2024年山东省日照市东港区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年山东省日照市东港区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）实数﹣3的相反数是（）A．﹣ B． C．3 D．﹣32．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为（）A．0.4×104 B．0.4×105 C．4×104 D．4×1054．（3分）如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（）A． B． C． D．5．（3分）下列各式：①a2•a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm8．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣210．（3分）如图，已知点A是直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的交点，B是y＝图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．（3分）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是．13．（3分）若分式方程的解为正数，则a的取值范围是．14．（3分）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则AD2＝AB•AC﹣BD•DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH＝HG，EF＝4，FG＝5，EM＝2，GM＝2.5，则FH的长为．15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（12，6），反比例函数的图象经过A、P两点，则k的值是．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小关系为．三、解答题（本大题共8小题，满分72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）解不等式组：（2）先化简，再求值：，其中x＝2．18．（8分）学校开展大课间活，需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．（1）购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）若班级计划购买A、B两种跳绳其45根，所花费用不少于548元且不多于560元，那么哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？19．（8分）某班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡（坡度为）旁路灯的高度，分工如下：小组甲：测量竹竿AB的长度，并将该竹竿竖立在地面上，测量其在地面上的影长BC．小组乙：在同一时刻，测量路灯DE在斜坡上的影长FG，及路灯与斜坡底端的距离EF．测量示意图和测量数据如下：请你根据以上信息计算路灯DE的高度．（结果保留整数，参考数据：）小组甲乙图示（点D，E，F，C在同一平面内）测量数据AB＝2m，BC＝2.5mEF＝8m，FG＝3m20．（8分）3月23日是“世界气象日”，为了让同学们了解气象相关知识，某校八年级举办“世界气象日”知识比赛，并从男、女生中各抽取15名学生的比赛成绩（比赛成绩为整数，满分100分，70分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：【收集数据】抽取的15名男生的比赛成绩：52，58，60，70，72，74，74，78，78，84，84，84，88，90，94．抽取的15名女生比赛成绩中位于80≤x＜90一组的具体分数：80，82，85，85，86，88．【整理数据】【分析数据】性别男生女生平均数7676中位数78a众数b85合格率80%80%【解决问题】根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，并补全频数分布直方图；（2）该校八年级共840人，其中女生480人，成绩在90分及以上为优秀，估计该校八年级学生中“世界气象日”知识比赛成绩优秀的人数．【数据应用】（3）根据以上数据分析，请你评价该校八年级男、女生“世界气象日”知识比赛成绩谁更好，并写出理由（一条理由即可）．21．（9分）如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数的图象交于点A与点B（a，﹣1）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：∠CAB＝2∠EAB；（2）若BF＝1，，求BC的长．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D（m，0）是线段OA上一动点，过点D作DP⊥x轴，交直线AC于点E，交抛物线于点P，连接CP．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，求出PQ的最大值；（3）试探究在点D的运动过程中，是否存在点P，使得△CPE为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）综合与实践折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使点A落在点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BP，把纸片展开，连接A′B，A′P．【问题解决】（1）如图2，连接PC，在折叠过程中，当点A′恰好落在线段PC上时，则tan∠A′BC＝，AP＝．（2）如图3，连接BD，将矩形纸片ABCD折叠，使得点C的对应点C落在对角线BD上，并使折痕经过点D，得到折痕DQ，再把纸片展开，连接C′Q．当点A′也落在对角线BD上时，试判断四边形BPDQ的形状，并说明理由．【拓展延伸】如图4，延长BA′交线段CD的延长线于点Q，交线段AD于点M．当△MDQ的三边中有两边长之比为1：2时，请直接写出AP的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）实数﹣3的相反数是（）A．﹣ B． C．3 D．﹣3【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：C．2．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．3．（3分）2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为（）A．0.4×104 B．0.4×105 C．4×104 D．4×105【解答】解：400000＝4×105．故选：D．4．（3分）如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、俯视图是一个矩形，故不符合题意；B、俯视图是一个矩形，故不符合题意；C、俯视图是一个大矩形，里面有一个小矩形，故不符合题意；D、俯视图是两个矩形，故符合题意；故选：D．5．（3分）下列各式：①a2•a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①a2•a3＝a5，该选项正确，符合题意；②（﹣3ab3）2＝9a2b6，该选项正确，符合题意；③，该选项错误，不符合题意；④，该选项错误，不符合题意；⑤x2+2x2＝3x2，该选项正确，符合题意；综上，①②⑤正确，符合题意，故选：B．6．（3分）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：设1号车的平均速度为xkm/h，则2号车的平均速度是1.2xkm/h，根据题意可得：，故选：A．7．（3分）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．8．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是＝，故选：C．9．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2【解答】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2，∴ED＝＝2，∠CED＝30°，∴∠ECD＝60°，S阴影＝﹣＝﹣2．故选：D．10．（3分）如图，已知点A是直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的交点，B是y＝图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：设点P的运动速度为v，①由于点A在直线y＝x上，故点P在OA上时，四边形OMPN为正方形，四边形OMPN的面积S＝（vt）2，②点P在反比例函数图象AB时，由反比例函数系数几何意义，四边形OMPN的面积S＝k；③点P在BC段时，设点P运动到点C的总路程为a，则四边形OMPN的面积＝OC•（a﹣vt）＝﹣OC•vt+OC•a，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞﹣2．【解答】解：根据题意得：x+2＞0解得：x＞﹣2．12．（3分）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是10或6或12．【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，解得：x＝2或x＝4，∵等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，∴当2是等腰三角形的腰时，2+2＝4，不能组成三角形，舍去；当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4＝10．当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2＝6．当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4＝12．∴这个三角形的周长为10或6或12．故答案为：10或6或12．13．（3分）若分式方程的解为正数，则a的取值范围是a＜8，且a≠4．【解答】解：分式方程去分母得：x＝2x﹣8+a，解得：x＝8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．14．（3分）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则AD2＝AB•AC﹣BD•DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH＝HG，EF＝4，FG＝5，EM＝2，GM＝2.5，则FH的长为．【解答】解：∵EH＝HG，∴，∴∠EFH＝∠GFH，∴FM平分∠EFG，∴由斯库顿定理可得：FM2＝FE•FG﹣EM•MG，∵EF＝4，FG＝5，EM＝2，GM＝2.5，∴FM2＝4×5﹣2×2.5＝15，∴，∵∠EFM＝∠HGM，∠EMF＝∠HMG，∴△EMF∽△HMG，∴，∴，∴，∴，故答案为：．15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（12，6），反比例函数的图象经过A、P两点，则k的值是8．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD交于点P，∴AP＝PC，∵反比例函数的图象经过A、P两点∴，∴，如图，作PE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则PE∥CF，∴△OPE∽△OCF，∴，∵点C的坐标为（12，6），∴CF＝6，OF＝12，∴OE＝4，PE＝2，∴点P的坐标为（4，2），∴k＝4×2＝8，故答案为：8．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小关系为y3＞y1＞y2．【解答】解：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，∴a+b＝m，9a+3b＝n，∵mn＜0，∴（a+b）（9a+3b）＜0，∴a+b与3a+b异号，∵a＞0，∴3a+b＞a+b，∴a+b＜0，3a+b＞0，∵点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝15a+5b＝5（3a+b）＞0，∴y3＞y1，∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3a﹣3b＝﹣3（a+b）＞0，∴y1＞y2，∴y3＞y1＞y2．故答案为：y3＞y1＞y2．三、解答题（本大题共8小题，满分72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）解不等式组：（2）先化简，再求值：，其中x＝2．【解答】解：（1），解不等式①得：，解不等式②得：x＞4，∴不等式组的解集为x＞4．（2）＝＝＝＝．当x＝2时，原式＝．18．（8分）学校开展大课间活，需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．（1）购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）若班级计划购买A、B两种跳绳其45根，所花费用不少于548元且不多于560元，那么哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元．根据题意，得，解得，答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．（2）∵该班级计划购买A，B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，∴购买B种跳绳（45﹣m）根．根据题意，得，解得23≤m≤25.4．又∵m为整数，∴m可以取23，24，25，∴共有3种购买方案．方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．∵﹣5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝25时，w取得最小值，最小值为﹣5×25+675＝550（元）．答：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳总费用最少，最少费用是550元．19．（8分）某班两个兴趣小组计划合作测量校园内一斜坡（坡度为）旁路灯的高度，分工如下：小组甲：测量竹竿AB的长度，并将该竹竿竖立在地面上，测量其在地面上的影长BC．小组乙：在同一时刻，测量路灯DE在斜坡上的影长FG，及路灯与斜坡底端的距离EF．测量示意图和测量数据如下：请你根据以上信息计算路灯DE的高度．（结果保留整数，参考数据：）小组甲乙图示（点D，E，F，C在同一平面内）测量数据AB＝2m，BC＝2.5mEF＝8m，FG＝3m【解答】解：如图，过点G分别作EF，DE的垂线，垂足分别为点M，N，则四边形GNEM是矩形，NE＝GM，NG＝EM．∵斜坡坡度为，即∴∠GFM＝30°在Rt△FGM中，FG＝3m，∠GFM＝30°，∴GM＝FG•sin∠GFM＝3•sin30°＝1.5（m），，∴NE＝GM＝1.5m，．∵∠BCA＝∠DGN，∴tan∠BCA＝tan∠DGN，∴，，∴DE＝DN+NE＝8.44+1.5≈10（m）．答：路灯DE的高度约为10m．20．（8分）3月23日是“世界气象日”，为了让同学们了解气象相关知识，某校八年级举办“世界气象日”知识比赛，并从男、女生中各抽取15名学生的比赛成绩（比赛成绩为整数，满分100分，70分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：【收集数据】抽取的15名男生的比赛成绩：52，58，60，70，72，74，74，78，78，84，84，84，88，90，94．抽取的15名女生比赛成绩中位于80≤x＜90一组的具体分数：80，82，85，85，86，88．【整理数据】【分析数据】性别男生女生平均数7676中位数78a众数b85合格率80%80%【解决问题】根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝82，b＝84，并补全频数分布直方图；（2）该校八年级共840人，其中女生480人，成绩在90分及以上为优秀，估计该校八年级学生中“世界气象日”知识比赛成绩优秀的人数．【数据应用】（3）根据以上数据分析，请你评价该校八年级男、女生“世界气象日”知识比赛成绩谁更好，并写出理由（一条理由即可）．【解答】解：（1）女生15名学生的比赛成绩的中位数应为数据有大到小排列时第8个数据，∵成绩在90≤x＜100和80≤x＜90区间有9个数据，成绩在90≤x＜100区间有3个数据，∴中位数位于80≤x＜90区间由大到小排列的第5个数据，即82分，∴a＝82；∵男生15名学生的比赛成绩中84分出现3次是出现次数最多的数据，∴b＝84．故答案为：82，84；女生成绩在70≤x＜80的人数为：15﹣（2+1+6+3）＝3（人），补全频数分布直方图如下：（2）×（840﹣480）+×480＝144（人），∴估计该校八年级学生中“世界气象日”知识比赛成绩优秀的人数约为144人；（3）女生比赛成绩谁更好．理由：∵男生和女生比赛成绩的平均数和合格率分别相同，但男生比赛成绩的中位数和众数分别低于女生比赛成绩的中位数和众数，∴女生比赛成绩谁更好．21．（9分）如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数的图象交于点A与点B（a，﹣1）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．【解答】解：（1）将B（a，﹣1）代入一次函数y＝x+3中得：a＝﹣4，∴B（﹣4，﹣1）将B（﹣4，﹣1）代入反比例函数中得：k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m+3），∴PC＝|﹣（m+3）|，点O到直线PC的距离为m，∴△POC的面积＝m×|﹣（m+3）|＝3，解得：m＝﹣1或﹣3或﹣5或2，∵点P不与点A重合，且A（1，4）∴m≠1，又∵m＞0∴m＝2∴点P的坐标为（2，2）．22．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：∠CAB＝2∠EAB；（2）若BF＝1，，求BC的长．【解答】（1）证明：连接OE，则∠EOF＝2∠EAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵EF与⊙O相切于点E，∴EF⊥OE，∴∠OEF＝∠C＝90°，∵∠AFE＝∠ABC，∴△OFE∽△ABC，∴∠EOF＝∠CAB，∴∠CAB＝2∠EAB．（2）解：∵∠OEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠ABC，∴＝sin∠ABC＝sin∠AFE＝＝，∴OE＝OF，AC＝AB，∵BF＝1，OE＝OB，∴OB＝（OB+1），解得OB＝4，∴AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝AB＝×8＝，∴BC的长是．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OA＝OC，点D（m，0）是线段OA上一动点，过点D作DP⊥x轴，交直线AC于点E，交抛物线于点P，连接CP．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，求出PQ的最大值；（3）试探究在点D的运动过程中，是否存在点P，使得△CPE为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝OC，∴OA＝4，∴A（4，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，B（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x﹣4．∵DP⊥x轴，D（m，0），∴E（m，m﹣4），P（m，m2﹣3m﹣4），∴PE＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°．∵PE∥y轴，∴∠CEP＝∠OCA＝45°，∵PQ⊥AC，∴△PQE为等腰直角三角形，∴PQ＝PE＝（﹣m2+4m）＝﹣+2．∵＜0，0≤m≤4，∴当m＝2时，PQ存在最大值，最大值为2；（3）存在点P，使得△CPE为直角三角形，点P的坐标为（3，﹣4）或（2，﹣6）．理由：由（2）知：∠CEP＝45°≠90°，D（m，0），P（m，m2﹣3m﹣4），E（m，m﹣4），∴PE＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴分两种情况讨论：①当∠PCE＝90°时，过点E作EF⊥y轴于点F，如图，∵OA＝OC，OA∥EF，∴∠CEF＝