2023-2024年浙江新高考高二（上）数学期末模拟卷（解析板）

2023-2024年浙江新高考高二（上）数学期末模拟卷

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）抛物线f=2y的准线方程为（）

A.x——1B.y=—1C.x=—D.v=--

2-2

【答案】D

【详解】抛物线x2=2y,可得p=；,

所以抛物线的准线方程为：^=--.

2

故选：D.

2.（5分）双曲线丁一：=1的一个焦点的坐标为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,72）D.(V2,0)

【答案】A

【详解】双曲线＞2一：=1的焦点在y轴上，

且/=1,b1=3,则c=a2+b2-2,

二双曲线y?-：=1的一个焦点的坐标为（0,2）.

故选：A.

3.（5分）已知空间的三个不共面的单位向量N,b,c,对于空间的任意一个向量力，（）

A.将向量。，b,E平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上

B.总存在实数x,y,使得力=法+历

C.总存在实数无，y,z,使得/=%+>(,+B)+z(,-B)

D.总存在实数x,y,z,p-xa+y(a+b)+z(a-c)

【答案】D

【详解】对于A,当空间的三个不共面的单位向量G，b,5作为空间直角坐标系的标准正交基底时,

向量。，b,5平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为力的正三角形，其外接圆半径r满

足即/=如，不是单位圆，故A不正确；

sin6003

对于C,由于向量伍+B)+(,-B)=22,则向量4+而是空间中的一组共面向量，不能作为空间的基

底向量，

对于3,由三个向量共面的充要条件可知，当向量G,b,力共面时，总存在实数x,y,p=xa+yb,

但向量力是空间的任意一个向量，即b,万可以不共面，故2错误；

所以当力不与G,B共面时，则找不到实数x,y,z,使得力=法+了0+彼)+2(力-彼)成立，故C不正确；

对于。，已知空间的三个不共面的单位向量G,b,c,则向量方为+B而-己不共面，所以可以作为空间向

量的一组基底，则总存在实数x,y,z,使得力=切+y(%+B)+Z0-O),故。正确.

故选：D.

4.(5分)已知数列｛%｝是递增的等比数列，4+4+%=14,01a24=64，则公比q=()

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】C

(详解】数列｛a,J是递增的等比数歹U,44%=64,

贝！j婷=64,解得a2=4,

at+a2+a3=14,

%+/=10,

2，解得q=，或q=2,

[q+aq=102

•••数列｛a“｝是递增的等比数列，

:.q>\,

..q=2•

故选：C.

5.(5分)已知点4(1,1)和8(2,4),点「在〉轴上，且44PB为直角，则点尸坐标为()

A.(0,2)B.(0,2)或(0,3)C.(0,2)或(0,4)D.(0,3)

【答案】B

【详解】点尸在y轴上,

则可设尸(0,y),

•••ZAPS为直角，

APIBP,

・"(1,1),2(2,4),

k-k=-——•———=-1,解得y=2或3,

APBP12-0

故点P的坐标为(0,2)或(0,3).

故选：B.

6.(5分)若直线y=x+b与圆d+y2=i有公共点，则实数人的取值范围是()

A.[-1,1]B.[0,I]C.[0,V2]D.[-V2,V2]

【答案】D

【详解】由题意可知圆的圆心坐标为(0,0),半径为1,

因为直线y=x+6与圆/+丁=1有公共点,所以号(1,

解得-岳太也.

故选：D.

7.(5分)已知椭圆C和双曲线E具有相同的焦点，离心率分别为《，色,椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、

顶点、中心平分为若干条等长线段，贝W)

,45

A.exe2=1B.exe2=—C.e1=3^2D.+e2=—

【答案】B

【详解】不妨设椭圆C和双曲线E的焦点在x轴上，

由于椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段，

设双曲线的实轴长为2a,则椭圆的实轴长为6a,

则有椭圆的左右顶点为(-3a,0),(3G,0),双曲线左右顶点为(4,0),(a,0),

焦点为(-2a,0),(2a,0),

所以弓=网=2"2=网=2,所以qe,=±,故A错误，2正确；

3a3a3

Q

e2=3gj,故C错误；el+e2=—,故。错误，

故选：B.

8.(5分)在三棱锥S-ABC中，SA=SB=AB=2,BC=1,ABLBC,若SC与面SAB所成角的最

大值为6，则tan?。的值为()

A.1B.也c3D.^±1

2222

【答案】C

【详解】如图，取的中点E,AC的中点F,则E尸//BC,

又AB_LBC,AB1EF,

又SA=SB,E为A8的中点，

AB1SE,5LAB1EF,EF^\SE=E,

AB±平面SEF,

设NSEF=a,则ae(0,万)，

如图，分别以BC,所在直线为x轴，y轴，以过2且垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标

系，

根据题意易知AE=4AB=1,又AB=2,BC=\,

2

...5(0,0,0),A(0,2,0),C(1,0,0),S(cosa,1,sina),

SC=(1-cosa,—l,-sina),BA=(0,2,0),5s=(cosa,1,sina),

设平面SAB的法向量为h=(x,y,z),

n•BA=2y=0口

则_.，取力=(sina,0,-cosa),

n-BS=xcosa+y+zsina=0

SC与平面SAB所成角的正弦值为:

_.\SC-n\sina1-cos1a

Icos<SC，n>|=—，_=/=aG(0,7i)，

ISC||n|yj(l-cosa)2+1+sin1a3-2coscr

3T

令，=3-2cosa,贝Ucosa=-----，

2

aG(0,7i)，cosaG(-1,1),tG(1,5),

设SC与平面SAB所成角的正弦值为于3,

贝“/(o=j)=j-)+“>2Ml=

当且仅当3=即/=右时，等号成立,

3-75

又SC与平面SA8所成角的最大值为0,r.sin。=

2

3-也

„sirrOsired7A/5-1

•tan20=-----=-------=--------=—....

cos%l-sin2e3-V52

1------

2

二.多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

2222

9.（5分）已知椭圆C］：±+±=l与双曲线C,:——+上一=1（9〈左＜16）,下列关于两曲线的说法正确的

169-16-k9-k

是（）

A.G的长轴长与c2的实轴长相等

B.G的短轴长与C2的虚轴长相等

C.焦距相等

D.离心率不相等

【答案】CD

22

【详解】椭圆£:土+匕=1的焦点在x轴上，＜=16,"

116911

则q=J”；—b；=近；

222y2

双曲线。2：-^+上一=1（9〈人＜16）为=1,

216-k9-k16-kk-9

焦点在X轴上，%2=16-k,b^k-9,

贝!!c2=Qa；+后=V7.

G与c2的焦距相等，而q的长轴长与c2的实轴长不相等，则离心率不相等,

G的短轴长与c2的虚轴长不相等.

故选：CD.

22

10.（5分）设片，区为椭圆,+t=1的左，右焦点，直线/过久交椭圆于A,B两点,则以下说法正确

的是（）

A.AA58的周长为定值8

B.AA5K的面积最大值为

C.|4月「+|4"『的最小值为8

D.存在直线/使得AABF2的重心为（：,：）

【答案】ACD

22

【详解】对于A：因为椭圆的方程上+匕=1,

43

所以。2=4,即4=2,

由椭圆的定义可得II+11=2a=4,|3耳|+1|=2a=4,

两式相加得|A片|+|461+|3用+|8巴|=8,

所以得|48|+|2鸟|+|AB|=8,

所以AABg的周长为8,故A正确；

22

对于8：因为椭圆的方程二+匕=1,

43

所以《J/一/=1,

所以「（-1,0）,8（1,0）

设直线I的方程为x-（-1）=m（y-0）,即x=-1,

I1+H_2

所以点得到直线/的距离d=

yjm2+(-1)2Vm2+1

x=my-I

联立y2,得(3加2+4)y2_6my—9=0,

——+—=1

143

△=(-6m)2-4(3m2+4)x(-9)>0,BPm2>-l,(*)

设A（玉，％）,B（X2,为），

-6m6m9

所以M+必=一

3m2+43m2+42一万不

26m*_纵_9)=12(1+*

所以|A51=，1+疗/(％+%)2_4%%=g+m

3m2+43m2+43m2+4

12(1+疗)2I2V1+W?

3m+4/+13"+4

9(/+1)2+6(M+1)1,1

+9(m2+l)+6+-

\+mI

所以9（〃，+1）+—^^3x2.（m2+1）•—=6,

1+mV1+m

当且仅当9（疗+1）=」二，即/=二，取等号，不成立，舍去，

1+m23

当/=0时，SaABF2=144x^=9,

所以S0ABF2的最大值为9,故8错误；

对于C：由椭圆的定义可得|A居|+|Ag|=2a=4,

所以|"柱『以1"1；伤1）2=7=4,当且仅当居|时，取等号,

所以|A耳『+|4巴|2》8,

所以|4月『+|4工『的最小值为8,故c正确；

对于。：若存在直线/使得AA2B的重心为（g,；）,

13

即芯+%=一万，%+%=a，

由5选项设得直线/方程为x=my-l,

m33

所以玉+/=y\+⑵2-2=机（必+y2）-2=m'——2=—m-29

31

所以一根—2=—，解得m=2,

42

所以存在直线/使得AAB8的重心为己，-）,故。正确，

故选：ACD.

11.（5分）已知函数/（%）=尤/冰，若0＜玉＜%，则下列结论正确的是（）

A.x2f（xl）＜xlf（x2）

B.+/（%；）＜x2+f（x2）

/（占）一/（尤2）

D.当时，xlf(xl)+x2f(x2)>2x2f{xx)

【答案】AD

【详解】A.正确；

因为令g(X)=X<2=/心，在(0,+8)上是增函数，

X

.,.当0<再<%2时，g(再)<g(%2)，

'<""即X2f(%1)<x{f(x2).

石x2

B.错误；

因为令g(x)=/(x)+x=xlnx+x

gf(x)=lnx+2，

:.XE(e-2,+oo)时，gG)>0,g(x)单调递增，

X£(0,"2)时，g，(x)<0,g(X)单调递减.

再+f(%)与x2+/(x2)无法比较大小.

C.错误；

因为令g(x)=/(x)-x=x阮V-X,

g'(%)=Inx,

・・・-£(0,l)时,g\x)<0,g(x)在(0,1)单调递减，

X£(l,+oo)时，g\x)>0,g(x)在(L+oo)单调递增,

.,.当0<再<%2<1时，g(%i)>g(%2)，

，/(玉)一玉>/(x2)-x2，

"(%)一/(%2)>七一%2，

—(池<0.

%-x2

当1<玉<马时，g(%)<g(X2)

•，•f(xi)-xl<f(x2)-x2，

-f(x2)<xt-x2,

.0.

Xj-x2

D,正确；

因为玩1>-1时，/(x)单调递增，又・・・A正确，

玉口/(占)+x2Uf(x2)-2X2/(芯)>占[/(&)一/(x2)]+x2[/(x2)-/(%)]=(王一x?)[/(Xj)-f(X])]>0.

故选：AD.

12.(5分)在矩形ABC。中A8=2AZ)=2,E为4B的中点，将AAOE沿OE翻折到△4OE的位置，耳芒

平面ABC。，M为A。的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是()

A.恒有8M//平面AOE

B.2与M两点间距离恒为定值

C.三棱锥A一。四0的体积的最大值为包

6

D.存在某个位置，使得平面平面AC。

【答案】CD

【详解】对选项A：取4。的中点N,连接跖V,EN,可彳导MN=BE且MN//BE,所以四边形8MNE是

平行四边形，

所以BMUEN,又BA/仁平面AQE,ENu平面AQE,所以8M//平面4OE,故选项A结论正确；

(也可以延长。E,交于H,所以HB=BC,所以M2//AH,又平面AOE,平面4。石，

从而BM//平面AQE)

对选项3：因为£W=g,DE=M,ZA.DE=ZADE=45°,

根据余弦定理得EN2=」+2-2X后x'x正=9,得EN卫,

42242

因为EW=BM,故BM=J,故选项2结论正确；

2

对选项C：因为M为AC的中点，

所以三棱锥C-A.DE的体积是三棱锥M-A.DE的体积的两倍，

故三棱锥C-A^DE的体积匕TQE=VA,-DEC=|S\CD£其中〃表示其到底面ABC。的距离，

万

当平面A]OE_L平面ABC。时，〃达到最大值，此时/?=《-,

此时吃=

所以三棱锥A-DEM体积的最大值为春，故选项C结论错误；

对选项。：假设平面A平面AC。，平面qoEC平面aco=A。，\EY\D,4乃<=平面AQE,

故AE_L平面AC。，又acu平面AC。，所以AE_LAC,

则在△ACE中，/吗C=90。，AE=l,EC=e,所以AC=1.

又因为4。=1,CD=2,所以4D+AC=C。，故A，C,。三点共线，

所以AeC£),得Ae平面ABCD,与题干条件Ae平面ABCZ)矛盾，故选项。结论错误;

故选：CD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)已知向量为=(2,0,1)为平面a的法向量，点4(-1,2,1)在。内，点P(1,2,-2)在e外，则点

P到平面a的距离为一.

【答案】£

【详解】因为A(T,2,1),P(l,2,-2),所以而=(2,0,-3),

又平面a的法向量为n=(2,0,1),

所以点P到平面a的距离d=中智=I2x2+，3)xl|=恪

I利V55

故答案为：好.

5

14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若圆f+9=4和圆了2+y+4元一4〉+4=0关于直线/对称，则直

线/的方程为—.

【答案】x-y+2=0

【详解】圆/+y=4,圆心为(0,0),

圆/+/+4%_分+4=0,即(「+2)2+-2)2=4,圆心为(一2,2),

,/圆d+y=4和和圆x2-Fy2+4x-4y+4=0关于直线I对称，

/.圆心(0,0)与圆心(-2,2)关于直线/对称，

设直线/方程为y=kx+b,

2-0.1

---------K=-1

则-2-0,解得左=1,b=2,

0+2,0-27

----=k-----+b

122

故直线方程为y=x+2,即x-y+2=0,

故则直线/的方程为尤-y+2=0.

故答案为：x-y+2=0.

15.（5分）在数列｛%｝中，%=1,an+1=an+—（raeN*）,若fwZ,则当|%-f|取得最小值时，整数/的

an

值为

【答案】4

【详解】an+l=an+—(neN*),

%

12919411969581

二.％1c15Cl(r=Clr-----------

=qH----=2,%%-----=-5

%a22a5272890

1969581272890°

—tZz-H----=------------1-----------3.0,o

64272890969581

又feZ,则当|%YI取得最小值时，整数f的值为4,

故答案为：4.

16.（5分）抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.今有抛物

线C：V=2px（p>0）（如图）一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点/射向C上的点

再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4,则C的方程是

【答案】/=4%

【详解】由抛物线的光学性质可得，P。必过抛物线的焦点尸（亨，0）,

当直线P。斜率不存在时，易得|PQ|=2p；

当直线PQ斜率存在时，设尸。的方程为》=左（％-5）,尸（玉，%）,。（%2，%），

‘k"2)，得左2(xZ-px+2)=2px,整理得4左2苫2-(4尸p+8p)x+左2P2=o,

由＜

y2=2px4

k2p+2p

所以再+/=

k2

k2p+2p

所以|尸。|=石+9+P=>2P；

k2

综上，当直线尸。与x轴垂直时，弦长最短,

又因为两平行光线间的最小距离为4,故2P=4,

，抛物线方程为y2=4x.

故答案为：丁=4尤.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）已知圆C经过点4（4,2）、8（6,0）,圆心C在直线x+y-4=0上.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线y=-x+2）与圆C相交于P、。两点，|尸。上26，求实数人的值.

【答案】（1）（x-4）2+y2=4；（2）左=±运

35

【详解】（1）AB的中点为M（5,l）,斜率左=-1,则直线4B的中垂线为y=x-4,

联立［；二二‘解得It'即C（4，。），wj

.•.圆C的方程为（x-疗+9=4；

(2)由于|PQ|=26，点C(4,0)到直线y=《x+2)的距离d==l,

“2+1

BP35k2=1,解得左=土叵.

35

18.（12分）如图，在四棱锥S-A8CZ）中，底面A8CD是直角梯形，BC//AD,BC±AB,AD2BC,

侧棱SA_L平面SC。，AS=AB=BC,E是4。的中点.

（1）求证：8E_L平面SAC；

（2）求直线AB与平面S8D所成的角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）公上

11

【详解】证明：（1）因为E是A。的中点，所以4E//BC且AE=BC,ED//BCS.ED=BC,

所以由条件可知ABCE是正方形，BCDE是平行四边形，

所以BE_LAC,

因为&4_L平面SCD,所以SA_LCD,SALBE,

因为SA0|AC=A,SA,ACu平面SAC,

所以BE_L平面SAC；

解：（2）TSACQB£=O,则由（1）得8E_LSO,

在直角梯形ABC。中，AC=42AB=42AS,

又因为81_L平面SCD,得SA_LSC,

所以AASC为等腰直角三角形，因为。为斜边的中点，所以SOd.AC,

所以SOJ_平面ABCD；

法一：建立如图直角坐标系，

不妨设OB=1,

则A(l,0,0),8(0,-1,0),5(0,0,1),。(-1,2,0),

AB=(-1,-1,0),BS=(0,1,1),BD=(-1,3,0),

设拓=（尤,y,z）是平面SBD的一个法向量，

［n-BS=O,fy+z=O口-口

则由一得ZF'，则可取为=（3,1,-1）,

n-BD=O［一尤+3y=0

所以s'*3s〈通㈤匕瑞，=等

法二：因为CSBD=匕,。，所以;S"mX/ygsMmxS。，

不妨设30=1,

vn

所以A8=应，A。=272,S业BD=2,SO=1,SB=C,BD=VlO,SD=瓜S^SBD

2

A.li2V22

所以/?=—；=,sin0=----

VilAB11

19.（12分）2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各

地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200

名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组［45,55）,第二

组［55,65）,第三组［65,75）,第四组［75,85）,第五组［85,95］,并整理得到如下频率分布直方图，

已知图中前三个组的频率依次构成等差数列.

（1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（保留一位小数）；

（2）为了更好的了解学生对二十大精神的掌握情况，学校决定在成绩较高的第四、五组中用分层抽样的方

法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人作为校二十大精神的宣传员，求85

分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.

0.005+b=0.025x2^=0.020

【详解】（1）由题意可知:，解得《

(0.005+0.025+b+a+0.005)x10=1[b=0.045

设中位数为无，则0.005x10+0.025x10+0.045x(x-65)=0.5,无269.4.

平均数为50x0.005xl0+60x0.025xl0+70x0.045xl0+80x0.020xl0+90x0.005xl0=69.5,

故中位数为69.4,平均数为69.5；

（2）由分层抽样得最终5名学生中第四组有4人、第五组有1人，

故85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率为尸=笠=3=2.

C；105

20-（12分）记琴f+马+冬+...+%，N-neN\已知数列｛叫和依｝分别满

足：£生=n2,abj=（Vs）"+n.

z=li—l

（1）求｛%｝，｛4｝的通项公式;

（2）求Z。也.

i=l

n+1

【答案】（1）an=2n—l7bn=3〃（2）aibi=（n—l）3+3

i=l

【详解】⑴•.•8>=],"产（同2+〃,

z=l

z=l

/.九22时，an=〃-2"1，

〃=1时，4=1,仇=3,满足上式，

n

an=2n-l9bn=3.

n

(2)anbn=(2n-l)3.

名也=>=3+3x32+5x33+...+(2〃—1)3",

i=l

37；=3?+3x33+…+(In-3)3"+(2n-1)3,,+1,

相减可得：-27；=3+2(32+33+...+3")-(2n-l)3"+1=3+2x^~^-(2w-l)3"+1,

3—1

化为：T„=(w-l)3n+1+3,即f咕=(/7-l)3"+1+3.

i=l

22

21.(12分)已知耳，居为椭圆C:一+当=1(。>6>0)的左、右焦点.点M为椭圆上一点，当/月沂取

ab

最大值(时，(近+而E)•砒=6.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点尸为直线x=4上一点（且P不在无轴上），过点尸作椭圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,

B,点8关于无轴的对称点为8',连接交无轴于点G.设△A^G,△BgG的面积分别为S1,S。,求

I|的最大值.

【答案】(1)—+^=1；(2)迪

434

【详解】(1)当M为椭圆短轴端点时最大，依题意，ZFtMF2=1,

则△々g为正三角形，则a=2c,

又(丽+丽)•砺=2旃•丽=26-acos工=回。=6,

6

ba=2A/3,

又。2=从+。2,

Q=2,b—,^3，c=1,

22

二.椭圆C的方程为土+匕=1；

43

(2)设4(芭，％),B(X2,%)，尸(4,

若力。0,则在A处的切线的斜率必定存在，设该切线的方程为y=攵(%-%)+%=kx+yi-kxi,

y=kx+y-kx

ll消去y并整理得(3+4k2)x2+8左(%—例)%+4(%—gy—12=0,

3/+4/=12

则口=64公(%一心)2一4(3+462)[4(7-何)2-12]=。，即F+至左+生了=0,故人=一四，

2%16yl4%

所以切线方程为丫=-至x+%+竺=-9尤+工，

4%4%4%4%

故直线PA的方程为至+血=1,

43

若％=0,则切线方程为％，

综上，P4的方程为空+型=1,

43

同理可得直线PB的方程为至+9=1,

43

又PA,P3都过点P(4j),

贝=x2+^=l,

所以A8方程为x+£=l,即AB过定点(1,0).

故设AB方程为x=my+\,mw0,

联立卜〃9+1,消去X并整理可得，(3疗+4)/+6町一9=0,

[3x2+4y2=12

—6m

X+%=9----，X%=9----

123m2+4123m2+4

又3'(九2，一%)，

则直线AB'方程为y-%=-占)，

x2-X]

一9

（，孙+1）%+（7佻+1）%=2〃%y?+X+丫2=2机,%%+1=2m-3疗+4

令y=0,得+1=4

X+%%+%%+%M+%一6，〃,

3m2+4

G（4,0）,

91机|_99__9_