北师大版八年级数学下册期末考试点对点压轴题训练(四)(B卷25题)(原卷版+解析)

期末考试点对点压轴题训练（四）（B卷25题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．以AB为边作，点D在x轴正半轴，且．(1)求点C，D的坐标；(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围．2．在平面直角坐标系中,直线l1:y＝2x＋3与过点B（6,0）的直线l2交于点C（1,m）,与x轴交于点A,与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D．（1）求直线的函数解析式;（2）如图1,点F在直线l2位于第二象限的图象上,使得,求点F的坐标．（3）如图2,在线段BC存在点M,使得△CEM是以CM为腰的等腰三角形,求M点坐标．3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线与的交点恰好在轴上，过点和的中点的直线交于点，线段，的长是方程的两根，请解答下列问题：（1）求点的坐标；（2）点在直线上，在直线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；(3)如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．5．直线：分别与，轴交于点，，线段中点．(1)求，的值；(2)在轴负半轴上有一点，连接交轴于点，若，求点坐标；(3)在（2）条件下，轴上一动点由点出发至点，同时轴上另一动点由点出发至点，两动点均以每秒个单位长的速度运动，设运动时间为，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连接，求线段中点的运动路程．6．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线与坐标轴相交于A，B两点，直线与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知，点P是直线上的动点．(1)求直线的函数表达式；(2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；(3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．(1)求直线l2的解析式和m的值；(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．(1)求；(2)若线段AC上存在一点P，使得，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．（1）求点B的坐标；（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．（1）求直线BC的解析式；（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．12．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y2＝mx＋n（m，n为常数）与x轴交于点B，且OB∶OA＝1∶3．(1)求直线y2的函数表达式；(2)点P是直线y2上一动点，当S△PAC＝2S△ABC时，求点P的坐标；(3)如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程的两个根，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．(1)求直线AC的函数解析式；(2)设点，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b>0)分别与x，y轴相交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．(1)若b＝6，连接BC交x轴于点D．①求点C的坐标；②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；(2)P为x轴上的动点，连接PB，PC，当的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点．（1）如图1，当AE＝3OE时，①求直线BE的函数表达式；②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当S△BOD＝S△PDB时，求点P的坐标；（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由．期末考试点对点压轴题训练（四）（B卷25题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．以AB为边作，点D在x轴正半轴，且．(1)求点C，D的坐标；(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点B，先求出点A和点B的坐标，再结合求出，得到点D的坐标，最后利用平行四边形的性质求出点C的坐标；（2）根据，求出直线CD的解析式，设，分两种情况：点P在x轴正半轴和x轴负半轴来求解；（3）先将两条直线组成方程组得到，分两种情况进行求解．【解析】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，令，则，令，则，∴，，∴．又∵，∴，∴，∴在中，，，∴；（2）解：∵，，设直线CD的解析式为，则，解得，∴，设，情况一：如图所示：，∴，，∴；情况二：如图所示：∴，，∴；（3）解：由直线与直线得，∴，∴，当时，方程组无解，两直线平行，此时总有，当时，，∵直线经过，∴当时，对于x的每一个值，都有，即是，∴若时，即，则，∴；若，则，∴，∴．【点睛】本题考查了一次函数综合知识，涉及待定系数法、一次函数与一次不等式的关系，等腰直角三形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．2．在平面直角坐标系中,直线l1:y＝2x＋3与过点B（6,0）的直线l2交于点C（1,m）,与x轴交于点A,与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D．（1）求直线的函数解析式;（2）如图1,点F在直线l2位于第二象限的图象上,使得,求点F的坐标．（3）如图2,在线段BC存在点M,使得△CEM是以CM为腰的等腰三角形,求M点坐标．【答案】（1）y=-x+6;（2）F（-2,8）;（3）或【分析】（1）将C（1,m）代入y=2x+3得,C（1,5）,用待定系数法求直线l2的函数解析式;（2）设F（n,-n+6）,用n表示出,,根据条件列方程即可求出;（3）根据△CEM是以CM为腰的等腰三角形,分CM=CE和сM=EM,设M（a,-a+6）,表示出CM2,CE2,EM2,分别列方程求解,即可得出答案．【详解】解:（1）将C（1,m）代入y=2x+3,解得m=5,∴点C的坐标为,设直线的函数解析式为:y=kx+b,把点B（6,0）,代入得:,解得:,∴直线的函数解析式为:y=-x+6;（2）∵点F在直线l2位于第二象限的图象上,∴设点F的坐标为F（n,-n+6）,其中n<0,∵直线l1与y轴交于点E,直线l2与y轴交于点D,∴可求得点D,E的坐标为D（0,6）,E（0,3）∵点B的坐标为B（6,0）,∴DE=3,OE=3,∵,∴,解得:n=-2,∴点F的坐标为F（-2,8）,（3）∵在线段BC存在点M,可设点M的坐标为M（a,-a+6）,其中a>0,则,,∵△CEM是以CM为腰的等腰三角形,∴有CM=CE或CM=EM,当CM=CE时,有,即,解得:,（舍去）,∴M点坐标为当CM=EM时,有即,解得:,∴M点坐标为综上所述:M点坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式､用坐标表示三角形面积的表示等知识,用方程思想,数形结合思想是解题的关键．3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线与的交点恰好在轴上，过点和的中点的直线交于点，线段，的长是方程的两根，请解答下列问题：（1）求点的坐标；（2）点在直线上，在直线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为：或或【分析】（1）先解方程可得CD和DE的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA＝30°，分别计算AC、BD、DM的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM的长，得D的坐标；（2）分三种情况：①以CF为边时，在CF的上方，②以CF为边，在CF的下方，③以CF为对角线时，分别根据平移规律求点P的坐标【详解】（1），，或6，∵，∴，，∵四边形是菱形，∴，，∴，，中，，∴，∵，∴，∴，，∴；（2）①∵，，∴是等边三角形，∵是的中点，∴∴当与重合时，如图1，四边形是平行四边形，∵，∴，∴，∴，，中，，，∴，∴；②如图2，∵四边形是平行四边形，∴，由①知：，∴，中，，，∴，∴，连接，∵，，∴，∴，，∴，∴，由①知：，由到的平移规律可得到的平移规律，则，即；③如图3，四边形是平行四边形，同理知：，，，∴；综上所述，点的坐标为：或或．【点睛】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，通过求Q的坐标来求P的坐标，根据平移规律得出结果．4．平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，点在直线上，且点的横坐标为3，直线：经过点，两点，与轴交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)如图，点在轴下方的直线上，连接，若的面积等于的面积，求点的坐标；(3)如图，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用，两点坐标代入，解方程组即可解决问题．设，根据，解方程即可．过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，证明≌，可得，，设，可得，求出，，由得，则，可得，，根据勾股定理的逆定理得，则，即可得．（1）解：直线：分别与轴，轴交于点，，，，点在直线上，且点的横坐标为．，直线：经过点，两点，则，解得，直线的解析式为．（2）∵直线的解析式为，，，，，设，，，解得，点的坐标为．（3）如图，过点作轴的平行线，分别过、作该平行线的垂线，垂足分别为、，，，，，，，≌，，，设，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．5．直线：分别与，轴交于点，，线段中点．(1)求，的值；(2)在轴负半轴上有一点，连接交轴于点，若，求点坐标；(3)在（2）条件下，轴上一动点由点出发至点，同时轴上另一动点由点出发至点，两动点均以每秒个单位长的速度运动，设运动时间为，若某一动点到达终点，则另一动点同时停止运动，连接，求线段中点的运动路程．【答案】(1)的值为，的值是(2)(3)【分析】（1）由得，，而线段中点，有，可解得的值为，的值是；（2）连接，根据，为的中点，，可得，知，用待定系数法可得直线解析式为，即可得；（3）根据题意得，，，因为的中点，，，得，从而知是直线上的点，当时，，，当时，，，的路程是以，为端点的线段的长，故的路程为．（1）解：在中，令得，令得，，，线段中点，，解得，答：的值为，的值是；（2）解：连接，如图：，为的中点，，，，，，，，由知，，，设直线解析式为，将代入得：，解得，直线解析式为，令的，；（3）解：根据题意知，，，，，当与重合时，，，，为的中点，，，，设，，则，即是直线上的点，当时，，，当时，，，的路程是以，为端点的线段的长，的路程为．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及线段中点坐标公式，等腰三角形判定与性质，待定系数法等知识，解题的关键是求出点是直线上的点．6．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线与坐标轴相交于A，B两点，直线与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知，点P是直线上的动点．(1)求直线的函数表达式；(2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；(3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，或(3)或或，【分析】（1）先求出点的坐标，再待定系数法求解析式即可；（2）设点的坐标为，则点，，分情况讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别列方程求解即可；（3）设点，，分情况讨论：①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别列二元一次方程组，求解即可．（1）解：将点的横坐标2代入直线，得，点，，，，将点和点坐标代入直线，得，解得，直线；（2）设点的坐标为，则点，，当点在点的左侧时，如图所示：则，，点是线段的三等分点，或，当时，，解得，，，当时，，解得（舍，当点在点右侧时，如图所示：，，点是线段的三等分点，或，当时，，解得（舍，当时，，解得，，综上，点的坐标为，或；（3）存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，设点，，，，①以，为对角线时，得，解得，点，②以，为对角线时，得，解得，；③以，为对角线时，得，解得，，，综上，点坐标为或或，．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，线段的三等分点，平行四边形的判定等，本题综合性较强，注意分情况讨论是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．(1)求直线l2的解析式和m的值；(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．【答案】(1)y=x+2；m=6；(2)P点坐标为（，）或（，）；(3)Q点坐标为（，4）或（，4）或（4，4）【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）分点P在线段FA上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分别求P点坐标即可；（3）设P（t，t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．【详解】（1）解：∵A（-2，3）在y=x+m上，∴-3+m=3，∴m=6，∴y=x+6，设直线l2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y=x+2；（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），∵C（4，0），∴S△DBC=×4×4=8>6，S△FBC=×8×2=8>6，∴点P一定在线段FD上，当点P在线段FA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=×2+×2×4-×4×=6，整理得=-a-1，即=-a-1或=a+1，解得：a=-或a=-5(舍去)，∴点P的坐标为（-，）；当点P在线段DA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），S△PBC=S△POC-S△POB-S△COB=×4×-×2-×2×4=6，整理得=5-a，即=5-a或=a-5，解得：a=-或a=-11(舍去)，∴点P的坐标为（-，）；综上所述：P点坐标为（-，）或（-，）；（3）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），∴E（0，4），∴直线l3的解析式为y=4，设P（t，t+6），Q（m，4），①当PQ为平行四边形的对角线时，，解得，∴Q（，4）；②当PB为平行四边形对角线时，，解得，∴Q（-，4）；③当PC为平行四边形的对角线时，，解得，∴Q（4，4）；综上所述：Q点坐标为（，4）或（-，4）或（4，4）．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．(1)求；(2)若线段AC上存在一点P，使得，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．【答案】(1)(2)（-2，2）(3)（3，-3），（5，3），（-7，7）【分析】（1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，求出B和点C坐标，进一步即可求出△ABC的面积；（2）根据△ABP的面积，可得△BCP的面积，设点P（p，3p+8），根据△BCP的面积列方程，求解即可；（3）根据平行四边形的判定以及平移的性质求解即可．【详解】（1）解：将点代入直线，得，解得，直线，将点代入直线，得，解得，直线，当时，，点坐标为，当时，，点坐标为，，，的面积为；（2），的面积，点在线段上，如图所示：设点，的面积，，点的坐标为；（3），，，设点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：①以，为边，此时，且，则点，②以，为边，此时，且，则点，③以，为边，此时，且，则点，综上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，，．【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，动点问题，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．（1）求点B的坐标；（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点B（0，3）；（2）S＝m2﹣m；（3）点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）S＝PQ•|xP|，即可求解；（3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）将点A的坐标（4，0）代入y＝﹣x+n得0＝﹣×4+n解得：n＝3，故直线的表达式为：y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）；（2）点C为线段AB的中点，则由中点公式得，点C（2，），则直线OC的表达式为：y＝x，设点P（m，﹣m+3），则点Q（m，m），当点P在y轴右侧时，S＝PQ•|x|＝（m+m﹣3）•m＝m2﹣m；当点P在y轴左侧时，同理可得：S＝m2﹣m；故S＝m2﹣m；（3）设P（m，﹣m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；①当OB是矩形的边时，则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；②当OB是矩形的对角线时，由中点公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①，由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②，联立①②并解得：，故点N（﹣，）；综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点，直线与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）如图2，点在线段上，连接，过点的直线交轴负半轴于点交轴正半轴于点，请问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（3）当点在直线上运动时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=3x+6；（2）是定值，；（3）存在，E（1，1）【分析】（1）将交点代入直线，求出点的坐标，利用点，的坐标，用待定系数法求出直线的解析式；（2）把和看作是等高不等底的两个三角形，则，即可求出点的坐标；由问题围绕着、，点、恰为直线与坐标轴的交点，则借助函数解析式，即可得出和长度，从而得的值；（3）点在直线上运动时，只有在之间时，才能得到菱形，因而借助菱形四边相等的性质，利用坐标求出边长和的长度，令其相等，即可求出点的坐标．【详解】解：（1）由题可将点代入直线，得：，解得：，；设直线的解析式为：，将点，代入得，，解得，，直线的解析式为：．（2）是定值．理由如下：，，和是等高不等底的三角形，，，，的横坐标为：，纵坐标为：，即，；设的函数解析式为：，将点代入得，，，则，，令，得，则，．（3）存在．如图，设上的点，则，点的坐标为，四边形为菱形，，，，，，，解得：，点在第一象限，，则，点的坐标为．【点睛】本题中，（1）考查了待定系数法的应用，较简单；（2）考查了函数解析式与坐标轴交点的坐标特点，体现数学的转化思想，本问关键在于从面积比入手，转化成线段比，从而得出与的长度；（3）考查了菱形的性质、在平面直角坐标系中求线段的长度等，体现了数形结合思想，考查了几何与代数的综合运用．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．（1）求直线BC的解析式；（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2），；（3），或，或，【分析】（1）由旋转可知，，，，过点作轴于点，求出，，再由待定系数法求直线的解析式；（2）设，已知可知、为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求，；（3）设，，，分三种情况讨论：①当、为平行四边形的对角线时，，；②当、为平行四边形的对角线时，，；③当、为平行四边形的对角线时，，．【详解】解：（1）轴绕点顺时针旋转交轴于点，，点，，，，，点绕点顺时针旋转得到点，，，过点作轴于点，，，，，，设直线的解析式为，则有，解得，；（2）设，四边形为平行四边形，、为平行四边形的对角线，的中点，，的中点，，，，，，，；（3）在直线上，在轴上，设，，，①当、为平行四边形的对角线时，中点的横坐标为，中点的横坐标为，，，，；②当、为平行四边形的对角线时，中点的横坐标为，中点的横坐标为，，，，；③当、为平行四边形的对角线时，中点的横坐标为，中点的横坐标为，，，，；综上所述：点的坐标为，或，或，．【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用平行四边形的性质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键．12．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y2＝mx＋n（m，n为常数）与x轴交于点B，且OB∶OA＝1∶3．(1)求直线y2的函数表达式；(2)点P是直线y2上一动点，当S△PAC＝2S△ABC时，求点P的坐标；(3)如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或【分析】（1）先求出点C，点B的坐标，代入解析式即可解答；（2）先求出的面积，再由三角形的面积公式解答；（3）先求出∠ACQ=45°，由SAS可证明，可得，QN=AO=12，即可求解．（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，（2）设或（3）如图，延长AM交y轴于H，直线AM的解析式为当x=0时，y=6，直线MC的解析式为当y=0时，x=-6如图，当点Q在AC上方时，连接QN，当点在AC下方时，点A是的中点，综上所述，点Q的坐标为：或．【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程的两个根，点B是y轴上一动点，以AC为对角线作平行四边形ABCD．(1)求直线AC的函数解析式；(2)设点，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)6(3)点P的坐标为或或（3，0）或【分析】（1）先解一元二次方程，求出点A（-3，0），点C（0，4），然后利用待定系数法求AC解析式即可；（2）过B作BF⊥AD于F，根据两点距离公式先求，然后利用平行四边形面积公式可得，根据垂线段最短，得出BD≥BF，当D与点F重合时，BD最短，利用BE∥OA，截线段成比例求出CB=OB=即可；（3）当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，根据勾股定理列方程求出，根据两点距离公式求出AB=，根据△ABP为等腰三角形分类，以点A为圆心，AB长为半径画弧的P1，P2，以点B为圆心AB长为半径画弧得出P3，AB的垂直平分线以x轴交于P4,利用线段和差，勾股定理求解即可∴点P的坐标为或或（3，0）或．【解析】（1）解：OA，OC的长是方程的两个根，∴因式分解得，∴，∵，∴OA=3，OC=4，∴点A（-3，0），点C（0，4），设直线AC的解析式为．将点，代入函数中，得，解得，∴直线AC的解析式为；（2）解：过B作BF⊥AD于F，∵点，四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴，∴，∴，∵BF⊥AD，∴BD≥BF，当D与点F重合时，BD最短，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE=CE，∵BE在BF上，BE∥OA，∴，∴CB=OB=，∴S=3×2=6，∴当BD取得最小值时，s的值为6；（3）解：当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴AB=，BC=|4-m|，∴，∴，解得，∴AB=，∵点P在x轴上，△PAB为等腰三角形，点P在点A的左侧，PA=AB=，OP=PA+OA=，点P（，0），点P在点A右侧，PA=AB=，OP=AB-OA=，点P（，0），点P在点A右侧，PB=AB=，BO⊥AP，∴OA=OP=3，点P（3，0），当点P在AB的垂直平分线上时，AP=BP，根据勾股定理，即，解得OP=，∴点P的坐标为或或（3，0）或【点睛】本题考查解一元二次方程，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握解一元二次方程方法，勾股定理，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线截线段成比例，菱形的性质，等腰三角形的性质是解题关键．14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x＋b(b>0)分别与x，y轴相交于A，B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．(1)若b＝6，连接BC交x轴于点D．①求点C的坐标；②点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；(2)P为x轴上的动点，连接PB，PC，当的值最大时，点A到直线PC的距离为6，求此时直线PC的函数表达式．【答案】(1)①；②(-17，0)或(13，0)(2)【分析】（1）①由题意可知直线AB的解析式为y＝3x＋6．从而可确定A(-2，0)，B(0，6)，即得出OA=2，OB=6．过点C作轴于点H．由旋转的性质结合题意利用“AAS”易证，即得出，，从而可求出，即C(4，-2)；②根据题意可求出直线AC的解析式为，直线BC的解析式为，从而得出D(3，0)．设E(a，)，再分类讨论：ⅰ当点E在x轴上方时，根据平行四边形的性质即得出，即，求出a，即可求出F点坐标；ⅱ当点E在x轴下方时，过点E作轴于点G．由作图可知，再根据平行四边形的性质，即可利用“AAS”证明，得出EG=BO=6，从而得出，即，求出a，即可求出F点坐标；（2）作点B关于x轴的对称点．连接、，延长交x轴于点．由题意可知B(0，b)，A(，0)，C(，)．由所作辅助线可知，，(0，-b)．根据三角形三边关系可知，即得出，即当点P与点重合时，最大．利用待定系数法可求出直线的解析式为y=x-b．即得出(b，0)，从而可得出，进而得出，．最后由结合等腰直角三角形的性质和勾股定理可列出关于b的等式，解出b即得出答案．（1）①∵b＝6，∴直线AB的解析式为y＝3x＋6．∴A(-2，0)，B(0，6)，∴OA=2，OB=6．如图，过点C作轴于点H．∵，,∴．由旋转可知AC=AB，又∵，∴(AAS)，∴，，∴，∴C(4，-2)；②设直线AC的解析式为，∴，解得：，∴直线AC的解析式为．同理可得：直线BC的解析式为，∴D(3，0)．∴可设E(a，)，分类讨论：ⅰ当点E在x轴上方时，如图，∵四边形BDFE为平行四边形，∴轴，∴，即，解得：，∴E(-20，6)，∴F(-17，0)；ⅱ当点E在x轴下方时，如图，过点E作轴于点G．由作图可知．∵四边形BDFE为平行四边形，∴，，∴．∵，∴，∴(AAS)，∴EG=BO=6，∴，即，解得：，∴E(16，-6)，∴F(13，0)；综上可知：点F的坐标为(-17，0)或(13，0)；（2）如图，作点B关于x轴的对称点．连接、，延长交x轴于点．由题意可知B(0，b)，A(，0)，由（1）得C(，)．由所作辅助线可知，，(0，-b)．∵，∴，∴当点P与点重合时，最大．设直线的解析式为y=mx+n，∴，解得：∴直线的解析式为y=x-b．∴(b，0)．∴，∴，．∵点A到直线PC的距离为6，即，∴，解得：，∴直线PC的函数表达式为．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，旋转的性质，全等三角形