七年级下- 2立方根（解析版）

七年级下册数学《第六章实数》6.2立方根知识点一知识点一立方根、开立方的定义◆1、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.◆2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.◆3、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算.知识点二知识点二立方根的性质◆1、立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个.◆2、立方根的两个重要性质：①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.②.◆3、平方根与立方根的区别和联系：内容平方根立方根区别性质正数两个，互为相反数一个，为正数000负数没有平方根一个，为负数表示方法被开方数的范围非负数可以为任何数联系运算关系都与相应的乘方运算互为逆运算0的方根0的立方根和平方根都是0知识点三知识点三用计算器求一个数的立方根的方法一般计算器设有eq\x(\r(3,))键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按eq\x(\r(3,))键，再输入被开方数，最后按eq\x(＝)键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按eq\x(2ndF)键，再按eq\x(\r(3,))键，再输入被开方数，最后按eq\x(＝)键．题型一立方根的概念和性质题型一立方根的概念和性质【例题1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（）A．3的平方根是3 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可．【解答】解：A、3的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意；B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义．解题技巧提炼1、一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【变式1-1】填空：（1）64的立方根是；（2）−1125的立方根是（3）26的立方根是；【分析】（1）利用43＝64得到64的立方根；（2）利用（−15）3=−1（3）利用（22）3＝26得到26的立方根；【解答】解：（1）64的立方根是4；（2）−1125的立方根是（3）26的立方根是4；故答案为：（1）4；（2）−1【点评】本题考查了立方根：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．【变式1-2】求下列各数的立方根．（1）125；（2）0.027；（3）33【分析】根据立方根的定义可求解．【解答】解：（1）∵53＝125，∴3125（2）∵（0.3）3＝0.027，∴30.027（3）∵338∴338的立方根是3【点评】本题考查了立方根，关键是熟记定义求解．【变式1-3】（2021春•阳信县月考）3(−8A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【分析】根据立方根的定义即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2故选：D．【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．【变式1-4】（2022春•仓山区校级月考）−210A．−83 B．−43 C．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵−43的立方等于∴−6427的立方根等于故选：B．【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【变式1-5】（2022春•临高县期末）若a2＝16，3b=−2，则a+A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可．【解答】解：∵a2＝16，3b∴a＝±4，b＝﹣8．∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4；当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12．故选：C．【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键．【变式1-6】求下列各式的值：（1）333；（2）（3）（3−9）3；（4）3【分析】根据立方根的定义计算．【解答】解：（1）原式＝3；（2）原式＝0.2；（3）原式＝﹣9；（4）原式=−7【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a【变式1-7】（1）求323，3(−2)3，3(−3)3，（2）求（38）3，（3−8）3，（327）3，（3−27）3，（30）3的值．对于任意数a【分析】（1）直接利用立方根的性质计算得出答案；（2）直接利用立方运算法则得出答案．【解答】解：（1）323=2，3(−2)3=−故对于任意数a，3a3（2）（38）3＝8，（3−8）3＝﹣8，（327）3＝27，（3−27）3＝﹣27，（对于任意数a，（3a）3＝a【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．【变式1-8】（2021秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若31−4x与32x+3互为相反数，求【分析】（1）根据题意可以列出一个例子来说明结论是否成立；（2）根据结论成立可以得到1﹣4x+2x+3＝0，可以求得x的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）举例不唯一．因为2+（﹣2）＝0，而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8+（﹣8）＝0，所以结论成立．所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的．（2）由（1）验证的结果知，1﹣4x+2x+3＝0，所以x＝2，所以2x−1=【点评】本题考查实数的运算、立方根，解答本题的关键是明确题意，利用相反数和立方根的知识解答．题型二开立方的运算题型二开立方的运算【例题2】求下列各式的值：（1）3−216=（2）31−0.973=（3）−35−10（4）364−81=【分析】（1）原式利用立方根定义计算即可求出值；（2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值；（3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值；（4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=3（2）原式=3（3）原式=−3（4）原式＝4﹣9＝﹣5．故答案为：（1）﹣6；（2）0.3；（3）−5【点评】此题考查了实数的运算，立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．解题技巧提炼开立方时，被开方数可以是正数、负数或零；（2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根.【变式2-1】（2022春•息县期末）下列算式中错误的是（）A．−0.64=−0.8 B．±1.96=±1.4 C．【分析】根据平方根和立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、−0.64B、±1.96=C、925D、3−故选：C．【点评】本题考查了对平方根和立方根的应用，主要考查学生的计算能力．【变式2-2】求下列各式的值：（1）3216；（2）−327【分析】（1）根据立方根定义求出即可；（2）根据立方根定义求出即可；（3）根据立方根定义求出即可．【解答】解：（1）3216（2）−3（3）−3【点评】本题考查了对立方根定义的应用，主要考查学生的计算能力．【变式2-3】求下列各式的值：（1）31−（2）337（3）3−1−（38【分析】（1）直接利用立方根的性质化简得出答案；（2）直接利用立方根的性质化简得出答案；（3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）31−（2）337（3）3−1−（3＝﹣1﹣6÷6＝﹣1﹣1＝﹣2．【点评】此题主要考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键．题型三开立方运算中的小数点移动规律题型三开立方运算中的小数点移动规律【例题3】（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…（1）表格中x＝；y＝；（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知10≈3.16，则1000≈②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝（3）拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；（2）①1000≈31.6，a（4）z＝0.012，故答案为：0.012．【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．解题技巧提炼利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位.【变式3-1】已知31.51=1.147，315.1=2.472，A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：31510故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．【变式3-2】（2022春•开州区期中）已知30.342≈0.6993，33.42≈1.507，则3【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位得出即可．【解答】解：∵30.342∴30.000342故答案为：0.06993．【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关键．【变式3-3】（2022春•雨花区期末）已知31.12≈1.038，则31120≈【分析】1120是由1.12将小数点向右移动3位所得，所以开立方结果的小数点向右移动1位．【解答】解：31120=3故答案为：10.38．【点评】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍．【变式3-4】（2021春•梁子湖区期中）已知32.019≈1.2639，320.19≈2.7629，则3【分析】直接利用立方根的性质结合已知数据得出答案．【解答】解：∵32.019∴3=3=−1≈﹣0.12639．故答案为：﹣0.12639．【点评】此题主要考查了立方根，正确掌握相关定义是解题关键．【变式3-5】如果368.8=4.098，3a=40.98，则【分析】根据被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点移动一位得出即可．【解答】解：∵368.8∴a＝68800．故答案为：68800．【点评】本题考查了立方根的应用，关键是能得出规律（被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点移动一位）．【变式3-6】（2022秋•南岗区校级期中）若x=3135，y=30.135，则x与y的关系是【分析】根据立方根的性质即可求解．【解答】解：x==3=3＝10×3∴y=3∴x＝10y，故答案为：x＝10y．【点评】本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键．【变式3-7】（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1）2≈1.414，200≈14.14，0.03≈0.1732，3≈1.732，由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2）已知5≈2.236，50≈7.071，则0.5≈，500≈（3）31=1，31000小数点变化的规律是：；（4）已知310=2.154，3100=4.642，则310000=【分析】（1）根据被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律得出答案；（2）根据（1）的规律得出答案；（3）类推出一个数的小数点与其立方根的小数点的移动规律得出结论；（4）应用（3）的结论进行计算即可．【解答】解：（1）由被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律可知，被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，故答案为：2，右，1；（2）由（1）的规律可得，0.5≈0.7071，500故答案为：0.7071，23.26；（3）由（1）的结论类推可得，一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位，故答案为：一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位；（4）由（3）的结论得，310000−3故答案为：21.54，﹣0.4642．【点评】本题考查算术平方根、立方根，掌握一个数的小数点向右（或左）移动的位数与其算术平方根、立方根的小数点向右（或左）移动的位数的变化规律是正确解答的关键．题型四利用开立方解方程题型四利用开立方解方程【例题4】求下列各式中的x的值．（1）x3﹣216＝0；（2）（x+5）3＝64；（3）（12x+1）3【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程．【解答】解：（1）x3﹣216＝0x3＝216x=x＝6；（2）（x+5）3＝64x+5=x+5＝4x＝﹣1；（3）（12x+1）312x+112x12x＝2．【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法．解题技巧提炼先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值.【变式4-1】（2022秋•沈阳月考）解方程：x3﹣3=3【分析】根据立方根的定义即可求出答案．【解答】解：x3﹣3=3x3=27x=3【点评】本题考查立方根的的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义．【变式4-2】（2021春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24．【分析】先整理成x3＝a的形式，再直接开立方解方程即可．【解答】解：3（x﹣1）3＝24，（x﹣1）3＝8，x﹣1＝2，x＝3．【点评】此题主要考查了利用立方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便．【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）解方程：12【分析】根据立方根的定义解决此题．【解答】解：∵12（x﹣1）3∴（x﹣1）3＝8．∴x﹣1＝2．∴x＝3．【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．【变式4-4】（2021春•汉滨区期中）求式子中x的值：13（x﹣1）3【分析】根据立方根的定义进行解答便可．【解答】解：（x﹣1）3＝﹣27，x﹣1＝﹣3，x＝﹣2．【点评】本题主要考查了立方根的定义，运用立方根的定义求值是解题的关键．【变式4-5】解方程：64（x+1）3﹣125＝0．【分析】直接利用立方根的定义计算得出答案．【解答】解：方程整理得：（x+1）3=125开立方得：x+1=5解得：x=1【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【变式4-6】解方程：（5x﹣2）3+125＝0．【分析】利用立方根的定义得到5x﹣2＝﹣5，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵（5x﹣2）3+125＝0，∴（5x﹣2）3＝﹣125，∴5x﹣2＝﹣5，∴5x＝﹣3，∴x=−3【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a【变式4-7】（2022秋•锡山区期中）解方程：3+（x+1）3＝﹣5．【分析】根据立方根的定义解决此题．【解答】解：∵3+（x+1）3＝﹣5，∴（x+1）3＝﹣8．∴x+1＝﹣2．∴x＝﹣3．【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．题型五平方根与立方根的综合题型五平方根与立方根的综合【例题5】（2022春•盐池县期末）已知x2＝9，y3=−18，且xy＜0，求2x+4【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．【解答】解：∵x2＝9，y3=−1∴x＝±3，y=−1∵xy＜0，∴x＝3，y=−1∴2x+4y＝2×3+4×（−1∴2x+4y的算术平方根是：2．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根，能够正确得出x，y的值是解题的关键．解题技巧提炼先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根.【变式5-1】（2022秋•菏泽月考）若|x﹣1|+（y﹣2）2+z−3=0，则x+y+z的立方根是【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算后根据立方根的定义解答即可．【解答】解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+z−3∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0，解得x＝1，y＝2，z＝3，∴x+y+z＝1+2+3＝6，∴x+y+z的立方根是36故答案为：36【点评】本题考查了立方根和非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式5-2】（2022秋•峄城区校级月考）若a−3+（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为【分析】根据算术平方根、偶次幂的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵a−3+（b﹣5）2∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，即a＝3，b＝5，∴a+b＝3+5＝8，∴a+b的立方根为38故答案为：2．【点评】本题考查非负数的性质以及立方根，理解算术平方根、偶次幂的非负性以及立方根的定义是正确解答的前提．【变式5-3】（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．【分析】根据题意可求出a＝16，根据题意得2a﹣b+2＝27，再将a＝16代入可求出b＝7，代入代数式进行计算即可．【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49，解得，a＝16，∵2a﹣b+2的立方根是3，∴2a﹣b+2＝27，将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，解得b＝7，∴a﹣b＝9．【点评】本题考查了平方根，立方根，代数式求值，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．【变式5-4】（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方根．【分析】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8．∴b＝4，a＝16．∴2a+b＝32+4＝36．∴2a+b的算术平方根是36=【点评】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握平方根、立方根以及算术平方根的定义是解决本题的关键．【变式5-5】（2022春•鹿邑县月考）已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2a+12【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出a+4b的值，再根据立方根的定义解答即可．【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝25，3a+b﹣1＝36，解得a＝13，b＝﹣2，所以﹣2a+12b＝﹣2×13∴﹣2a+12【点评】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．【变式5-6】（2022春•金乡县期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．【分析】根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，∴2a﹣1＝9，即a＝5；∵3a+b﹣9的立方根是2，∴3a+b﹣9＝8，即b＝2，∵c是17的整数部分，而4＜17∴c＝4，∴a+2b+c＝13，答：a+2b+c的值为13．【点评】本题考查估算算术平方根，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算算术平方根的方法是正确解答的前提．题型六立方根的应用题型六立方根的应用【例题6】（2021秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】利用立方根定义求出棱长即可．【解答】解：根据题意知，每个小正方体木块的棱长为3648=故选：A．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．解题技巧提炼给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值.【变式6-1】老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？【分析】根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解．【解答】解：96÷6＝16（cm2），16=4（cm4×4×4＝64（cm3），64+665＝729（cm3），3729=9（9×9×6＝486（cm2）．答：它的表面积是486cm2．【点评】此题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答．【变式6-2】（2022春•韩城市期末）一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，其中一个小正方体木块的棱长是多少？【分析】设小正方体的棱长为xcm，根据题意得8x3＝125，解方程可求正方体小木块的棱长．【解答】解：设小正方体的棱长为xcm，根据题意得，8