%=2,求｛4｝的通项公式；

(3)设排列jj…jn(72eN,«>2)满足/=〃+1-通=1,2,…,bn=T(J1J2…j"),

S----1----1----1-----,求.

瓦b.bll+1

22

18.双曲线C：,-1=1(。〉0力〉0)上一点。(6,右)到左、右焦点的距离之差为6.

⑴求C的方程；

⑵已知A(-3,0),3(3,0),过点(5,0)的直线/与C交于M,N(异于A,3)两点，直线

MA与NB交千点、P,试问点P到直线k=-2的距离是否为定值?若是，求出该定值；若

不是，请说明理由.

19.已知函数/(x)=e"+xlnx.

⑴求曲线y=/(可在点(I"⑴)处的切线方程；

(2)若〃>0,b>0,且。2+匕2=],证明：/(6z)+/(Z?)<e+l.

参考答案

1.答案：D

解析：因为A=(T,—1)(1,4),所以A5=(—2,—1)1(1,4).

2.答案：C

解析：该青铜器的容积约为三。(/+仍+/)={/+油+/)立方厘米.

3.答案：B

解析：因为X/。二］,所以5x—巴』—二型］,所以故

5J6L66J16jL2_

/(x)=4sin15x由在0个上的值域为［-2,4］.

4.答案：A

解析：因为(2x+M)(2x—4yi)=4炉+4y2—6以，IU4x2+4y2=4,IPx2+y2=L所

以点(匹y)的轨迹是直径为2的圆.

5.答案：D

解析：令％=1,得Qo+q+Qz"1--H为=-1.因为q=(—2)xCg=—18,所以

9

ao+^ai=-1-(-18)=17.

2

6.答案：C

j_2］Qon

解析：28^x273»-x28+-x27=—,则逐土一23.037.

33327

7.答案：D

解析：作出y=|2-1|,y=V-4国+2的大致图象，如图所示.由图可知，当g(x)有2

个零点时，/(可无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，/(无)只有1个零

点；当/(无)有2个零点时，g(x)有4个零点.

8.答案：B

解析：设=PA=b,因为NAfiD=60。，所以AC=BD=2a,所以

bb

tana=tanZPBA=—,tanp=tanZ.PCA=一.因为a+/?=45°,所以

a2a

bb

tan（i+£）=tano+tan£=4：怨=1）解得2=姮二1（负根已舍去）.

、71-tancrtan^a2

a2a

解析：由图可知，B错误.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的

顺序排列为698.12,703.09,703.54,730.50,732.20,736.00,则极差为736-

698.12仪38万，6x0.6=36所以第60百分位数为730.50万，中位数为

703.54+730.50万”…七.八一年十母

-------------------=717.02万，A,C,D均正确.

2

10.答案：ABD

解析：令x=y=0,得2/(0)=2[7(0)]，解得〃0)=0或/⑼=1,当“0)=0时，

令y=0,贝U2/(x)=2/(x)/(O),则/(尤)=0,这与/(九)不恒为零矛盾，所以

/(0)=1,A正确.

令光=0,贝iJ/(0+y)+〃0—y)=2/(y)/■⑼，即7•&)=/(—#,/(尤)为偶函数，B

正确.

取/(x)=cosx,满足题意，此时光=0不是/(x)的极小值点，C错误.

令y=a,得/(%+〃)+/(兄一.)=2/(%)/(〃)，若/(a)=0,贝！J/(%+〃)=-/(%-〃)，

贝U/(%)=—/(%+2a)，贝【J/(x+4tz)=—/(x+2tz)=/(%),D正确.

11.答案：BC

解析：设A(0,2),B(-l,l),尸(-1,0),P(x,VZ4^),易知点P的轨迹是抛物线

V=—4x的上半部分，抛物线V=_4x的准线为直线x=l,P到准线的距离d=|尤-小

R为抛物线丁=_4%的焦点：

所以y]x*2*4-4X-8A/-X+4+|x-l|=yjx2+(jTx-2)+d

=|/M|+tZ=|B4|+|PF|>|AF|=V5,

所以Jx?-4x-84金+i+|x-1|的最小值为卡,A错误，B正确.

—4%—8'\/—x+4+Jx2-2x-4y-x+2

=^%2+(7^-2)2+Ja+lp+p^—=\PA\+\PB\>\AB\=42,

所以6—4-8Q+4+6—2x—4右+2的最小值是正,C正确，D错误.

12.答案：9；-4

解析：因为〃〃b,所以一3(%—6)+%=0,解得x=9,所以log有％=log有9=-4.

TT

13.答案：204

r)A

解析：设Q4=〃米，因为在点3处测得点A的仰角为e(tan8=2),所以潟=2,则

08=▲〃米.因为在点。处测得点A的仰角为45。，所以OC=/i米.由余弦定理，得

2

117

BC2=OB'+OC2-2OB-OCcosZBOC,BP1022x7=-/:2+/z2+-/z2=-/i2,解得

424

〃=204.

14.答案：[10-M1

L9J

解析：因为|P£「=19归阊2,所以|「司=屈|尸阊,

/.—、（719-1）^

则2。=|尸用+户鸟|=（晒+1）|尸用，所以卢阊=1—-J—^a-c.a+c],

则八子又。<e<l,所以C的离心率的取值范围是io-M'

15.答案：（1）；

（2）X的分布列为

X234

P412

939

解析：（1）该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢,

则该比赛三局定胜负的概率为[g]+（1—1]=1-

（2）X的可能取值为2,3,4,

2

P（X=2）

P（X=3）=C；

P（X=4）=C；

则X的分布列为

X234

P412

939

-4cl,225

故E（X）=2x—+3x—+4x—=—

9399

16.答案：（1）见解析

⑵告

解析：（1）证明：连接4。交AC|于点E,

则E为4。的中点，

因为。为A片的中点，所以DE〃6C,

又DEu平面ACQ,^。仁在平面从。］。，

所以BQ〃平面ACQ.

（2）因为AG=4G，。为4片的中点，所以4片,

且CQ=,32_（20『=1.

因为以A耳为直径的球的表面积为48兀，

所以4兀x二48兀，

解得朋=4.

以。为坐标原点，DC1的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则0（0,0,0）,q（0,1,0）,«260,4%C（0,l,4）,

设平面ACQ的法向量为加=（无,y,z）,DQ=（0,1,0）,DA=（-272,0,4）,

则“DG=y=。，

m-DA=-2A/2X+4z=0,

令z=l,得加=（女,0,1）.

设平面ACD的法向量为n=（x',y',/）,DC=（0,1,4）,

ri-DC=y'+42'=0,

则

n-DA=-2yl2x'+4z'=0,

令z，=l,得"=

rpi>L/\rn-n3历

因为cos(min)—-；-ri-r=—j=—T==---,

'/|m||n|AM19

且由图可知，二面角C-AD-£为锐角,

所以二面角C-AD-£的余弦值为叵.

119

17.答案：(1)5

(2)4=5"T+1

⑶S'=三

n+1

解析：(1)在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构

成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，

所以7(51243)=4+0+0+1+0=5.

(2)由(1)中的方法，同理可得7(3412)=4,

所以4+i=54-4，设q+1+4=5(%+孙

得%=5%+44,所以42=-4，解得二二一1,则=

因为4-1=1,所以数列｛q-1｝是首项为1,公比为5的等比数列,

所以4—1=5"-'贝l]a〃=5"T+L

(3)因为jj=n+l-z(z=1,2,---,H),

n—ljn

所以2"(jj…))=〃T+"2+…+1+0=

~2-

2

所以」-==2|--—

%n+l^n1n〃+T-4

匚匚2ccL111112n

所以S=21-----1--------1-----1-----------

〃(223nn+1n+1

18.答案：(1)C的方程为今一丁=1.

2a-6,

解析：(1)依题意可得62

解得a=3,b?=1,

故C的方程为>2=1.

(2)由题意可得直线I的斜率不为0,设/的方程为x=my+5,

设〃(%,%),N(x2,y2),

x=my+5,

联立X221得(苏—9)/+10my+16=0

—y=1,

[9'

16

则加2—9/0，%+%=,

m-9m2-9

直线AM：y=^^(x+3),直线BN：y=—3),

苞+3X、—3

联立y=—(x+3)与y=f(x-3)

%]+3%2—3

消去y得

x+3=%(石+3)=%。盯i+8)=7孙%+8%=7孙%+8(%+%)-8%

x—3乂(%-3)%。盯2+2)myly2+2ylmyly2+2y]

16m80m64mc

…一小一也

m—9

16m16m-

+2%

m2—9m—9

99

解得X所以点P在定直线X、上.

因为直线x=gQ与直线x=-2之间的距离为10

所以点P到直线x=-2的距离为定值，且定值为十.

19.答案：(l)(e+l)x-y-l=0

(2)见解析

解析：⑴由/'(X)=e*+xlnx,得/<x)=e*+lnx+l,

则/⑴=e,r(l)=e+l.

故曲线y=/(x)在点(1,7⑴)处的切线方程为y-e=(e+l)(x-l),即(e+l)x-y-l=O.

(2)证明：由〃>0,b>0,且〃2+/=1,不妨设a=cosx,b=sinx,,

则证明+<e+l等价于证明/(cos%)+/(sin%)<e+l,

即证ecosx+cosx-In(cosx