第2讲初等函数及性质-江西省赣州市厚德外国语学校2021年强基计划拔尖人才选拔培优数学讲义

1、映射对于任意两个集合，依对应法则，若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射，记作其中称为像，称为原像。如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射.如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射.如果既是单射又是满射，则是到上叫做一一映射.如果是从集合到集合上的一一映射，并且对于中每一个元素，使在中的原像和它对应，这样所得的映射叫做的逆映射，记作2、函数方程问题（1）代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数例.设求的解.（【解析】分别用带入）（2）待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.例.已知是一次函数，且，求.（【解析】设求解）3、函数对称性以及周期性1）已知函数，若函数图像与图像关于：直线对称，则；直线对称，则；点对称，则。2）已知函数图像关于：直线对称，则；点对称，则，即。3）常用：若函数图像与图像关于：轴对称，则；轴对称，则；原点对称，则。4）若，则图像关于直线对称；若，则图像关于点对称；若与关于直线对称；5）若，则函数是以为周期的函数。6）若，则，即；若，则，即；若，则，即。7）若关于直线和对称，则为以为周期的周期函数；若关于点和对称，则为以为周期的周期函数；若关于点和对称，则为以为周期的周期函数。4、抽象函数问题的解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号极其满足的条件的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。（1）函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。（2）特殊化方法①在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将换成或将换成其他字母等；②在求函数值时，可用特殊值代入；③研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为解答综合题提供思路和方法。5、函数的迭代一个函数的自复合，叫做迭代。我们用表示的次迭代函数。即，如果则称有迭代周期迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若的图像关于直线对称，则一定有.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。迭代周期是3；迭代周期是4；6、凹凸函数设为定义在区间上的函数，若对上任意两点、和实数总有则称为上的凸函数（有时也称下凸函数）。反之，如果总有不等式则称则称为上的凹函数（有时也称上凸函数）。特别地，时，有（凸函数）或（凹函数）。如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义以外，还有下面的定理：设为上二阶可导函数，则为上的凸（凹）函数的充要条件是凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若为上的凸函数，则对任意，且则1.（2019浙大）14.定义在上的偶函数满足，求的值。解析：由得，令，则，则，所以是以2位周期的函数，也是偶函数，则，且，所以，即，且因为，得，所以。2.2018联赛A，B9、已知定义在上的函数为，设是三个互不相同的实数，满足，求的取值范围。★解析：不妨设，由于在上递减，在上递增，在上递减，且，，结合图像知：，，，且。由得，即，此时，又，由得，所以。3.(2018清华)29.若函数满足：对任意的三角形的三边长，也能构成三角形的三边长，则称函数具有性质，则下列说法正确的是（AB）A.具有性质B.不具有性质C.具有性质D.具有性质解析：不妨设，则，即，显然，即具有性质，所以A正确；对B，若取，显然，即不具有性质，故B正确；对C，取，显然，即不具有性质，故C错；对D,取，显然有，即不具有性质，故D错。综上，选AB。4.(2018北大博雅)8.用表示不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，用表示当时，函数的值域中的元素的个数，则使得最小的的值为（D）A.B.C.D.前三个答案都不对解析：令，（且，）则当时，；当时，，则有个值。所以，所以当或时取等号，而，且，所以时，取最小为，故选D。5.（2018中科大）3.设，则的最小值为答案：【解析】（当且仅当）6.（2018中科大）6.已知定义在上的函数是单射，对任意，有，，则答案：【解析】令，则，由得，即，由是单射得，即，，所以7.(2017北大博雅)6.已知，定义，，，则的值等于（C）.A. B. C. D.前三个答案都不对解析：列举可得是的一个迭代周期，又，所以，选C.8.2016B4、已知,均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为◆答案：★解析：由条件知①②由图像的对称性，可得结合①知，③由②、③解得从而另解：因为，①所以②因为的图像关于直线对称，所以③又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，，，从而④将③、④代入①，再移项，得⑤在⑤式中令，得⑥由②、⑥解得于是9.（模拟题）已知是定义在上的不恒为的函数，且对于任意的，有.（1）求的值.（2）判断的奇偶性，并证明你的结论.（3）若，求数列的前项和.【解析】（1）令，则；令，则，。（2）令则再令则故，即是奇函数。（3）当时，.令则有故，故又因为故..10.求函数的最小值解析：当时，，当时，，递减；当时，，递增；所以当时，取得最小值。1.（2006复旦）设且下列不等式中成立的是（）①②③④①③①④②③②④【解析】选B这是一道和凸函数有关的问题，分别画出,的草图。由图像可知是下凸函数，是上凸函数，故选B2.(2018复旦)1.设，求函数的最小值；解析：，令，则即。3.(2015清华)4、设函数的定义域为，且满足：①；②。则为（AC）A.奇函数B.偶函数C.减函数D.有界函数解析：②中，令，得，令，得得为奇函数。当时，由于，所以。故函数在上递减，加上奇函数，知函数的定义域内递减，故选AC。4.(2014北约)3.已知函数满足，，，则（A）A.B.C.D.解析：观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设代入求得从而5、（2009清华）求证：【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数先证明它是凸函数。事实上故是上的凸函数，从而证毕！6、（2007交大）已知函数对于定义若则.【解析】本题考查迭代周期问题。计算得故以6为周期.注：条件可以不用。7、（2007北大）求【解析】故，所以.8.设且，则的值有（）【解析】因为，故为偶函数.在时，有.当时，恒有故选！9.(2018北大博雅)18.的最小值所属区间为（C）A.B.C.D.前三个答案都不对解析：注意到，记，则即为动点到定点和的距离之和，显然（当且仅当共线时取等号）。接下来，记，，则即为动点到定点的距离之和，所以（当且仅当共线即，即取等号），所以的最小值为，故选C。10.(2016清华)10.定义在上的函数，满足：①；②对任意实数，；③存在大于零的常数，使得，且当时，，。则（ABD）A.B.当时，C.函数在上无界D.任取，解析：令，得，，又得，故A对；令，得，当时，，，所以，，所以，，故，B对；又，知函数在上有界，C错；令得，D对；综上，选ABD。11、（模拟题）已知是定义在上的函数，且（1）试证明是周期函数；（2）若试求【解析】（1）又条件可知故用换上式的，得所以，即是以8为周期的周期函数。（2）.1.（2019上海交大）11.对定义域内任意实数，若满足，则称为凸函数，下列函数是凸函数的是（）A.B.C.D.解析：作图可知，AD满足。2.（2019上海交大）1.已知函数，且，求的值。解析：因为，则。3.(2018复旦)14.若函数满足（），求解析：分别取及可以解得。4.(2017北大自招)2.函数在区间上的最大值与最小值的差位于区间是（B）A.B.C.D.前三个都不对解析：展开成分段函数可得最大值为，最小值为，得差为，故选B。5.（2005交大）函数的最大值为最小值为求实数、.【解析】即.显然，这个关于的方程必有实数根，从而有。根据题意，故，所以解得.6、（2002交大）函数有且求满足的关系；证明：存在这样的使【解析】因为有且所以，且（因为），故即令而故在之间必有一解，所以存在，是的7、（2007复旦）若且则不是与无关的常数【解析】选D.由得故8、（2005复旦）定义在上的函数满足，则【解析】令令9、设且，则的值有（）【解析】因为，故为偶函数.在时，有.当时，恒有故选！10、（模拟题）求函数在区间上的值域.【解析】，值域为11、（模拟题）已知是一次函数，且.求【解析】设则有.依此类推有：由题设可得：故解得.所以或.12、（2008交大）已知函数且没有实数根.那么是否有实数根？并证明你的结论.【解析】法一：利用，得到，故没有实数根（本方