2024届广东省肇庆市高三年级上册第二次教学质量检测数学试题含答案

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肇庆市2024届高中毕业班第二次教学质量检测

数学

本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改

液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1.已知z=&，且21=3-i,z2=2-i,则|z|=

A.2B.C.1D.孝

2.已知集合A=|彳|#一3*+2N0,xeZ},B=\y\|y|^2,yeN},贝=

A.!0,1|B,JI,2|

c.10,1,2}D.{-2,-1,0,1,2(

3.已知e1，e?是单位向量，且它们的夹角是60。.若a=e1+2e?,b=Xet-e2,且a\=

\b\,则入=

A.2B.-2C.2或-3D.3或-2

4.为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样

本，其中男性约占51%、女性约占49%,统计计算样本中男性的平均身高为175cm,女

性的平均身高为165cm,则样本中全体人员的平均身高约为

A.166cmB.168cmC.170cmD.172cm

32

5.已知。=1.()产2,ft=o.52',c=log0523.2,贝ij

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

SS

6.已知数列la,J是等差数列，S“是它的前w项和，%=2,常=11,则瑞=

A.100B.101C.110D.120

高三•数学第1页(共4页)

7.已知双曲线E：=1，则过点（2,6）与E有且只有一个公共点的直线共有

A.4条B.3条C.2条D.1条

8.在△48C中，若A>8,则下列结论婚性的是

A.4+sinA>B+sinBB.sinA+cosB>sinB+cosA

C.sinA+cosA>sinB+cosBD.4+sinB>B+sinA

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知曲线C的方程为贮+4=1,则

a3

A.当〃<0时，曲线C表示双曲线

B.当0<a<3时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

C.当〃=3时，曲线C表示圆

D.当”>3时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆

10.若△48C的三个内角4,B,C的正弦值为sin4,sinB,sinC,贝lj

A.sinA,sin8,sinC一定能构成三角形的三条边

B.」二，」方，一定能构成三角形的三条边

C.sin2A,sin2B,sin2c一定能构成三角形的三条边

D./sinA,/sinB,下一•定能构成三角形的三条边

11.已知3六0,函数/(欠)=sina)x+g-sin(a)x-碧)，xeR,若/(%)在区间

(信，答)上单调递增，则。的可能取值为

A.-1B.aC.2D.4

12.定义在R上的函数/(x)同时满足①/U+l)-f(x)=2x+2,xeR；②当彳e[0,1]时,

l/(x)l«l,则

A./(0)=-1

B./(#)为偶函数

C.存在neN*,使得f(〃)>2023n

D.对任意*wR,1/(%)|<J+|%|+3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

/9\6

13.在仔-£)的展开式中，/的系数为.

14.抛物线y=pf的焦点坐标为(0,2),则p的值为.

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15.小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取

2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是.

16.在四面体尸-ABC中，BP1PC,484c=60。，若5c=2,则四面体P-A8C体积的最大

值是,它的外接球表面积的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知数列I满足a„=2",数列|b„\满足6“=%”+1,记«„为数列｛b„｝的前n项和.

(1)是否存在人，使履为等比数列？若存在，求出所有满足条件的储若不存在，请

说明理由；

(2)求

18.(12分)

在△48C中，4。是484c的平分线，48=2,AD=1,4c=4,求:

(1)3。的长；

(2)448C的面积.

19.(12分)

如图，在三棱柱48C-48c中，平面4CG4，平面A8C,AB1AC,AB=AC,A4,=AtC.

(1)若“，/丫分别为46，BB、的中点，证明：MN〃平面4BC；

⑵当直线48与平面回64所成角的正弦值为《时，求平面48c与平面48c夹角

的余弦值.

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20.（12分）

已知函数/(x)=\nx-m+"(meR).

(1)求/(彳)的极值；

(2)对任意xe(0,1),不等式/(x)>恒成立，求加的取值范围.

e

21.(12分)

已知6、匕分别是椭圆c：4+旨=1(。>/>>0)的左、右焦点，点尸(乙,%)在C上.

ab

⑴证明：|P^I(其中e为C的离心率);

(2)当。=5,6=/适时，是否存在过点外的直线/与C交于4(町，%),B(X2,打)两

117

点，其中9>0,x2<0,使得不心+何口=3两成立？若存在，求出直线/的方程;

若不存在，请说明理由.

22.(12分)

某市12月的天气情况有晴天、下雨、阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天

气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为十,阴天的概率为

若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为:，阴天的概率为号；若第1天为阴天,

44o

则第2天晴天的概率为十，下雨的概率为上.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.

(1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；

(2)记心,叫，c”分别为该市12月第n(neN)天的天气情况为晴天、下雨和阴天的概

率，证明：I册+1为等比数列，并求出a„.

高三•数学第4页(共4页)

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答案及评分标准（参考）数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

题号12345678

答案BCDCABCC

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

题号9101112

答案ACADBCACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.6014./15.与16.号（2分）等（3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17.（10分）

解：（1）方法一：假设存在入，使I4-屋为等比数列，则至少满足泌“-A+的前3项成

等比数列.I4-川的前3项为匕-A=5-4，4-人=17-3%-A=65-入，…1分

则（5-八）（65-入）=（17-入厂，.............................................2分

解得入=1..............................................................................................................................3分

以下证明：当A=1时，电-1｝为等比数列.

由6=2m+1=4"+1,得6“-1=4"...............................................................................4分

b-1

因为尸r=4（">2）是非零常数，且儿-1=4,所以也-11为首项为4,公比为4的

等比数列.................................................................5分

方法二：猜想A=1时，!b,.-1!为等比数列..................................1分

由b.=a2„+l,得b„=22"+1=4"+1,故6.-1=4\.................................................3分

因为"二1=4（心2）是非零常数，且4-1=4,所以也-11为首项为4,公比为4的

等比数列.................................................................5分

（2）由（1）得%-1=4”,所以力=4"+1,..........................................................................6分

4n+1-4

—3+10分

18.（12分）

方法一：解：（1）设乙^^=2氏则48/1。=

由〃丽=S&w+Sac“，得/48YZ）sine+/4CT〃sin0=/48・4Csin20，…1分

高三•数学答案及评分标准（参考）第1页（共7页）

1I1/3

所以kx2xlxsin^+—x4x1xsin0=—x2x4xsin26,得cosJ二？,3分

222o

45(BD1=AB2+AD--2AB-ADcos0=22+I2-2x1x2=.................5分

o2

所以BD=多..............................................................6分

(2)因为cos0=_g-»所以sin0=/1-cos20=...............8分

所以sin2。=2singeos。=2x言二注............................10分

oo32

所以小c=fl8•4Csin2e=/x2x4x^|^=¥^......................12分

方法二：（1）证明：由角平分线定理知普=生=等=；,不妨设8。=%，则OC=2*.

zlLJy.j42.

..........................................................................2分

由/B4D=Z,C4O可知cosZ.BW=cosZ.C4O,..................................3分

2

即I：；；/J噌二了1解得、=乎（负值舍去），即8"=小.......6分

(2)解：由(1)知5。=3%='―^—.

、,,4+16-

22

DO/i4B+AC-BC\2)23。八

在△45C中，cos乙班八24iC=-272^4—=一亚,............8分

所以SA4BC=•ACsin/_BAC=:x2x4x

...................12分

19.（12分）

方法一：（1）证明：如图，取4c的中点P,连接MP交4C于

点Q,连接08.

因为M是4G的中点，N是BB］的中点，

所以2N〃/L41〃PM,BN=QM,所以四边形MN5Q是平行四边

形，所以Q8〃MN.

又Q8C：平面48C,MN《平面48C,

所以,M/V〃平面48c...............................4分

（2）解：因为4B_L4C,平面4cL平面48C,平面ACG4m平面48c=4C,48U平

面ABC,所以48，平面434,所以直线与平面/忆6人所成的角为4/148,则

c2

sin/_AAXB=—.

不妨设48=4C=2,贝ij48=3,=5，连接CM.

高三•数学答案及评分标准（参考）第2页（共7页）

因为A4i=4C=CG,所以CM_L4G.

又平面ABC〃平面48,G,所以平面4CCM1。平面/Bi*,

且平面4CC14c平面481cl=4G，CMU平面4CG4,故CM,平面4181G.……6分

设81G的中点为E,连接ME,以M为坐标原点，加以MG,MC所在直线分别为工轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，

则4(0,-1,0),8(2,-2,2),C(0,0,2),山(2,-1,0),G(0,1,0),

故或=(2,-1,2),BC=(-2,2,0).

设平面48C的法向量为〃=(£,y,z),

r4]B,n=0,r2x-y+2z=0,

则一即，不妨取x=2,

[BC•n=0,I-2%+2y=0,

则有〃=(2,2,-1).

易知平面481G的一个法向量为，〃=(0,0,1).

设平面48c与平面48a的夹角为仇

贝I]cos。=|cos(m,n)|=--—='

m111/22+22+(

所以平面48c与平面4圈G夹角的余弦值为4...........................12分

方法二：(1)证明：取4C的中点心连接儿£,易知儿

因为平面4CG4_L平面48C,且平面4CCHn平面48c=4C,

&EU平面4CG4,所以4EJ■平面4BC,即4速」平面..............2分

以4为坐标原点，4当，4G,4也所在直线分别为彳轴、：r轴、z轴建立空间直角坐标

系，如图.

因为48U平面A8C,

所以48_L平面4CG4,所以直线48与平面48出所成的

角为乙AAiB,则sin44418=仔.

不妨设A8=4C=2,贝ij4]B=3,A4,=\/5,

则4(0,0,0),8(2,-1,2),C(0,1,2),8,(2,0,0),

C,(0,2,0),.....................................4分

故元=(2,-1,2),4^=(0,1,2).

设平面48C的法向量为〃=(X，y,z),

r4,/?,n=0,r2x-y+2z=0,

则—>即，不妨取z=l,贝情”=(

[,4£•"=(),ly+2z=0,

又M(0,1,0),N(2,-y,1),故加=(2,-y,1),

可得谒•"=(),故而1”,即MN〃平面48c.............................6分

(2)解：易知平面4&G的一个法向量为机=(0,0,1),....................10分

设平面48c与平面4片匕的夹角为巴

高三•数学答案及评分标准(参考)第3页(共7页)

I・〃I_J_1

]m«l-/(-2)2+(-2)2+1-3，

所以平面48c与平面4”夹角的余弦值为十...........................12分

20.(12分)

解：⑴/⑷的定义域为(0,+8),广⑴=+-，=7%.

当mWO时，/'(彳)>0恒成立，此时/(x)单调递增，/(%)无极值；..............2分

当777〉0时，令/'(%)=0,得%二机.

故当％e(0,皿)时，/"(%)<0,/(%)单调递减；当%+8)时，/"(%)>0,/(%)单

调递增，此时，/(%)在％二m处取到极小值lnm-m+1,无极大值.............4分

xlnx+-

(2)方法一：对任意0〈支<1时，/(*)>-■5-恒成立，即m>-------卢恒成立.

ex-1

%lnx+—%-In%-1--

令g(%)=--------产，%e(0,1),贝Ijg'⑷=-—-[°'•

x-I(%-1)

^h(x)=x-\nx-\--9xe(O,1),贝*/(%)=T<0,即/2(%)在区间(0,1)上单

ex

调递减...................................................................6分

又仁)=0,

所以当％£(o,时,h(x)>0,Bpgf(x)>0,此时g(%)单调递增;

当％c(4,1)时，/“冗)<0,即g'(%)<0,此时以％)单调递减，..............8分

1I11

—In—H—y

所以g(x)2=g(+)=[(~~=~-...................................................................1。分

——1

e

所以机>:，即m的取值范围为(9，+00)............................................................12分

方法二：由(1)知/'(支)=一,

X

当mWO时，f(x)在区间(0,1)上单调递增.

因为/山=-1-m+me=(e-l)机-1<十，所以机W0不符合题意........6分

当。〈机<1时，当％£(0,加)时/(%)单调递减，当％£(m,1)时/(%)单调递增.

对任意0〈欠<1时，/(%)>恒成立，即/(%)min=lnzn-?n+1>,

ee

即Inm-m+1+—>0.

e

<vg(zn)=lnm-/n+l+—,mE.(0,1)

高三•数学答案及评分标准(参考)第4页(共7页)

g'（m）=--1=—>0,g（m）在区间（0,1）上单调递增...................8分

mm

又g（5）=-1-十+1+十町

所以-..........................................................10分

e

当mNl时，/'（彳）=三％<0,/（彳）在区间（0,1）上单调递减.

X

所以/（X）>/（1）=°>-：，符合题意......................................11分

综上，m的取值范围为（十，+8）........................................12分

21.（12分）

222

⑴证明：设4（c，0）,因为点%）在C上，所以言+2=1,故宿=/>21-号,

ab\a）

故I/*2I=，（&-7+4=7（3-c）。+//（1-0=、/（a-］（,）=\a-exQ\....2分

又-aWx(>Wa,所以-cW2t：oWc<a,故a-亍3>0,所以|PF2\=a-ex0....4分

(2)解：假设存在这样的直线/.

由(1)知|AF21=a-ex,=5-,I8/^1=«-ex2=5-x-,.

由椭圆定义知I=2a-=5+?阳，I=2。-\BF2\^5+^-x2.

因为南+席=前,所以fr

6分

5+亍町

整理得2(%+*2)2+15/W(X1+X2)+6X,X2-125=0①.

设，：y=k(x-/iCT).

联立2515'得(3+5解-10/IU筋,+25(2*-3)=o,............8分

.y=k(x-v/T(y),

10、/面2

所以△=(-10/10A：2)2-100(2i2-3)(3+5A：2)=900(*+i)>0,且阳+x

23+5储'

代人①式’.............................................9分

化简整理得105A4-8储-33=0,解得人=±孚...........................11分

故直线/存在，且它的方程为y=^I：-而或y=-可:+必..............12分

22.(12分)

高三•数学答案及评分标准（参考）第5页（共7页）

（1）解：设“该市12月第n天的天气情况为晴天”为事件4.，”该市12月第n天的天气情

况为下雨”为事件乩，“该市12月第八天的天气情况为阴天”为事件C.，〃wN*,且1W

〃近31.

由图可得，=A2A3+B2A3+C243,.........................................2分

由全概率公式可得，

户(