（新人教版）数学八年级下册第17章 勾股定理 大单元教学教案

17.1勾股定理（单元教学设计）

一、【单元目标】

1.本节首先让学生探索发现直角三角形三边之间的关系-两直角边的平方和等于斜边的平方，然后证明上述

关系成立，最后让学生运用勾股定理解决问题.

2.让学生直接发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，有一定的难度，因此，教科书先让学生

发现以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积之间的关系.

3.从等腰直角三角形入手，容易发现数量关系，教科书结合毕达哥拉斯的传说故事，可以提高学生学习的兴

趣，另外其中的图案对学生发现规律也有一定的提示作用.

二、【单元知识结构框架】

在Rt&4BC中，ZC=90°,a,b用勾股定理解

内容》决实际问题

为直角边，c为斜边，则有

勾股定理勾股定理解决“HL”判定方法

在直角三角形中的应用证全等的正确性问题

|注意看清哪个角是直角

用勾股定理解决点的

已知两边没有指明是直角边

还是斜边时一定要分类讨论距离及路径最短问题

在数轴上表示

出无理数的点

通常与网格求

利用勾股定理利用勾股定理解

线段长或面积

作图或计算决网格中的问题

结合起来

利用勾股定理解

通常用到

决折叠问题及其

方程思想

他图形的计算

八年级学生的数学推理能力已经在学习完七年级的课程后有了一定的基础，有强烈的求知欲和表现

欲，希望独立解决问题，但是他们对于数学问题的理解还需要加以正确的引导，容易有挫败感，基于这种

情况，应该给他们创造探索与交流的空间，并加以正确的引导。启迪智慧，培养能力。

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约3课时

教学重点：定理的探索证明

教学难点：对勾股定理的理解与应用，教会学生运用勾股定理解决简单的实际问题。

五、【教学问题诊断分析】

勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个特殊的结论,在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三

角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系，但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一

般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大

的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积，因此，在教学中需要先

引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考去网格背景下的正方形的面积关系，再把这种关系

表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理.

17.1勾股定理（第1课时）

L【情景引入】

前面我们共同学习了三角形以及等腰三角形的有关内容，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角

形，它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角

形，它有哪些特殊的性质呢?让我们一起研究吧！

问题1国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，2002年

在北京召开了第24届国际数学家大会图1就是大会会徽的图案，你见过这个图案吗?它由哪些我们学习过

的基本图形组成?这个图案有什么特别的含义?师生活动:教师引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形

等，并说明直角三角形的全等的关系，指出通过今天的学习，就能理解会徽图案的含义.

设计意图:本节课是本章的起始课，重视引言教学，从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入

课题

2.【探究勾股定理】

问题2看似平淡无奇的现象有时却隐含着深刻的数学道理。相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家

作客，发现朋友家用地砖铺成的地面（图2）反映了直角三角形三边的某种数量关系.三个正方形A,B,C的

面积有什么关系？

图2

师生活动:学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律。通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割

补的方法将小正方形A,B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得到结论:小正方形A,B的面积之和等

于大正方形C的面积.

追问：由这二个正方形A,B,C的边长构成的等腰直角二角形二条边长之间有怎样的特殊关系？

师生活动：教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方

和等于斜边的平方.

设计意图:从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰

三角形边长的一般化）

问题3在网格中的一般的直角三角形（图3）,以它的三边为边长的三个正方形A,B,C是否也有类似的面积

关系？（在图3的方格纸中，每个小方格的面积均为1.）师生活动:分别求出A,B,C的面积并寻找它们之间

的关系.

追问：正方形A,B,C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系?师生活动:学生独立思考后小组讨

论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，如

图4,图5所示，教师在学生回答的基础上归纳方法-割补法.可以求得C的面积为13,教师引导学生直接由

正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

设计意图：网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数，

进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法.

问题4通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？

222

师生活动:教师引导学生得到猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a+b=c.

设计意图:在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提供

了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成.

问题5以上这些直角三角形的边长都是具体的数值.一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a,

6,斜边长为c,如图6所示，刚刚提出的猜想仍然正确吗？

19

师生活动:学生通过独立思考，用a,b表示c的面积.如图7,用“害『’的方法可得c?=4*5曲+3-。）-;

1

如图8,用“补”的方法可得=0—。）7一—4x]ab.经过整理都可以得到/+尸=。2.即直角三角形两直

角边的平方和等于斜边的平方

设计意图:从网格验证到脱离网格，通过计算推导出一般结论.

问题6历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究,下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，

并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理.

师生活动:教师展示图9,并介绍:这个图案是3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称

它为赵爽弦图，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，中间的部分

是一个小正方形（黄实），我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股

定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究.

设计意图:通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维;

使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想，通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对

勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的

自信心.

3.【课本练习】

1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.

(1)己知a=6,c=10,求6；

【答案】b=8

(2)己知a=5,为12,求c；

【答案】c=13

(3)己知c=25,Z?=15,求a.

【答案】a=20

2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,

9,12,求最大正方形E的面积.

1ZL_

解：根据图形正方形E的边长为：V122+162+92+122=25,

2

故E的面积为:25=625

17.1勾股定理(第2课时)

1.【情景引入】

1.回顾勾股定理的概念.

2.在中，ZA,/B,/C的对边为a,b,c,ZC=90°.

(1)已知。=3,b=4,则c=5；

(2)已知c=25,6=15,则a=20:

(3)已知c=19,a=l3,则b=8小：(结果保留根号)

(4)已知a:b=3:4,c=15,贝Ub=12.

口200nlr

-----_/

A

3.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点2200m,结果他在水

中实际游了520m,则该河流的宽度为480m.

2.【探究新知】

教材「25例L

提出问题：

(1)木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？

(2)如果木板斜着拿，能否通过门框？

(3)要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？

学生完成并交流展示.

3.【知识归纳】

应用勾股定理的前提是在三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构造直角三角形，

再利用勾股定理求未知边的长.

注意：①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确

规定时，要分类讨论，以免漏解；

②求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间，—

线段一最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；

③用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积相等.

4.【例题与练习】

例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么？

F----1m

分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要

AC的长大于木板的宽就能通过.

解：在RtZkABC中，根据勾股定理，

22222

AC=AB+BC=1+2=5,AC=45«2.24

因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.

例2如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0为2.4m,如果梯子的顶端A沿

墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗？

解：在RtZkABC中，根据勾股定理得

22222

OB=AB-0A=2.6-2.4=1,

：.OB=1.

在RtZkCOZ)中，根据勾股定理得

22222

OD=CD-OC=2.6-(2.4-0.5)=3.15,

OD-V345»1.77,

:.BD=OD-OB^1.77-1^0.77

二梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m,而是外移约0.77m.

练习

1.如图，池塘边有两点48点C是与历1方向成直角的/C方向上一点，测得除60,nlAC=20m.求48

两点间的距离(结果取整数).

解：=<BC2-AC2=V602-202=40V2«57m.

2.如图，在平面直角坐标系中有两点/(5,0)和8(0,4).求这两点之间的距离.

解:由图可知两点之间的距离为AB的长.4B=V42+52=V41.

17.1勾股定理(第3课时)

1.【情景引入】

1.在等腰直角三角形中，直角边为1,斜边为多少？

2.若直角三角形的两直角边分别为吸，1,斜边为多少？

3.同学们，你们会在数轴上作出正吗？

2.【探究新知】

教材尸26~27内容.

提出问题：

(1)你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？

(2)我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上画出表示小的点吗？

(3)你还能在数轴上表示其他无理数吗？表示的依据是什么？

学生完成并交流展示.

3.【知识归纳】

1.用数轴上的点表示无理数：如图，过数轴上表示数。的点A作直线1与数轴垂直，在直线1上截取

AB=b,连接03(点。为原点)，以点。为圆心，02长为半径画弧，交数轴于点P.当点P在正半轴上时，它

表示数'仔田.；当点p在负半轴上时，它表示数—二五正!

2.实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助—勾

股定理作出长为、质①为大于1的正整数)的线段，进而在数轴上找到表示无理数5的点.

4.【例题与练习】

练习_

1.在数轴上作出表示行的点.

解：V717=^/16+1=^/42+12,4万是以4,1为直角边的直角三角形斜边的长，如图，即点C表示近.

01234：C

2.如图，等边三角形的边长是6.求:

⑴高4?的长；

(2)这个三角形的面积.

⑴由题意可知，在&AD3中，

AB=6,BD=-BC=3,ZADB=90°.

2

由勾股定理，

得AD=y/AB?-BD?=762-32=3百.

ABC=~BCAD=]-x6x

（2）S373=9A/3

22

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.

一、单选题

1.（2023上•重庆黔江•八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子

底端到左墙角的距离为0.7m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯

子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m,则小巷的宽为（）.

C.2.5mD.2.7m

【答案】D

【分析】“。氏"右。是直角三角形，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：根据题意可知，是直角三角形,

在RtZkABC中，AC=2.4,BC=0.7,

222

0AB=AC+BC=(2.4)2+(07)2=576+049=625,AB=2.5,

在Rt_AZ。中，AB=AB=2.5,AD=1.5,贝3如=2.25,

0BD=yjAB^AD2=J6.25-2.25=2，

回小巷的宽为CB+=0.7+2=2.7m,

故选：D.

【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键.

2.（2023下•广东广州•八年级统考期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米,

则梯子顶端离地面的距离为（）米.

【答案】B

【分析】根据勾股定理求解即可.

【详解】解：梯子顶端离地面的距离为斤，=4m.

故选：B.

【点睛】此题考查了勾股定理实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理.

3.（2023上•四川成都•八年级统考期末）如图，A,C之间隔有一湖，在与AC方向成90。角的CB方向上

的点8处测得A3=50m,BC=40m,则A,C之间的距离为（）

A.30mB.40mC.50mD.60m

【答案】A

【分析】利用勾股定理，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：NACB=90o,AB=50m,2C=40m,

回AC=y]AB2-BC2=30m；

故选A.

【点睛】本题考查勾股定理的实际应用.熟练掌握勾股定理，是解题的关键.

4.（2023下•湖北武汉•八年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，一架2.5米长的梯子AB,斜靠在

一竖直的墙4。上，这时梯足8到墙底端。的距离为。7米，若梯子的顶端沿墙下滑04米，那么梯足将外

A.1.5B.0.9C.0.8D.0.4

【答案】C

【分析】在中，根据勾股定理即可求40的长度，再求得。。的长度，在Rt^ODC中，利用勾股

定理可求得0C的长度，据此即可求解.

【详解】解；在Rt^ABO中，已知AB=2.5米，03=0.7米，

则AO=V2.52-0.72=2.4（米），

1340=0.4米，

团00=2米，

团在RtZSODC中，AB=CD=25,

回OC=y/cif-OD2=1.5（米），

EIBC=OC—03=1.5-0.7=0.8（米）,

团梯足向外移动了0.8米.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中

求0C的长度是解题的关键.

5.（2023下・河南信阳•八年级校考阶段练习）如图，ABC的顶点A、3、C在边长为1的正方形网格的

格点上，8£＞，4。于点。，则30的长为（）

【答案】C

【分析】根据图形和三角形的面积公式求出一ABC的面积，根据勾股定理求出AC,根据三角形的面积公

式计算即可.

【详解】解:如图，

由勾股定理得，AC="F+22=5

则gx逐xBO=2,

解得BD=逑,

5

故选：C.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等

于斜边长的平方是解题的关键.

6.（2023下•浙江绍兴•八年级统考期末）如图所示，在一张长为10cm,宽为8cm的矩形纸片上，现要剪

下一个腰长为6cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点

在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积不可能是（）

A.12V2cm2B.6君《1?C.18cm2D.24cm2

【答案】D

【分析】根据题意分别画出能满足条件的等腰三角形，找到三角形的底和高，求解即可.

【详解】解：如图，钻=10cm,AD=8cm,

a

o1------1c

当AE=AF=6cni时，/一个腰长为6cm的等腰三角形,

面积为：—x6x6=18cm2,

2

如图，当AE=EF=6cm时，

4c______________B

~~c

DE=AD-AE=2cm,

DF=yjEF2-DE2=4缶m，

面积为」x6x4忘=120cm2,

2

如图，当AP=EP=6cm时，

BF=AB-AF=4cm,

BE=ylEF2-BF2=26cm,

面积为工X6X2出=6&cm2,

2

综上，剪下的等腰三角形的面积不可能是24cm"

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理和三角形面积，利用勾股定理求解是解题的关键.

二、填空题

7.（2023下•福建福州•八年级统考期末）如图，一个圆桶底面直径为5cm,高12cm,则桶内所能容下的

最长木棒为cm.

【答案】13

【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可.

【详解】解：如图，AC为圆桶底面直径，BC为圆桶的高，

ElAC=5cm,BC=12cm,

团AB=VAC2+SC2=V52+122=l3cm，

团桶内所能容下的最长木棒为：13cm.

故答案为：13.

【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理.

8.（2022下•八年级单元测试）在直角三角形中，三个内角度数的比为1:2:3,若斜边为。，则两条直角

边的和为.

［答案］叵q/lllq

22

【分析】由三角形内角和定理求得三角形的三个内角分别是30。、60。、90°.由30。角所对的直角边是斜

边的一半求得一直角边的长度，然后由勾股定理求得另一直角边的长度.

【详解】如图，

A

在直角一ASC中，ZAtZB:ZC=1:2:3,AB=a,

EIZA+ZB+ZC=180o,

0ZA=3O°,NB=60°,ZC=90°,

SBC=-AB=-a,

22

^AC=y/AB2-BC2=-a,

2

SAC+BC=^^-a.

2

故答案是：*^a•

2

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，含30。角的直角三角形，勾股定理.注意勾股定理适合于直角

三角形中.

9.（2023下•吉林•八年级校联考阶段练习）八（3）班松松同学学习了"勾股定理”之后，为了计算如图所

示的风筝高度CE,测得如下数据：①测得出）的长度为8m（BD1CE）;②根据手中剩余线的长度计

算出风筝线5c的长为17m；③松松身高AB为1.6m.则风筝离地面高度CE为米.

【答案】16.6

【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上。石的长度，即可求出CE的高度.

【详解】解：由题意可得：AB=DE,

在RtZXCDB中，

由勾股定理得，CD=^BC1-BD1=7172-82=15-

团CE=CD+OE=15+1.6=16.6米，

答：风筝的高度CE为16.6米.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键.

10.（2023下•广东深圳•八年级校考期中）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=32,BC=24,AB的

垂直平分线分别交Afi、AC于点。、E,则AE的长是.

A

【答案】25

【分析】连接BE,根据线段垂直平分线的性质得到隹=班，设AE=3E=x,知CE=32-x,在

Rt_3CE中，由8。2+（?序=8炉列出关于尤的方程，解之可得答案.

【详解】解：连接BE,

A

回。£垂直平分4B,

^AE=BE,

AE=BE=x>贝!]CE=32_x,

在Rt3CE中，

SBC2+CE2=BE2,

0242+(32-x)2=x2,

解得x=25,

0AE=25,

故答案为：25.

【点睛】本题主要考查勾股定理，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定

理列出方程.

11.（2023下•湖北襄阳•八年级统考期末）已知X，V是直角三角形的两边，且满足

V^4+（X-J-1）2=0,则此直角三角形的第三边长为.

【答案】5或々

【分析】首先利用非负数的性质求得x=4,y=3,然后对x=4分类讨论：分x=4是直角边和x=4是斜边

两种情况，进行计算即可得到答案.

【详解】解:X，'是直角三角形的两边，且满足7^4+（尤->-1）2=0,

/.x—4=0,x—y—1—0,

x=4,y=3,

当x=4是直角边时，第三边为："+42=5,

当X=4是斜边时，第三边为：“2-32=近，

综上所述，此直角三角形的第三边长为：5或币,

故答案为：5或币.

【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，非负数的性质为：几个非负数的和为零，则每个非负

数都为零，此时还要注意两边可能都是直角边，也可能是一个是直角边一个是斜边.

12.（2023上•八年级课前预习）如图，在RtAABC中，NACB=90。，点。为8C的中点，过点C作

CE〃AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,则CD的长为.

【分析】先根据AAS证明△3D49推出班=CE=5,再利用勾股定理求出8C,最后根据中点的

定义即可求CO的长.

【详解】解：CE//AB,

：.ZBAD=NCED,

■点。为3c的中点，

BD=CD,

又/BDA=/CDE,

ABDA/4CDE（AAS）,

*e-BA=CE=5,

白△ABC中，ZACB=90°,AC=4,

BC=^AB2-AC2=V52-42=3,

13

二.CD=-BC=~.

22

3

故答案为：—•

2

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明△BD49△CDE是解题的

关键.

13.（2023下•湖南岳阳•八年级统考期末）如图，在_ABC中，ZC=90°,AD是NA的平分线，

上上于点E,CD=2,BC=6,贝!|BE=

【答案】2垂）

【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到OE=DC=2,求解瓦）=4,再根据勾股定理解

答即可.

【详解】解：于E,CD=2,

AD是角平分线，DEJ.AB,ZC=90°,

,-.DE=DC=2,而3c=6,

.-.BD=6-2=4.

在RtBDE中,BE=V42-22=2.73.

故答案为：2A.

【点睛】此题主要考查角平分线的性质的综合运用，关键是根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得

到DE=DC.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

一、单选题

1.（2024上,山西长治•八年级统考期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地

毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长

度为（）

A.8米B.7米C.6米D.5米

【答案】B

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为AC+BC的和，解题的关键是能熟

练掌握勾股定理以及数形结合的方法；

先根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论.

【详解】解：ABC是直角三角形，BC=3m,AB=5m,

AC=>JAB2-BC2=4m，

・•.如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC=7m,

故选：B.

2.（2024上•河南周口•八年级校联考期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点D所表示的数是

,爪/.■亩JD・r

012345：6

A.372+1B.3亚C.372-1D.373

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由作图可知：BC=3,则3AC=„+3C2=3&，即可

得到答案.熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】解：回点A表示的数为1,点B表示的数为4,

团AB=4—1=3,

由作图可知：BC-3,贝1JAD=AC==3在，

EID到原点的距离为30+1，

则点。所表示的数是30+1，

故选：A.

二、填空题

3.（2024上•陕西宝鸡•八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZCDA=90°,分别以四边形

ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为工，邑，S3,S4.若H=6,、2=12,

5,=14,则S,的值为

【答案】20

【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可.连接AC,构

造RtZXABC和RtADC,然后在中利用勾股定理求出AC?,在RtADC中求出的F,进而求得

S4的值.

【详解】解：如图，连接AC,

在RtZXABC中，AC2=AB2+BC2,

2

AC=S2+S3=12+14=26.

,在RtADC中，AC2=AD2+DC2,

2

AC=S；+S4=S4+6=26,

解得：54=10.

故答案为：20.

4.（2024上•福建漳州•八年级统考期末）如图，ZA=ZB=90°,点E在线段A3上，AD=BE,

DE=CE=1,则CO的长为.

【答案】72

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题

的关键.

运用"用7'判定.ADE空3EC,可证ZDEC=90。，再根据勾股定理即可求解.

【详解】解：fflZA=ZB=90°,

团在RJADE,Rf_BEC中,

[DE=EC

[AD=BE'

0ADE^.BEC(HL),

SZADE=ZBEC,

0ZADE+ZA£D=90°,

0ZA£D+ZBEC=90°,

ZAED+ZBEC+ZDEC^1SQ°,

0ZDEC=180°-(ZAED+/BEC)=180°-90°=90°,

团一DEC是直角三角形,

团DE=EC=1,

^CD^yjDE2+EC2=A/12+12=42，

故答案为：桓.

5.（2024上•江苏泰州•八年级统考期末）如图，有一棵大树在离地面3m处断裂，树的顶部落在离树的底

m

【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出大树折断的部分长度，再加上3m即可求解，掌

握勾股定理的应用是解题的关键.

【详解】解：由题意得，大树折断的部分长为用不=5m，

团这棵树折断之前高度为5+3=8m,

故答案为：8.

6.（2024上•江苏宿迁,八年级统考期末）如图，AB=13,AC=5,若NC=3/3,则ABC的面积

.田156

【答案】—

【分析】在线段AB上取一点。，使得9=CD,证明ACD是等腰三角形，得到AD=AC=5,则

CD=BD=8,取。的中点E,连接AE,根据等腰三角形的性质得到AE，CD,CE=DE=4,勾股定

24

理求出AE=3,得到S皿=12,作于点根据等积法求出C"=M，则

196

SBCD=-BDCH=—,即可求出ABC的面积.

此题考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练添加辅助线构造直角三角形是

解题的关键.

【详解】解：在线段A5上取一点。，使得BD=CD,

⑦ZB=/BCD,

国NACB=3NB,

团ZACD=3ZB-ZBCD=2ZB,

团ZADC=ZB+Z.BCD=2ZB

团NACD=NADC,

团ACD是等腰三角形，AD=AC=5,

BCD=BD=AB-AD=8,

取8的中点E,连接A£,

团AE_LCD,CE=DE=—CD=4,

2

^AE=^AD2-DE2=752-42=3^

=-CD-AE=-X8X3=12,

ADC22

作CH±A3于点H,

则！皿CH」CZ).AE=12,

22

24

解得。"=行，

团SBCD=-BDCH=-x8x—,

2255

团ABC的面积为=S血+SB8=12+彳=—^—,

故答案为：-^一

三、解答题

7.（2024上•福建漳州•八年级统考期末）某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感

应门上方装有一个感应范围2.6米的感应器。.如图，一个身高1.6米的病人AB走到离感应门2.4米处时，

感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度CD.

【答案】2.6米.

【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握运用辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求线段长度的方

法是解题的关键.过点B作交CD于点E,构造RtaBED,利用勾股定理求得OE的长度即可.

则/应）=90。，CE=AB=1.6,BE=AC=2A,

在RtABED中，BD=2.6,

则ED=y/BD2-BE2=,26-2.4?=1>

SCD=CE+ED=1.6+1=2.6,

答：感应器离地面的高度CD为2.6米.

8.（2024上•江苏镇江•八年级统考期末）如图，在“ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=5.

B

⑴在线段3C上找一点P,使？APC2?B（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求线段3P的长.

【答案】⑴见解析

（2）3尸=3.4

【分析】本题考查的知识点是三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作等腰三角形（尺规作

图）、用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握垂直平分线的作法.

（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；

（2）根据垂直平分线的性质可得AP=3尸，然后运用勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，P点即为所求：

分别在A、8两点上以大于JAB为半径，

在A3两侧画圆弧，圆弧交点连接后与的交点即为P,

此时所做的虚线是线段A3的垂直平分线，

:.AP=BP,

:.ZPAB^ZB,

NAPC是的外角，

ZAPC=ZPAB+ZB=2NB.

（2）解:T^BP=AP=X,

:.CP=BC-BP=5-x,

NACB=90。，

AC2+CP2=AP2,

即32+（5—尤）2=Y,

解得x=3.4,

.'.BP=3.4.

9.(2024上•河南周口•八年级校联考期末)如图是人们喜爱的秋千，已知秋千Q4静止的时候，踏板A离

地高AC为0.5m,将它往前推进1.2m到8(即的长为1.2m,且,此时踏板离地的高3。为

0.8m.求秋千绳索Q4的长度.

【答案】秋千绳索。4的长度为2.55m米

【分析】本题考查了勾股定理的运用，由题意易得石4=0.8-0.5=0.3%，^AO=OB=xm,在RtAOEB

中，由勾股定理建立方程-=1灸+(x-0.3)2,即可作答.理解题意，利用勾股定理建立方程是解决问题的

关键.

【详解】解：回踏板A离地高AC为0.5m,3。为0.8m,

0EA=O.8-O.5=O.3m,

团£8的长为L2m,

AO=OB=xm,OE=OA-AE=(%-0.3)m,

El在RtZkO£B中，OB2=EB2+OE2,即/=1.2,+(x-0.3)2

解得x=2.55,

故秋千绳索OA的长度为2.55m米.

10.(2024上•江西抚州•八年级统考期末)ABC的NA,NB,NC所对边分别是°,b,c,若满足

/+片=：°2,则称ABC为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边.

2

AMB

E

图2

【特例感知】如图1,若_ABC是类勾股三角形，A8为勾股边，且C4=CB,A8=6,CM是中线，求CM

的长;

【深入探究】如图2,CM是.ABC的中线，若qABC是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A,B

作CM的垂线，垂足分别为E,F,求证AEM^BFM

②试判断CM与AB的数量关系并证明；

【结论应用】如图3,在四边形A5CD中，比=5应,4。=10公43(7与4£)3(7都是以8(：为勾股边的类勾

股三角形，M,N分别为BC,AD的中点，求线段MN的长.

【答案】【特例感知】CM的长为6；【深入探究】①证明见解析；②AB与CM相等，理由见解析；

【结论应用】MN的长为5.

【分析】(1)根据MC是类勾股三角形，AB为勾股边，<C42+CB2=1A52,得到AC「=45,根据

2

CA=CB,CM是中线，可得CM，A8,AM=；A3=3,即可求解；

(2)①根据AELCM,得至ljNA£M=NBfM=90°,再根据==3”即可求

证；②卞艮据AE_LCM,BF1CM,pf#AC2=(CM+ME)2+AE2,BC2=(CM-MF)2+BF2,再卞艮据

^AEM^BFM,可得ME=MF,进而得至UAC?+2C?=2C"2+2AW?,CA2+CB2=^AB2,

AM=-AB,可得A5=CM；

2

(3)连接AM,DM,由【深入探究】可得：AM=BC,DM=BC,进而得到=根据N为AD

的中点，可得MN，A£>,AN=；A£>=5,进而求解.

【详解】(1)解：..ABC是类勾股三角形，AB为勾股边，

C^+CB-=-AB2,

2

QCA=CB,AB=6,

2AC-=-x36=90,

2

AC2=45,

CA=CB,CM是中线，

CMLAB,AM=-AB=3,

2

:.CM=445-9=6

(2)①证明：QBFLCM,AEYCM,

ZAEM=ZBFM=90°,

QAAME=ZBMF,AM=BM,

AEM^BFM(AAS).

②A3与CM相等，理由如下，

QAE±CM,BF±CM,

AC2=CE2+AE\BC2=CF2+BF2,

AC2=(CM+ME)2+AE2,BC2=(CM-MF)2+BF2,

QAAEM^/XBFM,

:.ME=MF,

AC2+BC2=2CM2+ME2+AE2+MF2+BF2,

AC2+BC2=2CM2+(AE2+ME2)+(MF2+BF2\,

AC2+BC2=2CM2+AM2+BM-,

AC2+BC2=2cM2+2AM2,

QCA2+CB2=-AB2,

2

:.-AB2=2CM2+2AM2,

2

AM=-AB,

2

:.-AB~=2CM-+-AB-,

22

AB2=CM2,

:.AB=CM

.ABC与△DBC都是以BC为勾股边的类勾股三角形,

M为3c的中点，

由【深入探究】可得：AM=BC,DM=BC,

AM=DM,

QN为AD的中点，

:.MNrAD,AN=-AD=5,

2

MN=yjAM2-AN2=7（5A/2）2-52=5，

【点睛】本题考查的是类勾股三角形的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的

应用，正确理解类勾股三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键.

11.（2024上•湖南长沙•八年级校联考期末）如图L点P为，ABC的外角N3CD的平分线上一点，

PA=PB,3c于E.

⑴求证：NPAC=NPBC；

⑵若NAP3=90。，连接AE,SAACP=2SAA£P,PB=2,求PC的长度；

（3）如图2,若N分别是边AC,BC上的点，且2ZMPN=ZAPB,求证：BN=AM+MN.

【答案】⑴见解析

⑵与

⑶见解析

【分析】（1）过尸作尸尸，4）交于尸，根据角平分线性质得到尸尸=尸石，结合上4=PB,得到

RtAPF^RtBPE（HL）,即得/B4C=/P3C；

（2）根据全等三角形性质得到AF=BE,ZAPF=ZBPE,得到/EPP=NAPS=90。，推出四边形尸CEP

是正方形，根据S&1cp=25AA，得到AC=2PE,设PE=无，得到AC=2x,2E=AF=3x,根据勾股定

理得到Y+（34=22,解得了=萼，即得尸c=竽；

（3）在8C上截取BQ=AW,连接PQ,证明BPQ^APM（SAS）,得到PM=PQ,ZAPM=NBPQ,

得到=根据2NMPN=NAP8,得到2/MPN=/MPQ,得到NMPN=NQPN,推出

QPN^MPN(SAS),得至IJQN=AW,即得BN=AM+MV；

本题主要考查了角平分线，全等三角形.熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，是解题的

关键.

【详解】(1)如图1,过P作尸尸_LA。交于尸，

团点尸为/BCD的平分线上一点，PELB"E,

^PF=PE,

^\PA=PB,

0RtAPF=RtBPE(HL),

图I

(2)如图2,

ElAPF=BPE,

SAF=BE,ZAPF=ZBPE,

0ZAPF+ZAPE=ZBPE+ZAPE,

即/EPb=NAPB=90°,

0APEC=Z.PFC=90°,PE=PF,

团四边形/CEP是正方形，

^PE//AC,

团S/XACP=2SAAEP，

S-AC-PF^2x-PEPF,

22

^AC=2PE,

设PE=x,贝！MC=2x,

团BE=AF=3x,

在RtABPE中，PE2+BE2=PBe，PB=2,

0x2+(3x)2=22,

团尤＞0,

同_回

121X---------，

5

图2

(3)如图3,在3C上截取5Q=AM,连接P。,

⑦ZPAC=/PBC,PA=PB,

团BPQ^APM(SAS),

⑦PM=PQ,ZAPM=ZBPQ,

0ZAPM+ZAPQ=/BPQ+ZAPQ,

即/MPQ=/AP5,

^2ZMPN=AAPB,

©2/MPN=/MPQ,

即2/MPN=ZMPN+ZQPN,

⑦NMPN=NQPN,

⑦PN=PN,

国QPNwMPN(SAS),

出QN=MN,

⑦BN=BQ+QN,

^\BN=AM+MN.

D,

P

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

一、单选题

1.（2023下•河南商丘•八年级统考期末）如图，一根长15cm的木条，斜靠在竖直的墙上，这时木条的底

端距墙底端12cm.如果将木条底端向左滑动3cm,那么木条的顶端将向上滑动（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】利用勾股定理分别求出OA',OA的长，进而求出AA的长即可得到答案.

【详解】解：如图，在Rt409中，AB'=15m,OB'=12m,

团CM，=yjAB'2-OB'2=9cm；

在RtZ\AO3中，AB=15m,OB=12-3=9m,

回CM=JAB?-OB?=12cm，

EIA4'=Q4-a4'=3cm,

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键.

2.（2023上•八年级课时练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形.若正方形A、B、C,。的边长分别是3、4、1、3,则最大的正方形E的面积是（）

【答案】D

【分析】如图，根据勾股定理分别求出尸、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可.

由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+42=25,

同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积=『+32=10,

回正方形E的面积=正方形尸的面积+正