高考理数一轮课件2第二章函数12-第九节函数模型及应用

第九节

函数模型及应用总纲目录教材研读1.几种常见的函数模型考点突破2.三种增长型函数模型的图象与性质3.解函数应用题的（四步八字）考点二对勾函数模型考点一一次函数与二次函数模型考点三指数函数与对数函数模型教材研读1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=

(k为常数且k≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①

增函数

②

增函数

③增函数

增长速度④

越来越快

⑤

越来越慢

相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥

y轴

平行随x增大逐渐表现为与⑦

x轴

平行随α值变化而不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用

数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下:1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价

格与原来价格比较,变化的情况是

()A.减少7.84%

B.增加7.84%C.减少9.5%

D.不增不减a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.9216a,(0.9216-1)a=-0.0784a,所以四年后的价格与原来价格比较,减少7.84%.答案

A设某商品原来价格为a,依题意得:A2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示,下列说法中错误的

是

()

A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元(注:结余=收入-支出)答案

D

A、B、C均正确,D:前6个月的平均收入为

=45(万元).3.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=

已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为

()A.11.5元

B.11元

C.10.5元

D.10元A答案

A由题中表格易知4≤A<25,则由题意可得

解得

当x=20时,f(20)=4+

×(20-5)=11.5.故选A.4.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间

内,他的这支股票先经历了5次涨停(每次上涨10%),又经历了5次跌停

(每次下跌10%),则该股民购进的这支股票的盈亏情况(不考虑其他费

用)为

()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况B答案

B设该股民购进这支股票的价格为a元,则(1+10%)5(1-10%)5a=0.995a<a.所以该股民购进的这支股票略有亏损.故选B.5.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元

建了一个蔬菜加工基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费

用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设f(n)表示前n(n∈

N*)年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额),则f(n)=-n2+19n-60(n∈N*)

(用n表示),此经销商从第

5

年开始盈利.答案-n2+19n-60(n∈N*);5解析

f(n)=26n-60-

=-n2+19n-60(n∈N*),设此经销商从第n年开始盈利,则

即

解得

∴n=5.考点一一次函数与二次函数模型典例1牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际

蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增

长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(1)写出y关于x的函数关系式;(2)求羊群年增长量的最大值;(3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.考点突破解析(1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率

为

,故空闲率为1-

,由此可得y=kx

(0<x<m).(2)对原二次函数配方,得y=-

(x2-mx)=-

+

.故当x=

时,y取得最大值

.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长

量的和小于最大蓄养量,所以0<x+y<m.因为当x=

时,ymax=

,所以0<

+

<m,解得-2<k<2.又因为k>0,所以0<k<2.易错警示一次函数与二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定

要注意函数的定义域,否则极易出错;(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.1-1为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进

行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.

已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)

与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=

x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到价值为100元的可利用化工产品.该单位每

月能否获利?如果能获利,求出每月最大利润;如果不能获利,则需要国家

每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损?解析设获利(或补贴)的钱数为S元,则S=100x-y=100x-

=-

x2+300x-80000=-

(x-300)2-35000,因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000.故该单位不能获利,需要国家每月至少补贴40000元才能使该单位不亏

损.考点二对勾函数模型典例2某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料200千克,每

千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03

元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购买一次饲料才能使平

均每天支付的总费用最少.解析设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天

饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)元.从而有y=

(3x2-3x+300)+200×1.8=

+3x+357≥417,当且仅当

=3x,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支

付的总费用最少.方法技巧应用对勾函数模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=

“相加”而成的.(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+

的模型,有时则是将所列函数关系式转化为含“ax+

”的形式.(3)利用模型f(x)=ax+

求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时的条件.2-1利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间,年生产的总成本y

(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y=

-30x+4000,则每吨平均成本最低时的年产量为

()A.240吨

B.200吨

C.180吨

D.160吨B答案

B依题意,得每吨平均成本为

=

+

-30(x>0),则

≥2

-30=10,当且仅当

=

,即x=200时取等号,因此,当每吨平均成本最低时,年产量为200吨.典例3(1)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司20

15年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上

一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份

是

()(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年

B.2019年C.2020年

D.2021年(2)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t

=

且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.考点三指数函数与对数函数模型B已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间的变化如图所示.给出以下四个结论:①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;②当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中,所有正确结论的序号是

①④

.答案(1)B(2)①④解析(1)设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x>200⇒1.12x>

⇒xlg1.12>lg

⇒0.05x>0.19⇒x>3.8,故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.(2)∵该食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关

系t=

且该食品在4℃的保鲜时间是16小时,∴24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-

,∴t=

当x=6时,t=8,故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时,正确;②当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减小,故错误;③到了此日10时,温度超过8℃,此时保鲜时间不超过4小时,故到了此日

13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确.故正确的结论的序号为①④.规律总结应用指数函数模型的关注点(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题

中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模

型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将

已知的有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.3-1一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地

漏出,tm