第二章 一元二次函数、方程和不等式（B能力卷）（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式（B能力卷）单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．不等式的解集为（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【详解】不等式等价于，即，且，解得，故不等式的解集为，故选：D．2．已知，则的最小值为（）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】C【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立.故选：C3．关于x的不等式的解集不可能是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；当时，，若，，解集为；若，，解集为；若，，解集为；所以解集不可能是，故选：A.4．若实数满足，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由得：；对于A，在上单调递减，，A错误；对于B，在上单调递增，，B错误；对于C，在上单调递减，，C错误；对于D，，，D正确.故选：D.5．不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为不等式的解集为，所以和为的两根，且，所以，即，所以不等式为，即，因为，所以，即，所以不等式的解集为.故选：D.6．若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意对任意，成立，令，，则，因为时，所以，且时取等，则.故选：A.7．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于（）．A． B． C． D．【答案】A【详解】设直角三角形的两个直角边为，，则，又由基本不等式可得(当且仅当x=y=时等号成立)故选：A.8．若函数关于的不等式的解集为且则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】，由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方．①当时，显然不满足条件．②当时，函数的图象是把函数的图象向左平移个单位得到的，结合图象(右上方)可得不满足函数的图象在函数的图象下方．③当时，如图所示：在为减，在为增，的图象由的图象向右平移的单位得到，当时的图象在的图象下方，发现只需当时成立即可满足条件，即，结合化简得故，解得，故此时的范围为．综上可得的范围为．多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）9．下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若且，则【答案】BCD【详解】选项A：当时，不等式不成立，错误；选项B:，正确；选项C:，正确；选项D:，正确；故选：BCD．10．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（）A． B． C． D．【答案】AB【详解】由，分类讨论如下：当时，；当时，；当时，或；当时，；当时，或.故选：AB.11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A．B．关于的不等式的解集是C．D．关于的不等式的解集为或【答案】ABD【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，∴，A选项正确；易知和是关于的方程的两根，由根与系数的关系得则，，∴，C选项错误；不等式可化为，即，解得，B选项正确；不等式可化为，即，解得或，D选项正确.故选：ABD.12．若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（）A． B．3 C．4 D．【答案】CD【详解】由xy﹣2x＝y，知，则当且仅当，时，等号成立，从选项可知，CD满足条件，故选：CD三、填空题（每小题5分，共计20分）13．二次不等式的解集是，则=_______；【答案】【详解】依题意一元二次不等式的解集是,所以，所以故答案为：14．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】[-1，11).【详解】若，则3>0，满足题意；若，而不等式对任意实数恒成立，所以，综上：.故答案为：.15．若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________【答案】【详解】因为，所以，由得，因为关于的不等式在区间(0，2]上有解，所以只需小于等于的最大值，又，当且仅当时，等号成立，所以，则，即实数的取值范围是.故答案为：.16．若，，则的最小值为__________．【答案】【详解】因为有意义，所以，而，，因此且（1）当时，因此，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为．（2）当时，则，，因此，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为．综上所述，的最小值为．四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）17．已知，，求的取值范围．【详解】解：令则，∴，又,，∴．18．已知函数（1）若的解是，求实数的值（2）解关于的不等式【详解】解：(1)当时，故在上恒成立，故；当时，由的解是可知为方程的两个根，利用韦达定理可得，解得，带回检验；故满足条件的实数.（2）∴方程①当时，，不等式的解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为④当时，不等式无解，解集为；⑤当时，不等式的解集为.19．已知.（1）求证：；（2）若，求的最小值.【详解】（1）因为，所以；（2）因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最小值是4.20．市场上有这样一个规律，商品价格愈高，购买的人愈少；价格越近，购买的人就多，一淘宝店主若以每件2元的价格销售某商品，则年销售量为10万件，若他把每件商品的定价每提高0.2元，销售量就相应减少5000件，如果淘宝店主希望该商品的年销售额不少于22.4万元，试求该商品的合理销售价格范围.【详解】解：设商品价格为元，则销售量为，于是总收入．令，化简得：，即．解得：，即．21．已知二次函数.（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.（2）解关于的不等式（其中）.【详解】（1）不等式即为：，当时，可变形为：，即.又，当且仅当，即时，等号成立，，即.实数的取值范围是：.（2）不等式，即，等价于，即，①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，.②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，