2023年4月浙江省嘉兴市高三二模数学试题 答案解析(附后)

2023年4月浙江省嘉兴市高三教学测试数学试题（嘉兴二模）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4。分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合<={r|log2r<1},B={."/+J-2W0}，则工=（）

A.{z|-2<J-<2}B.{1|一24工<1}C,{J|0<J-1}D.

{1|0<z<2}

2.（工一2J/+32）6的展开式中"?六的系数为（）

A.-60B.240C.-360D.720

3.已知{%}是公差不为0的等差数列，刈=2,若川，1,〃-成等比数列，则02023=（）

A.2023B.2024C.4046D.4048

4.相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径厄拉多塞内斯选择在夏至

这一天利用同一子午线：经线「的两个城市：赛伊城和亚历山大城।进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S

时，亚历山大城某处人的太阳光线与地面成角0=82.8°,又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧AS

的长为5000古希腊里，若圆周率取则可估计地球半径约为（）

A.35000古希腊里B.40000古希腊里C.45000古希腊里D.50000古希腊里

5.已知正九边形AiAv-A）,从砧，砧，♦一，初中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概

率为（）

A.1B.2C.1D.­,

2399

6.已知正方体4BCD-4835的棱长为2,P为空间内一点且满足平面过」“作与AP

平行的平面,与/*'：交于点Q,则CQ（）

A.1B.y/2C.y/3D.痣

7.已知“=1.产2,b=I.2>3,L，则（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

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8.设函数〃，)的定义域为R,其导函数为/若/'(—F)=/'"),/(2.r)+/(2-2i)=3,则下列结论

不一定正确的是()

A./(l-r)+/(l+x)=3B./'(2-/)=〃2+r)

C./V(l--r))=/V(l+.r))D."(.r+2))=/(/"))

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知函数/(,「)—疝13+夕(3〉0),则()

A.若〃，)的最小正周期为万，则3=2

B.若3一，则/")在［04上的最大值为:

C.若/")在［(),：］上单调递增，则0＜八：

D,若/"I的图象向右平移;个单位，得到的函数为偶函数，则■的最小值为:

10.已知一组样本数据门，心，,••，＜12＜•••＜］"),现有一组新的数据痔“，号网，,,,,

汩产，巴尹，则与原样本数据相比，新的样本数据()

A.平均数不变B.中位数不变C.极差变小D.方差变小

11.已知抛物线m=2”(p＞0)及一点P(.r“，加)(非坐标原点过点P作直线与抛物线交于「15.伊)，

B(均㈤两点,则()

A.若加=(),则仍“2=-2/"»B.若「()=(),则工+2.=2.

,V11/2如

C.(»/()-2/1)(?/()-1/2)=Vo-2px()D.\PA\■\PB\=y^-2px0

12.已知菱形ABC。的边长为2,/BA。=60°,将△J"。沿对角线8。翻折，得到三棱锥P-BCD,

则在翻折过程中，下列说法正确的是)

A,存在某个位置，使得

B.直线BC与平面PB。所成角的最大值为60。

C.当二面角/＞一8。一。为120"时，三棱锥「一的外接球的表面积为二二

D.当PC=2时，分别以P,B,C,。为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则

该勒洛四面体的内切球的半径为2—

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2。分。

13.复数z满足2:+3=6T(i是虚数单位)，则z的虚部为.

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14.已知圆G:（•^-"）2+//2=4与。2：H2+（u-b）2=l（a,b€R）交于A,B两点.若存在a,使得|AB|=2,

则b的取值范围为2

15.已知直线/与曲线C|：〃=/和。,：//=।均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为

X

16.已知椭圆。：l（a>b>0）的左，右焦点分别为Fi,离心率为e,点P在椭圆上，连接PFj

并延长交C于点Q,连接QB,若存在点P使|PQ=|QB|成立，则f?的取值范围为

四、解答题：本题共6小题，共7。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,".已知，,+e=2“cos8

川若3=*,求.1：

[②求（,>+，+"）（"…）的取值范围.

ac

18.（本小题12分）

已知数列缶/是首项为2,公差为3的等差数列，数列｛，，“｝满足儿=4,几+1=3瓦-2n+1.

（1）证明｛&一时是等比数列,并求｛On｝,｛/，“｝的通项公式；

⑵若数列”」与W，｝中有公共项，即存在k,小使得以=，“成立.按照从小到大的顺序将这些公

共项排列，得到一个新的数列，记作｛「，，｝,求Cl+C2+•••+€„•

19.（本小题12分）

如图，在三棱台ABC-DEF中，.4C=4,DC=2,EF=1,DE=,AD=BE=CF.

（1）求证：平面AHED,平面ABC.

Q若四面体BCDF的体积为2,求二面角£一8。一的余弦值.

20.（本小题12分）

为了解/市某疾病的发病情况与年龄的关系，从，市疾控中心得到以下数据:

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年龄段岁[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

发病率（％。）0.090.180.300.100.53

I”若将每个区间的中点数据记为］，，对应的发病率记为奶（i=1,2,3.4.5）,根据这些数据可以建立发病率

4%。।关于年龄（岁）的经验回归方程「=后+a,求“：

一£（电一了）（1/,一团55

附：b=1-1„­,£r；=11125,E工i!。—78.5

）:（Z：-工）i=li=l

⑵医学研究表明，化验结果有可能出现差错.现有/市某位居民，年龄在［50,60）.」表示事件“该居民化验

结果呈阳性”，B表示事件“该居民患有某疾病”,已知/'（用8）=0.99,P（A\B）=0.999,求修川4）（

结果精确到0.001）.

21.（本小题12分）

22

已知双曲线。：£一{=1（"〉05〉0）的右焦点为/•'（2.0,P（3是双曲线C上一点.

UI求双曲线C的方程;壮1过点F作斜率大于0的直线1，与双曲线的右支交于A,8两点，若PF平分

/APB,求直线/的方程.

22.（本小题12分）

已知==Inj.

（1）若存在实数a,使得不等式f（x）-g（x）》/（a）-9（a）对任意」:€（0,+8）恒成立，求/（a）・g（a）的值;

⑵若1＜外＜也，设（=92-5）,证明：

©—X2一X2

①存在©）e（.口,可，使得¥=对，"成立；

趣

②…（2口后

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查交集及其运算，解一元二次不等式，利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题

先求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.

【解答】

解：；A={x|log2X<：l}={x[0<x<2}

B={J,|X2+J•-2<0}={r|-2W上W1},

.•MnB={T|0<x^l}.

故选

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查二项展开式通项的应用，二项展开式特定项的系数，属于基础题.

将(1-2〃+3z1看成二项式-2y)+3zF,求得展开式的中含z的项源(a:-2“『(3/，再利用(J-2y)8

的展开式的通项公式求其中含，炉的项，进而得到所求系数.

【解答】

解：易知(r—2〃+32)6=[(x-2y)+3z]6,

展开式的通项为。+1=/(工一2M6-，(32)「，

令r1,可得第2项为或(上一2/'(3j,

(上一2//1的展开式的第〃，,1项为。2)"",

令m2,可得第3项为2『马广

所以"—2〃+3:)6的展开式中，的系数是exCfx(-2)2x3=720.

故选/).

3.【答案】B

【解析】【分析】

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本题考查等差数列的通项公式，是较易题.

利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质，求出公差，然后求数列卜八，｝的通项公式，即可求解.

【解答】

解：设｛"」的公差为J

因为叫,小，"：成等比数列，

所以冠=

所以(«)+2d)2=0.](«|+(id).

所以*F-2a，=0.

由d/。，川=2得"=|,

所以II,,=〃+I,所以02023=2023+1=2024.

故选B.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查弧长公式、弧度制与角度制的互化，属于基础题.

根据题意求出/SOA的弧度数，利用弧长公式，即可求出结果.

【解答】

解：由题意可知S,4在同一子午线上，

所以太阳光线平行，

所以NSO4=90—0-7.2=――x7r=0.125弧度,

lo()

所以可估计地球半径约为/?==缪=4(MXK).

0.1250.125

故选B.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查古典概型的概率公式，考查数量积的运算，属于基础题.

先将正九边形画出，任取两个向量有(:；种取法，数量积为正，即向量的夹角是锐角，共一2—=18组，即

可得答案.

【解答】

解：如图：

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4

从再不，研....际中任取两个向量，共有C；=36种取法，

若数量积为正，即向量的夹角是锐角，以瓦石为例，与而乙夹角为锐角的只有豆豆，石用，不不，

京，每个边所表示的向量都有四个向量与之夹角是锐角，所以共有一=18组向量的夹角是锐角，故

取出的两个向量的数量积是正数的概率p=^=3

故选：.1.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.

根据线面垂直的判定定理与性质定理，推得点P在对角线*1上，再根据线面平行的判定定理，证明Q为

81。】的中点，在直角ACCiQ中，结合勾股定理，解出CQ的长.

【解答】

解：如图，连接ABi交45于点E,

因为平面44出出，.4田［平面418出，

所以为/?」

又4iB_LABi,BIGC.ASI=,.4/力,平面八%Ci,平面.1场3,

所以4/U平面八场G,又AGc平面ABiCt,

所以XB_L4G,

同理可证：AQ1/"),

因为4G1BD,4BnBD=B,4BC平面小5。,BD平面1/"),所以47」平

面AiBD,

因为.4PL平面.'80,所以点P在直线AG上，

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4

BC

取81G的中点Q,连接Q4,QB,QE,

在AABQi中,E为.4/力的中点，Q为历G的中点，所以4ci〃EQ,又4G，平面川BQ,EQu平面

ABQ,所以4G〃平面4BQ,又点P在直线」「上，所以AP//AiBQ,

连接CQ,在直角△CCQ中，CCX=2,(\Q=1,

所以CQ=«CC^+C\Q2=,22+12=瓜

故选I)

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题.

利用指数函数单调性比较大小即可.

【解答】

解：a=l.l12<1.212<1.213=I),

又1.2,v1.3",所以(1.2*严<(1.3s)0-3,即1.212<1*9,

又1.2°」<1.3"」，所以1.2巾<13<13[=<,,即b<c,

所以“<b<c.

故选B

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性和导数运算，属于中档题.

利用对称性、奇偶性和周期性对选项逐个判断即可.

【解答】

解：/(2./)+八2-2])=3等价于/(i)+/(2-x)=3,所以/(Ji关于1.'；：对称,

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故/(I一r)+/(l+.r)=3,故选项A正确；

由〃工)+〃2-丁)=3,求导得,

/(®)-/(2-x)=0,所以门，，关于i1对称,

又/'(一])=/'"),可得/(一工)=/(2-])，即/”―/(2+“，所以”/，周期为2,故选项8,。正

确；

/(l-i)+/(l+r)=3,而〃1)不一定关于/二:对称，选项C不一定正确，

故选

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.

根据三角函数的性质逐一判断即可得解.

【解答】

解：对于4若/")的最小正周期为丁，则列=亓，所以1=2,故A正确；

对于B,若"=4,当工e[o,1时，则1+Jw.，所以,则/(工)在hl上的最

ojOOO」O

大值为1,最小值为：，故B错误；

对于C,若/")在卜.外上单调递增，则+解得0<3W：,故C正确；

,/T37T7T

对于D,若把/")的图象向右平移彳个单位长度，得到的函数为9")=疝igr-k+q),若川,)为偶函

37T7T7T,1

数，则一1+£=弓+上万，kEZ,解得工---3A-,kEZ,因为£〉0,所以当卜-1时，£有最

小值:，故。错误.

故选4C.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查平均数、中位数、极差、方差的计算，考查数据分析能力，属于中档题.

根据平均数的计算判断人；举特例结合中位数的概念判断B；根据极差的计算判断C；根据方差的计算判断

D.

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【解答】解：记「'「I+12+,••+工〃），

W—-了）2+（22—了）2+•••+（g—了）2]

=：（“+HJ+…+/“2）-那

则数据中，审,…，至产，审的平均数为

?=lf£l±£?+fl!£3x!t.^

n\22227

lz、

=酒+必+…+j）=』,

则与原样本数据相比，新的样本数据平均数不变，故人正确;

举特例：取原样本数据为L3,5,9,11,则新样本数据为2,4,7,10,6,

可知原样本数据的中位数为5,新样本数据的中位数为6,则与原样本数据相比，新的样本数据的中位数可

能会改变，故B错误；

因为口<12<••・<,

r[1]++工3__-Tn-l+工"+12_1"+力_/"T+X"

则一^―<—^―<一<—2—,—2-<—2~<—2一,

可知新数据的极差为止/包-号上=-叫）%（工”-1一12）<_4，

则与原样本数据相比，新的样本数据极差变小，故C正确；

新的样本数据的方差为

因为工1<J-2<•••<X,,,

一21-22129,9

缶IM/+口-,72-+-T3,-I',11+-Tn

所以口心<-------,口工3<——Z——，•一'/"-1"<----------«---------，

则叫收+工213+，••+X„-1X„+X„T|<Xi2++,♦•+，

可得

行(1J22工1工2+工123+•••+X-xX4-工”工1)

+X2+---+X„+nn

<：(//+疗+…+工/)，

则,」</，即与原样本数据相比，新的样本数据方差变小，故。正确.

故选ACD

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11.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题.

设直线AB的方程为/=-%）+©）,把直线48的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系逐项分析

得结论.

【解答】

解：由题意，设直线48的方程为r=?"（//一如）+即，

x=—加+.r（）c

2得，-2Pmy+2p（，”如一J（））=0,

{y=2oPH

因此由过点P（Ho,Uo）作直线与抛物线交于-1（J,।­//I）«B（12,中）两点得△=（-2pm）^—8p（myo—.r”）>0,

且“1+112=，//11/2=2Mm如-J-（I）.

对于」.当《/”=（）时，由幼的=2p（，n加一r“）得协小=2p.rn,故A正确；

对于B.因为点P非坐标原点，所以匹+笳井），

因此当.八,-0时，加#0,所以由△=4pm（pm2如）>0得，〃/（）.

又因为上+,有意义，所以!加/?=如-外厚0.

!八1/2

E、,

因为—1十,-1=.V1+?/22Pmm

）

.VI的yik!2P（7"如一10）rny„-rn

八111

所以当心。时，+-=-,故8正确；

y\y-i如

对于（〔因为（如一仍）（加-㈤=就-加斯+㈤+.V1,V2

=//o-2pm«o+2P（myo-.rS）=瑞-2px0,故C正确；

对于D因为|P4|,|PB|='（工1—工0）2+（U1—加产,\J（12—工0）2+（如一物产

=J（，"2+1）（协一加2•^（ni2+1）（//2-Wo）2=（ffi2+1）11/1—Mil-11/2一场I

=（"<'+1）1（协一如）（.例一队）11,

2

所以由选项C知：\PA\-\PB\=（m+1）|^-2/>./-0|,故|/>川.|/>/3|=加-如,“不一定正确，故D错误.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查了直线与平面所成角，球的切接问题，球的表面积，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于

较难题.

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由PB=BC,则/8PC'=N3CP判断A；可知平面。平面CB。时，点C到平面PBD的距离取到

最大值儿"心=C'E=而，再根据线面角的定义即可判断8；设三棱锥尸-/“'/)的外接球的球心为0,

ZOEC=60°,结合勾股定理求得外接球半径，可判断C；根据勒洛四面体的结构特征分析得到内切球的

球心为正四面体P8CD外接球的球心，从而求得半径，即可判断“

【解答】

解：对于A,因为PB=BC,则N/3/，C=/8C'〃，

显然/BCPr9(『，则BC与PC不垂直，故4错误；

对于B,连接AC,BD交于点E,连接PE,

则PE1BD,CELBD,

设点C到平面PB。的距离为h,

当平面尸〃平面C8。时，点C到平面P8。的距离取到最大值以皿=。E=4，

设直线BC与平面PBD所成角为〃，

则sin。=焉W容，则。°＜。(6。1

即直线BC与平面PB。所成角的最大值为6()，，故8正确；

对于C,可知//E「即为二面角〃—8。一。平面角，

则NPEC=120,

设三棱锥P-BCD的外接球的球心为。,半径为R,ABCD的外心为5,

则OE平分/"C,ZOEC=60,OiE=±E=等，OXC=1(7E=-

可得os=i,则配=oot2+o^2=:,

287r

则三棱锥「一BCD的外接球的表面积为47r尸一二厂，故C正确；

对于D,当PC=2时，/一为正四面体，

第12页，共20页

p

取点E为内切球与勒洛四面体的一个切点，为内切球的球心，内切球的半径为O'E,

可知球心O'也是正四面体PBCD外接球的球心,

易知8、()'、E三点共线，BE=2,

记点B到平面PC。的距离为

则"等2=竽，

由小考，

则OE=2—坐，即该勒洛四面体的内切球的半径为2一亚，故。正确.

22

13.【答案】7

【解析】【分析】

本题考查了共扼复数和复数的四则运算，是容易题.

设2=<1+4，a,beR,由题意得2(a+尻)+(a-及)=3。+厉=6-i,即可求出z的虚部.

【解答】

解：设：—〃，，a,l>cR,

由2z+2=6—i,则2(a+bi)+(a-bi)=3a+bi=6-i,

所以3"=6,1)=\

所以Z的虚部为I,

故答案为-1.

14.【答案】［一

【解析】【分析】

本题考查圆与圆的位置关系的应用，属于中档题.

由题意结合圆与圆的位置关系可得公共弦」/，为圆(1的直径，进一步分析可得/+/=3,计算即可.

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【解答】

解：由题意得，圆3的圆心为（”.（）），半径恒为2,是在x轴上移动的动圆，

圆（、的圆心为（0,b）,半径恒为1,是在y轴上移动的动圆，

若存在a,使得两圆的公共弦；IB|=2,则该公共弦必过圆「:的圆心，也即公共弦为圆的直径,

如图

圆C\：x2+y2—2«J,+a2—4=0,圆C：j-2+y2—2by+h2—1=0,

两式相减得，公共弦AB的方程为2〃.r-2by4-h2-a2+3=0,

直线AB过点(0,b),

所以/+*=3,

所以户=3—

则be卜＞/3.x/sj.

故答案为：[-v^.v^].

15.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查导数的几何意义，两条切线重合问题，属于中档题.

利用导数的几何意义得出切线方程，利用切线重合，即可求解.

【解答】

解：设直线/与曲线G：〃=3和g:〃=-；的切点坐标分别为（11.伊），（.一.!/”,

则由7-可得，/'—2],故切线的斜率为,故切线方程为y-=2./*|（.r-八）,即y=2,门.「一丁；,

1,1111,12

由!/=一一可得V=F，故切线的斜率为p,故切线方程为"+二=一央），即〃=三工一7~，

第14页，共20页

12

由题意可得2n=p,且二二，解得〃2,/?="，

故所求切线方程为，/=」i-1,与两坐标轴的交点坐标为(1,0)与(0.-4),

故围成的三角形面积为S=；x4x1=2.

故答案为2.

16.【答案】［8四一11,1)

【解析】【分析】

本题考查椭圆的离心率，属于一般题.

由存在点P使|PQ=|QEd等价于(PQI-(Xiu&o,利用椭圆的定义和基本不等式求出匕的范围,

(r

即可求标的取值范围.

【解答】

解：设IQF1I=m,|PFi|=n,则|QF$=2a-in.

显然当P靠近右顶点时，PQ>\QF2\,

所以存在点P使PQI=\QF2\等价于（IPQI-|<?理）疝”<o,\PQ\-\QF2\=2m+n-2a,

在,中，设=由余弦定理得

2=|PF!|2+22|尸片|•|尸1丹•cos，,

\PF2\\FIF2\-

即（2a—n）2=n2+4c2-2n-2c-（,<>s0,解得n-

a-ccos0

同理可得'"=♦高，所以5+;=居,

七2、、，11、62n2〃?\、（3+26）8

所以2/7?+〃=—Clin+n）（一+—）=——（3+-

2amn2amn2a

所以（2m+n—2。）“小=（"）-—2a,当且仅当n=V%”时等号成立,

2a

由（6+1）'一2a忘0得%W12-8V^,所以,sg-11We2cl.

2aa-

故答案为：［8、何一11,1).

17.【答案】解：（1）由已知结合正弦定理可得疝18+,山。=2疝1，＜5/3,

又sinC=sin（j4+B）,

则sinB=2sin.4cosB—sin（4+B）=sin（4—B）,

所以8=4-8,或B+4-B=7i•（舍去），

所以A—2。，

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c斤，万

若3=日，则A=不

।；由题意得(b+c)2a?_(b+c)一(，+C2-26CCOSA)

acac

2b(1+cos4)2siuZ?(l-FcosA)2sin8(1+cos2。)

=­a-=一而^—=一而方一=2cos8,

而A+3=38<;r,所以3€(()()，

故2cos8G(1.2),

所以("，+")(""")的取值范围为(1.九

ac

【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形、求余弦函数的值域，以及三角恒等变换，属于中档题.

1”利用正弦定理边化角，结合两角和与差的三角函数公式整理得出.4=28,求出入即可；

(2)利用正余弦定理得出1"+')-一层=2cosB,再根据8的取值范围，结合余弦函数的性质，求解即可.

ac

18.【答案】解：(1)因为bu+i—(n+1)=36„—3n=3(6n—n),hi-1=3,

故是首项为3,公比为3的等比数列.

从而几—“=3",即b„=3"+n(neN*).

an=2+(n-1)x3=3n—l(n€N*);

i?令;东-1=3"'+m,所以，”=3n-1时满足条件，即m=2,5,8,3n-I时为公共项，

所以Cl+C2+•••+C"=32+3，'+•••+31"-1+(2+5+•••+3n-1)=。%6-"+

【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式以及分组转化求和法，是中档题.

根据等比数列的概念可判断｛〃“-〃｝是首项为3,公比为3的等比数列，然后可得%=3"-〃，再由等

差数列的通项公式可得卜八」的通项公式；

②根据两数列的公共项，得到数列｛「/的通项，根据分组转化求和法结合等差和等比数列的求和公式即可

求解.

19.【答案】证明：(1)延长三条侧棱交于点P,则/乙1=尸/3=/>「，且D,E,F分别为AP,BP,CP的

中点.取AB的中点M,则PM1.I/J,

由题意可得,

所以AC2+BC2=AB2,:.CAiCH.

又M为AB的中点，

所以AA/=CJ/,则△/»⑷If丝故，PAfA=/PMC=90°,

即PMLVC,又PI/.T/.4,MAnMCM,MA,A/CU平面ABC,

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所以尸.1/1平面/BC又P.1/匚平面ABED,故平面4BEDJ.平面ABC.

⑵设三棱台一。上万的高为,ADEF的面积为Si,△.1/?「的面积为.％,且SI=1,S2=4,

由VFBCD=VDEF-ABC-VB-DEF-VDABC=

Ii12

&+S2)-/(8+S2)=-hy/s^=-h=2,所以/,=3.

«5«J«5tj

过点F作“/./)”于点H,

过点H作〃于点G,连接FG,

由Ui可知，平面P431平面DEF,又平面PAB与平面DEF相交于直线。E,平面。EF,

所以F〃L平面BDE,又二平面BDE,所以尸〃

又〃G.,I'HnHGH,FH.HG平面FGH,

所以/").一平面FGH,又FGU平面FGH,

所以8。1FG,

所以一厂(,'〃为二面角E-BO-F的平面角.

----------32

2i/54%/5/I3\/59-r-s*n/-HDG=sinZ.DBA=^=-

而F，=-L-,DH=,BD=i/9+(-^—)29=L而？3,

55V222

所以//6=效刍，tanNFGH=d=：,故c,z/FGH=2，即二面角£一一/」的余弦值为I

15G/1155

【解析】本题考查面面垂直的判定、二面角，是中档题.

1；延长三条侧棱交于点P,则P4=PB=P(',且。，E,F为中点.取48的中点M,根据线面垂直和面

面垂直的判定定理进行证明即可；

⑵设三棱台ABC-。/",的高为'由四面体的体积求出h的值，过点F作/于点H,则PH1

面ADE,过点H作〃G」，〃于点G,连接FG,则/FG"为二面角£一80-/••的平面角，即可求解.

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20.【答案】解：⑴=25+35+:+55+65=J5

5

0.09+0.18+0.30+0.40+0.53

0.3,

7=5

£出一了)(防-y)£Xiyi-5河

78.5—67.5

/=J-----------------------=3--------------------=0.011

玄(右一了产f：力-印11125-10125

6=1

a—7/—bJ=-0.195,a——0.195.

-由已知得:P(AB)=P(B)xP(A|B)=0.0004x0.99=3.96x10

P(AB)=P(S)xP(A\B)=0.9996x0.001=9.996xIO-4,

P(A)=P(AB)+P(AB)=9.996x10~4+3.96xIO-4=1.3956x10

..")=需=敲3.

产(A)13.956

【解析】本题重点考查回归直线方程和条件概率，属于一般题.

UI根据公式，求得1,0,得利用&=歹一3了即可求解；

②利用条件概率公式即可求解.

a2+b2=^

21.【答案】解：(1)由题意得《97.

&-庐=1

解得“=M、b-瓜，

,双曲线C的方程为1一/=1.

22

Q设/:1=切+2,其中0<t<1.设.4(.”.3)，,

直线与双曲线联立，得(»-1)/+45+2=0,

4f

!/1+血=一"7

所以42T①

加的=齐=1

由PF平分,则.।m,

\PB\\BF\

一3/+(M+e)'““I_1产+(ui+a)wd

J(12—3)2+(j/2+e)J(ty2_1)2+(U2+e)

(产+1)/+2(\/7-£)协+8_yj

两边平方得,

(停+1)^2+2(。—t)y2+8

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即』(独1+.Vi)+(，)加如。②，将①代入可得，，，

万

所以/:.r=~^~!1+2,即9r—V^Ty-18=0.

【解析】本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系及其应用，考查直线方程的求法，是中档

题.

(a2+b2=22

"1由已知条件得〈97,,由此能求出双曲线C的方程；

[&一币=1

(2)利用PF平分则：5=黑，结合直线与双曲线的位置关系，一元二次方程的根与系数的关

\PB\\BF\

系，即可求出直线方程.

22.【答案】解：⑴构造力(工)=/(r)-g(r)=e‘-hi.r,定义域为(0,+8),

h'(x)=eT--=1,

XX

令"(.r)=IC1-1,易得〃")在(0,+8)递增，

由于“(；)='一1<0,”⑴=e-1>0,

所以存在a€(；.1),使得"(")='!("-1=0,

且力(工)在(0,a)上单调递减，在(«.+x，上单调递增，

所以6(工)》卜(力对任意工€(0,+oo)恒成立,

此时/(。),。(。)=e",-(-«)=-1;

a