黑龙江省双鸭山市尖山区一中2025届高一下数学期末质量检测模拟试题含解析

黑龙江省双鸭山市尖山区一中2025届高一下数学期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．2．若，则下列结论成立的是（）A． B．C．的最小值为2 D．3．已知分别为内角的对边,若,b=则=()A． B． C． D．4．在正方体中，与棱异面的棱有（）A．8条 B．6条 C．4条 D．2条5．在下列结论中，正确的为（）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．向量就是有向线段D．零向量是没有方向的6．直线过点，且与以为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（）A． B． C． D．10．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．圆与圆的公共弦长为______________。12．已知圆是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值是____.13．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.14．在三棱锥中，，，，作交于，则与平面所成角的正弦值是________.15．在中，角所对的边分别为，，则____16．____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，．(1)求及的值；(2)求的值．18．已知.(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)求函数在时的值域．19．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数（1）求的值；（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？20．如图，等边所在的平面与菱形所在的平面垂直，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据，当时，，再结合时，，可知是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】由，当时，，所以，当时，，此时，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即.故选：B.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.2、D【解析】

由，根据不等式乘方性质可判断A不成立；由指数函数单调性可判断B不成立；由基本不等式可判断C不成立，D成立．【详解】对于A,若，则有，故A不成立；对于B,根据指数函数单调性，函数单调递减，，故B不成立；对于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；则D能成立.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式、不等式的基本性质，考查不等式性质的应用，属于基础题.3、D【解析】

由已知利用正弦定理可求的值，根据余弦定理可得，解方程可得的值．【详解】，，，由正弦定理，可得：，由余弦定理，可得：，解得：，负值舍去．故选．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．4、C【解析】

在正方体12条棱中，找到与平行的、相交的棱，然后计算出与棱异面的棱的条数.【详解】正方体共有12条棱，其中与平行的有共3条，与与相交的有共4条，因此棱异面的棱有条，故本题选C.【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断.5、B【解析】

逐一分析选项，得到答案.【详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；B.向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.故选B.【点睛】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.6、C【解析】

求出,判断当斜率不存在时是否满足题意，满足两数之外；不满足两数之间．【详解】，当斜率不存在时满足题意，即【点睛】本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题.7、B【解析】

首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案．【详解】由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，所以母线长，故圆锥的侧面积；故答案选B【点睛】本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题8、D【解析】

试题分析：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，在A中：若，，则，相交、平行或异面，故A错误；在B中：若，，，则，相交、平行或异面，故B错误；在C中：若，，则或，故C误；在D中：若，，由面面平行的性质定理知，，故D正确.考点：空间中直线、平面之间的位置关系.9、C【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点的坐标．【详解】为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，若将绕点顺时针旋转至，则点的横坐标为，点的纵坐标为，故点的坐标为.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，考查基本的运算求解能力．10、A【解析】

将不等式化为，可知满足不等式，不满足不等式，由此可确定个整数解为；当和时，解不等式可知不满足题意；当时，解出不等式的解集，要保证整数解为，则需，解不等式组求得结果.【详解】由得：当时，成立必为不等式的一个整数解当时，不成立不是不等式的整数解个整数解分别为：当时，，不满足题意当时，解不等式得：或不等式不可能只有个整数解，不满足题意当时，，解得：，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围问题，关键是能够利用特殊值确定整数解的具体取值，从而解不等式，根据整数解的取值来确定解集的上下限，构造不等式组求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求.【详解】由两圆方程相减得两圆公共弦方程为，即，圆化为，圆心到直线的距离为1，所以两圆公共弦长为，故答案为.【点睛】本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题.12、【解析】

由题意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．【详解】圆，得，则圆心C（1，2），半径R＝，如图可得：＝＝﹣＝，点是直线上，所以＝（）2＝，∴的最小值是＝.故答案为：．【点睛】本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想，点到直线的距离，属于中档题．13、3【解析】

将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.【详解】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则，故.又两向量的夹角为锐角，故，则该平行四边形的面积为.故答案为：3.【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题.14、【解析】

取中点,中点,易得面,再求出到平面的距离,进而求解再得出到平面的距离.从而算得与平面所成角的正弦值即可.【详解】如图,取中点,中点,连接.因为,,所以.因为,,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距离.到面的距离.又因为,所以,所以,所以,故到面的距离.故与平面所成角的正弦值是故答案为：【点睛】本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.15、【解析】

利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到.【详解】由正弦定理可得：即：本题正确结果：【点睛】本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.16、【解析】

在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见数列的极限可计算出所求极限值.【详解】由题意得.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列的极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由已知，，利用，可得的值，再利用及二倍角公式，分别求得及的值；（2）利用倍角公式、诱导公式，可得原式的值为.【详解】（1）因为，，所以，所以，.（2）原式【点睛】若三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二.18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)化简得＝,利用周期的公式和正弦型函数的性质，即可求解；(Ⅱ)由，可得，得到∈，即可求得函数的值域.【详解】(Ⅰ)由题意，化简得＝,所以函数的最小正周期为,又由，解得所以的单调递增区间为.(Ⅱ)由，可得，所以∈，所以的值域为．【点睛】本题主要考查了三角函数的的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、(1)；(2)当产量吨，平均生产成本最低.【解析】

（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．【详解】（1）设，由函数是上的连续函数.即，代入得（2）设平均生产成本为，则当中，，函数连续且在单调递减，单调递增即当，元当，，由，当且仅当取等号，即当，元综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

解法一：（1）取中点，连接，，证出，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）取中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得平面，过作于，可得平面，由即可求解.解法二：（1）取中点，连接，证出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证出平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证出.（2）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理可得平面，再由，利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】解法一：（1）取中点，连接，.因为分别是的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，则，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面同理，在平面内，过作于，则平面，且，因为为的中点，所以，所以，.解法二：（1）取中点，连接，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，且，所以四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）取中点，连接，依题意，为等边三角形，所以，且.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为是的中点，所以，所以.【点睛】本小题主要考查几何体的体积及、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.21、（1）证明见解析（2）θ最小值为60°【解析】

（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE⊂平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.（1）由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令EP＝λ(0≤λ≤)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，